線形代数II/内積と計量空間 のバックアップ差分(No.2)
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[[線形代数Ⅱ]] #contents * 内積 [#k485e13a] &math(K); 上の線形空間 &math(V); の任意の2つの元 &math(\bm x,\bm y\in V); の間に、 演算 &math((\bm x,\bm y)); が定義され、&math((\bm x,\bm y)\in K); となるものとする。 この演算が次の公理を満たすとき、内積と呼ばれる。 - &math((\bm x,\bm y_1+\bm y_2)=(\bm x,\bm y_1)+(\bm x,\bm y_2)); - &math((\bm x,c\bm y)=c(\bm x,\bm y)); - &math((\bm y,\bm x)=\overline{(\bm x,\bm y)}); (&math(K=\mathbb R); の時は &math((\bm y,\bm x)=(\bm x,\bm y));) - &math((\bm x,\bm x)\geqq 0); &math((\bm x,\bm x)=0\Leftrightarrow \bm x=\bm 0); + &math((\bm x,\bm y_1+\bm y_2)=(\bm x,\bm y_1)+(\bm x,\bm y_2)); + &math((\bm x,c\bm y)=c(\bm x,\bm y)); + &math((\bm y,\bm x)=\overline{(\bm x,\bm y)}); + &math((\bm x,\bm x)\geqq 0); &math((\bm x,\bm x)=0\Leftrightarrow \bm x=\bm 0); このとき、以下の性質も証明可能: &math(K=\mathbb R); の時は &math(x\in \mathbb R); に対して &math(x=\overline x); だから &math((\bm y,\bm x)=(\bm x,\bm y)); 1. と 3. より、&math((\bm x_1+\bm x_2,\bm y)=(\bm x_1,\bm y)+(\bm x_2,\bm y)); 2. と 3. より、&math((c\bm x,\bm y)=\overline c(\bm x,\bm y)); 4. より ノルム &math(\|\bm x\|=\sqrt{(\bm x,\bm x)}\geqq 0); を定義可能。 内積が定義された線形空間を計量線形空間という。 (ノルム によりベクトルの大きさを測れるようになったということ) &math((\bm x, \bm y)=0); のとき、&math(\bm x\perp\bm y); すなわち、 &math(\bm x); と &math(\bm y); は直交するという。 * 正規直交系 [#i1230363] &math(\bm e_1, \bm e_2, \dots, \bm e_k); が - 正規性: &math((\bm e_i,\bm e_i)=1); つまり &math(\|\bm e_i\|=1); - 直交性: &math((\bm e_i,\bm e_j)=0); つまり &math(\bm e_i\perp\bm e_j); (&math(i\ne j);) を満たすとき、正規直交系を為すという。あるいはまとめて、 - &math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij}); とも書ける。 * 正規直交基底 [#s47e26a7] ある基底が正規直交系を為すとき、正規直交基底と呼ぶ。 * 内積の成分表示 [#o879b519] &math(\widetilde E=\set{\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm \e_n}); を正規直交基底とし、 &math(\bm x=\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i);、&math(\bm y=\sum_{i=0}^n y_i\bm e_i); とすると、 &math( (\bm x,\bm y)&=(\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i,\bm y)\\ &=\sum_{i=0}^n\overline x_i(\bm e_i, \sum_{j=0}^n y_j\bm e_j)\\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\overline x_iy_j(\bm e_i, \bm e_j)\\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\overline x_iy_j\delta_{ij}\\ &=\sum_{i=0}^n\overline x_iy_i\\ &=(\bm x_{\widetilde E},\bm y_{\widetilde E}) ); を得る。 * エルミート共役 [#de0c0da8] &math(m,n); 行列 &math(A=\big(\,a_{ij}\,\big)); に対して、 - 転置行列:&math(^t\!A=\big(\,a_{ji}\,\big)); - 複素共役:&math(\overline A=\big(\,\overline{a_{ji}}\,\big)); - エルミート共役:&math(A^\dagger=\overline{^t\!A}=^t\!\overline{A}=\big(\,\overline{a_{ji}}\,\big)); とくに、列ベクトル &math(\bm x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}); に対しては、 -転置:&math(^t\!\bm x=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\dots&x_n\end{pmatrix}); -複素共役:&math(\overline{\bm x}=\begin{pmatrix}\overline x_1\\\overline x_2\\\vdots\\\overline x_n\end{pmatrix}); -エルミート共役:&math(\bm x^\dagger=\overline{^t\!\bm x}=^t\!\overline{\bm x}=\begin{pmatrix}\overline x_1&\overline x_2&\dots&\overline x_n\end{pmatrix}); エルミート共役は、次の性質を持つ。 - &math(\left(A^\dagger\right)^\dagger=A); - &math((\bm x,\bm y)=\bm x^\dagger \bm y); - &math((\bm x,A\bm y)=(A^\dagger\bm x,\bm y)=\bm x^\dagger A\bm y); * 対称行列、直交行列 と エルミート行列、ユニタリ行列 [#g3931b9c] &math(A); が実行列のとき &math(A^\dagger=^t\!\!A); である。 |実行列・ベクトルについて |複素行列・ベクトルについて | |対称行列 &math(^t\!S=S); |エルミート行列 &math(H^\dagger=H^{-1}); | |直交行列 &math(^t\!R=R^{-1}); |ユニタリ行列 &math(U^\dagger=U^{-1}); | 性質: - 対称行列 &math(S); について &math((\bm x,S\bm y)=(S\bm x,\bm y)); (実内積) - エルミート行列 &math(H); について &math((\bm x,H\bm y)=(H\bm x,\bm y)); (複素内積) 性質: - 直交行列 &math(R); により内積が保存される &math((R\bm x,R\bm y)=(\bm x,\bm y)); - ユニタリ行列 &math(U); により複素内積が保存される &math((U\bm x,U\bm y)=(\bm x,\bm y)); * 正規行列 [#ldb799b7] &math(A^\dagger A=AA^\dagger); を満たす行列を正規行列と呼ぶ。 実対称行列、実直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列は正規行列である。 ユニタリ行列で対角化できることと、正規行列であることとは同値であるが、 ここでは証明はしない。
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