線形代数Ｉ/小テスト/2006-05-18 のバックアップ差分(No.2)
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[[線形代数Ｉ]] * 問１ [#ucdd4380] * 問１ [#scdf0401] 次の行列の階数 (rank) を求めよ。 （１）&math(\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~2&1&4&2~3&4&2&1~4&3&1&2\end{array}\right]); （１）&math(\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&1&4&2\\3&4&2&1\\4&3&1&2\end{array}\right]); * 問２ [#y530ccb2] * 問２ [#c16d9281] 次の行列は正則である。逆行列を求めよ。 （１）&math(\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1~0&0&2&0~0&3&0&0~4&0&0&0\end{array}\right]); （１）&math(\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&2&0\\0&3&0&0\\4&0&0&0\end{array}\right]); （２）&math($\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0~2&1&2&0~0&2&1&2~0&0&2&1\end{array}\right]); （２）&math(\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0\\2&1&2&0\\0&2&1&2\\0&0&2&1\end{array}\right]); * 解答１ [#z159a9f8] * 解答１ [#w26c591c] &math(\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~2&1&4&2~3&4&2&1~4&3&1&2\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)~-2\times(1)~-3\times(1)~-4\times(1)\end{array});~ &math(\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&1&4&2\\3&4&2&1\\4&3&1&2\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)\\-2\times(1)\\-3\times(1)\\-4\times(1)\end{array});~ 行基本変形により、１行目を使って他の行の１列目をゼロにする。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~0&-3&-2&-6~0&-2&-7&-11~0&-5&-11&-14\end{array}\right]\begin{array}{l}~~\times 3~\times 3\end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&-3&-2&-6\\0&-2&-7&-11\\0&-5&-11&-14\end{array}\right]\begin{array}{l}\\\\\times 3\\\times 3\end{array});~ ２行目を使って３，４行の２列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためには あらかじめ３，４行を３倍しておけばよい。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~0&-3&-2&-6~0&-6&-21&-33~0&-15&-33&-42\end{array}\right]\begin{array}{l}~\gets(2)~-2\times (2)~-5\times (2)\end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&-3&-2&-6\\0&-6&-21&-33\\0&-15&-33&-42\end{array}\right]\begin{array}{l}\\\gets(2)\\-2\times (2)\\-5\times (2)\end{array});~ ２行目を使って３，４行の２列目をゼロにする。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~0&-3&-2&-6~0&0&-11&-21~0&0&-8&-12\end{array}\right]\begin{array}{l}~ ~ \gets (3) ~-8/11\times (3)\end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&-3&-2&-6\\0&0&-11&-21\\0&0&-8&-12\end{array}\right]\begin{array}{l}\\ \\ \gets (3) \\-8/11\times (3)\end{array});~ ３行目を使って４行目の３列目をゼロにする。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~0&-3&-2&-6~0&0&-11&-21~0&0&0&36/11\end{array}\right]);~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&-3&-2&-6\\0&0&-11&-21\\0&0&0&36/11\end{array}\right]);~ 対角成分が４つ残ったので、&math(\text{rank} A=4); である。 * 解答２（１） [#g8b3e6e2] * 解答２（１） [#db6a957a] 与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。~ &math(\left[\begin{array}{cccccccc}0&0&0&1&1&0&0&0~0&0&2&0&0&1&0&0~0&3&0&0&0&0&1&0~4&0&0&0&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)~\gets (2)~ (2) と交換する~ (1) と交換する\end{array});~ &math(\left[\begin{array}{cccccccc}0&0&0&1&1&0&0&0\\0&0&2&0&0&1&0&0\\0&3&0&0&0&0&1&0\\4&0&0&0&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)\\\gets (2)\\ (2) と交換する\\ (1) と交換する\end{array});~ 行を入れ替えて左半分を対角行列にする。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}4&0&0&0&0&0&0&1~0&3&0&0&0&0&1&0~0&0&2&0&0&1&0&0~0&0&0&1&1&0&0&0\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 1/4~\times 1/3~\times 1/2~\ \end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}4&0&0&0&0&0&0&1\\0&3&0&0&0&0&1&0\\0&0&2&0&0&1&0&0\\0&0&0&1&1&0&0&0\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 1/4\\\times 1/3\\\times 1/2\\\ \end{array});~ 各行に定数を掛けて左半分を単位行列にする。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}1&0&0&0&0&0&0&1/4~0&1&0&0&0&0&1/3&0~0&0&1&0&0&1/2&0&0~0&0&0&1&1&0&0&0\end{array}\right] );~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}1&0&0&0&0&0&0&1/4\\0&1&0&0&0&0&1/3&0\\0&0&1&0&0&1/2&0&0\\0&0&0&1&1&0&0&0\end{array}\right] );~ したがって、逆行列は~ &math(\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1/4~0&0&1/3&0~0&1/2&0&0~1&0&0&0\end{array}\right] );~ &math(\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1/4\\0&0&1/3&0\\0&1/2&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right] );~ * 解答２（２） [#f347aacb] * 解答２（２） [#aa48c3c9] 与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。~ &math(\left[\begin{array}{cccccccc}1&2&0&0&1&0&0&0~2&1&2&0&0&1&0&0~0&2&1&2&0&0&1&0~0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)~ -2\times(1)~\ ~\ \end{array});~ &math(\left[\begin{array}{cccccccc}1&2&0&0&1&0&0&0\\2&1&2&0&0&1&0&0\\0&2&1&2&0&0&1&0\\0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)\\ -2\times(1)\\\ \\\ \end{array});~ １行目を使って２行目の１列目をゼロにする。 &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}1&2&0&0&1&0&0&0~0&-3&2&0&-2&1&0&0~0&2&1&2&0&0&1&0~0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 3~ ~\times 3 ~\ \end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}1&2&0&0&1&0&0&0\\0&-3&2&0&-2&1&0&0\\0&2&1&2&0&0&1&0\\0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 3\\ \\\times 3 \\\ \end{array});~ ２行目を使って１，３行目の２列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためにあらかじめ３倍しておく。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}3&6&0&0&3&0&0&0~0&-3&2&0&-2&1&0&0~0&6&3&6&0&0&3&0~0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}+2\times (2)~\gets (2) ~+2\times (2) ~\ \end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}3&6&0&0&3&0&0&0\\0&-3&2&0&-2&1&0&0\\0&6&3&6&0&0&3&0\\0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}+2\times (2)\\\gets (2) \\+2\times (2) \\\ \end{array});~ ２行目を使って１，３行目の２列目をゼロにする。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}3&0&4&0&-1&2&0&0~0&-3&2&0&-2&1&0&0~0&0&7&6&-4&2&3&0~0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 7~\times 7 ~\ ~\times 7 \end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}3&0&4&0&-1&2&0&0\\0&-3&2&0&-2&1&0&0\\0&0&7&6&-4&2&3&0\\0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 7\\\times 7 \\\ \\\times 7 \end{array});~ ３行目を使って他の行の３列目をゼロにするため、あらかじめ７を掛けておく。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}21&0&28&0&-7&14&0&0~0&-21&14&0&-14&7&0&0~0&0&7&6&-4&2&3&0~0&0&14&7&0&0&0&7\end{array}\right]\begin{array}{l}-4\times (3)~-2\times (3) ~\gets (3) ~-2\times (3) \end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}21&0&28&0&-7&14&0&0\\0&-21&14&0&-14&7&0&0\\0&0&7&6&-4&2&3&0\\0&0&14&7&0&0&0&7\end{array}\right]\begin{array}{l}-4\times (3)\\-2\times (3) \\\gets (3) \\-2\times (3) \end{array});~ ３行目を使って他の行の３列目をゼロにする。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}21&0&0&-24&9&6&-12&0~0&-21&0&-12&-6&3&-6&0~0&0&7&6&-4&2&3&0~0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 5~\times 5 ~\times 5 ~\ \end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}21&0&0&-24&9&6&-12&0\\0&-21&0&-12&-6&3&-6&0\\0&0&7&6&-4&2&3&0\\0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 5\\\times 5 \\\times 5 \\\ \end{array});~ ４行目を使って他の行の４列目をゼロにするため、あらかじめ５を掛けておく。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}105&0&0&-120&45&30&-60&0~0&-105&0&-60&-30&15&-30&0~0&0&35&30&-20&10&15&0~0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}-24\times (4)~-12\times (4) ~+6\times (4) ~\gets (4) \end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}105&0&0&-120&45&30&-60&0\\0&-105&0&-60&-30&15&-30&0\\0&0&35&30&-20&10&15&0\\0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}-24\times (4)\\-12\times (4) \\+6\times (4) \\\gets (4) \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);~ ４行目を使って他の行の４列目をゼロにする。~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}105&0&0&0&-147&126&84&-168~0&-105&0&0&-126&63&42&-84~0&0&35&0&28&-14&-21&42~0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}/105~/105 ~/35 ~/5 \end{array});~ &math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}105&0&0&0&-147&126&84&-168\\0&-105&0&0&-126&63&42&-84\\0&0&35&0&28&-14&-21&42\\0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}/105\\/105 \\/35 \\/5 \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);~ 各行に定数を掛けて左半分を単位行列にし、右半分を取り出すとそれが逆行列となる。~ &math(\left[\begin{array}{cccc}-147/105&126/105&84/105&-168/105~126/105&-63/105&-42/105&84/105~28/35&-14/35&-21/35&42/35~-8/5&4/5&6/5&-7/5\end{array}\right]);~ &math(\left[\begin{array}{cccc}-147/105&126/105&84/105&-168/105\\126/105&-63/105&-42/105&84/105\\28/35&-14/35&-21/35&42/35\\-8/5&4/5&6/5&-7/5\end{array}\right]);~ 約分すると、対称行列であることがはっきりする。~ &math(= \left[\begin{array}{cccc}-7/5&6/5&4/5&-8/5~6/5&-4/5&-2/5&4/5~4/5&-2/5&-3/5&6/5~-8/5&4/5&6/5&-7/5\end{array}\right]);~ &math(= \left[\begin{array}{cccc}-7/5&6/5&4/5&-8/5\\6/5&-4/5&-2/5&4/5\\4/5&-2/5&-3/5&6/5\\-8/5&4/5&6/5&-7/5\end{array}\right]);~ 分母をそろえて外に出しても良い。~ &math(=(1/5)\left[\begin{array}{cccc}-7&6&4&-8~6&-3&-2&4~4&-2&-3&6~-8&4&6&-7\end{array}\right]);~ &math(=(1/5)\left[\begin{array}{cccc}-7&6&4&-8\\6&-3&-2&4\\4&-2&-3&6\\-8&4&6&-7\end{array}\right]);~ 逆行列の計算で面倒な数値になる場合、中途段階で計算を間違えていないかを検算する方法がある。~ &math(\left[\ A \ \ \vdots \ \ I \ \right]);~ を行方向の基本変形を施した途中結果は~ &math(\left[\ BA \ \ \vdots \ \ B \ \right]);~ となっているはずである。 したがって、途中結果の右半分 &math(B); に右から元の行列 &math(A); を掛けて左半分 &math(BA); と等しくなれば、 その時点までの計算は間違っていないと判断できる。
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