射影・直和・直交直和 のバックアップ差分(No.3)
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[[前の単元 <<<>線形代数Ⅱ/内積と計量空間]] [[線形代数Ⅱ]] [[>>> 次の単元>線形代数Ⅱ/射影・直和・直交直和]] #contents * ベクトルの成分 [#x61c2758] ある規格化されたベクトル &math(\bm e); が与えられ、~ 別のベクトル &math(\bm x); を &math(\bm e); に平行な成分 &math(\bm x_{\parallel}); と、 &math(\bm e); に平行な成分 &math(\bm x_{\perp}); とに分けることを考える。 &math(\bm x=\bm x_{\parallel}+\bm x{\perp}); &math(\bm x_{\parallel}); は &math(\bm e); と平行なので、 &math(\bm x_{\parallel}=x_{\parallel} \bm e); と書き直すと、 &math(\bm x=x_{\parallel}\bm e+\bm x{\perp}); 両辺に左から &math(\bm e); をかけることで、 &math((\bm e,\bm x)=x_{\parallel}); が得られ、 &math(\bm x_{\parallel}=(\bm e,\bm x)\bm e);~ &math(\bm x_{\perp}=\bm x-\bm x_\parallel=\bm x-(\bm e,\bm x)\bm e); としてこれらのベクトルを求められる。~ (同じことをグラム・シュミットの直交化の中で行った) この &math(\bm x_\parallel); を &math(\bm x); の &math(\bm e); 方向成分と呼ぶ。 *** 注意 [#s8228082] 複素ベクトルに対しては &math((\bm x,\bm e)\ne(\bm e,\bm x)); なので、 どちらから掛けるかが重要になる。 &math((\bm e,x_\parallel \bm e)=x_{\parallel}); だが、 &math((x_\parallel \bm e,\bm e)=\overline{x_{\parallel}}); となってしまう。 &math((\bm e,\bm x)=(\bm e,x_\parallel \bm e)=x_{\parallel}); だが、~ &math((\bm x,\bm e)=(x_\parallel \bm e,\bm e)=\overline{x_{\parallel}}); となってしまう。 * 射影演算子 [#c9c77b82] &math( \bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e\\ &=\bm e (\bm e,\bm x)\\ &=\bm e \bm e^\dagger \bm x\\ &=P_{\bm e} \bm x ); ただし、&math(P_{\bm e}=\bm e\bm e^\dagger); である。 この行列は &math(\bm x); から &math(\bm e); 方向成分を取り出す行列となる。 &math(P_{\bm e}); を &math(\bm e); 軸への射影演算子と呼ぶ。 ** 射影演算子はエルミート行列になる。 [#tee56cfe] &math(\big(P_{\bm e}\big)_{ij}=e_j \overline{e_i}); &math(\big(P_{\bm e}\big)_{ji}=e_i \overline{e_j}=\overline{(e_j \overline{e_i})}); より、&math(\big(P_{\bm e}\big)_{ji}=\overline{\big(P_{\bm e}\big)_{ij}}); * 直和 [#u527a7fd] あるベクトルを「成分」に分ける話を一般化する。 &math(W_1,W_2,\dots,W_r); を &math(V); の部分空間とし、~ 各 &math(W_k); の基底をすべて合わせると &math(V); の基底となる場合、~ その基底を &math(B=\langle\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n\rangle); とすると、 &math( \bm x&=\underbrace{x_1\bm b_1+x_2\bm b_2}_{\bm x_1\in W_1} +\underbrace{x_3\bm b_3+\ \ }_{\bm x_2\in W_2} \dots\underbrace{\ \ +x_n\bm b_n}_{\bm x_r\in W_r}\\ &=\bm x_1+\bm x_2+\dots+\bm x_r ); のように、&math(\{W_k\}); のベクトル &math(\{\bm x_k\}); (&math(W_k);成分)の和として一意に表せる。 このような場合に &math(V=W_1\dot +W_2\dot +W_3\dot +\dots\dot +W_r); と書き、~ &math(V); は &math(W_1,W_2,\dots,W_r); の直和である、という。 具体的な &math(\bm x_k); の値を求めるには、 基底 &math(B); に対する &math(\bm x); の成分をすべて求めないとならないが、 一般にこれはそれほど簡単ではない。 ** 例 [#cfcc0b83] &math(\mathbb R^2); の部分空間、~ &math(V=\set{\bm x\in \mathbb R^2|\bm x=t{\textstyle\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},t\in \mathbb R}); ~ &math(W=\set{\bm x\in \mathbb R^2|\bm x=t{\textstyle\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},t\in \mathbb R}); ~ に対して、&math(\mathbb R^2=V\dot +W); である。 &attachref(直和.png,,33%); &math(\bm x=\bm x_V+\bm x_W); に分けようとして、 &math(\bm x_V=\Big(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\bm x\Big)); としたのではうまく行かないことが分かる。 ** (発展)和空間との関係 [#lf9a2deb] &math(V); の部分空間 &math(W_1,W_2,\dots,W_r); に対して、 &math(W_1,W_2,\dots,W_r); を含む最小の線形空間を これらの空間の和空間と呼び、&math(W_1+W_2+\dots+W_r); と書く。 &math(V=W_1\dot +W_2\dot +\dots\dot +W_r); であること(直和であること)と、 &math(V=W_1+W_2+\dots+W_r); かつ &math(\dim V=\dim W_1+\dim W_2+\dots+\dim W_r); であること、あるいは、 &math(V=W_1+W_2+\dots+W_r); かつ &math(W_1,W_2,\dots,W_r); が &math(\bm 0); 意外に共通の元を持たないこと とは同値である。 * 直交直和 [#d251a548] 各 &math(W_k); の''正規直交''基底をすべて合わせると &math(V); の''正規直交''基底となる場合、 &math(V=W_1\oplus W_2\oplus W_3\oplus \dots\oplus W_r); と書き、~ &math(V); は &math(W_1,W_2,\dots,W_r); の直交直和である、という。
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