線形代数I/教科書演習/1A−2 のバックアップ差分(No.1)
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[[線形代数I/教科書演習]] ''問'' &math(R^2); で、&math((a, b)); と &math((c, d)); が1次独立であるための 必要十分条件は &math(ad-bc\ne 0); であることを示せ。 ''解答'' まず十分であること、つまり &math(ad-bc\ne 0); であれば1次独立であることを示そう。 このために、 &math(ax+by&=0\\cx+dy=0); の解、&math((x, y)) を求める。 &math(a \ne 0); のとき、 &math(x=-(b/a)y); ・・・ ① であり、これを &math(cx+dy=0); に代入することで &math(-(bc/a)y+dy=0\\(ad-bc)y=0); を得る。&math(ad-bc\ne 0); よりこれは &math(y=0); を表し、① からすぐに &math(x=0); を得る。 一方、&math(a=0); のとき、&math(ad-bc\ne 0); より &math(bc\ne 0); であり、 すなわち &math(c \ne 0); であるから、 &math(x=-(d/c)y); ・・・ ②~ &math(-(ad/c)y+by=0\\-(ad-bc)y=0); となり、&math(a \ne 0); のときと同様に &math(x=y=0); を得る。 すなわち、&math(ad-bc\ne 0); であれば1次独立であることが示された。 次に必要であること、つまり1次独立であれば &math(ad-bc\ne 0); であることを示そう。
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