線形代数II/抽象線形空間/性質 のバックアップ差分(No.7)
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[[線形代数II/抽象線形空間]]
#contents
&mathjax();
* 線形空間の公理から基本的な定理を導く [#dd385483]
以下に示すようなほぼ自明に見える線形空間の性質を、
公理から導かれる定理として証明できる。
- ゼロ元はただ1つだけ存在する
- 逆元はただ1つだけ存在する
- 引き算を定義できる
- &math(\bm x-\bm x=\bm 0);
- &math(\bm a+\bm b=\bm a+\bm c → \bm b=\bm c);
- &math(-\bm 0=\bm 0);
- &math((-(-\bm x))=\bm x);
- &math((-\bm x)=(-1)\bm x);
- &math(0\bm x = \bm 0);
** 線形空間の公理 [#qe6be02b]
&math(
&\forall \bm x,\forall \bm y\in V, & \bm x+\bm y&=\bm y+\bm x &&\to ベクトル和の交換則 \\
&\forall \bm x,\forall \bm y,\forall \bm z\in V, & (\bm x+\bm y)+\bm z&=\bm x+(\bm y+\bm z) &&\to ベクトル和の結合則 \\
&\forall \bm x\in V,\exists\bm 0\in V, & \bm x+\bm 0&=\bm x &&\to ゼロ元の存在\\
&1\in K, \forall \bm x\in V, & 1\bm x&=\bm x &&\to 1倍\\
&\forall \bm x\in V,\exists (-\bm x)\in V, & \bm x+(-\bm x)&=\bm 0&&\to 逆元の存在\\
&\forall a,\forall b\in K, \forall \bm x\in V, & (a+b)\bm x&=a\bm x+b\bm x &&\to 分配則(1)\\
&\forall a\in K, \forall \bm x,\forall \bm y\in V, & a(\bm x+\bm y)&=a\bm x+a\bm y &&\to 分配則(2)\\
&\forall a,\forall b\in K,\forall \bm x\in V,&a(b\bm x)&=(ab)\bm x&&\to スカラー倍の結合則
);
** ゼロ元はただ1つだけ存在する [#j804864f]
線形空間の公理には「ゼロ元が存在すること」が書かれているが、「1つしかないこと」は書かれていない。
「ゼロ元が1つしかないこと」は他の公理を組み合わせて証明可能な定理である。
&math(\bm 0,\bm 0'); がどちらもゼロ元であったとすると、
&math(
\bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & ゼロ元 \bm 0' \\
&=\bm 0'+\bm 0 & & 和の交換則 \\
&=\bm 0' & & ゼロ元 \bm 0
);
より、&math(\bm 0=\bm 0'); である。
** 逆元はただ1つだけ存在する [#k19f92fe]
&math(\bm x); の逆元が、&math((-\bm x),(-\bm x)'); の2つ存在したとすると、
&math(
(-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && ゼロ元 \\
&=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\} && 逆元 (-\bm x)' \\
&=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)' && 和の結合則 \\
&=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)' && 和の交換則 \\
&=\bm 0+(-\bm x)' && 逆元 (-\bm x) \\
&=(-\bm x)'+\bm 0 && 和の交換則 \\
&=(-\bm x)' && ゼロ元
);
** 引き算 [#ce28fbed]
&math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(\bm y); の逆元を &math((-\bm y)\in V); として、
&math(\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y)\in V);
のようにベクトルの引き算を導入する。
当然、&math(V); は引き算について閉じている。
** $\bm x-\bm x=\bm 0$ [#f412ef86]
&math(
\bm x-\bm x&=\bm x+(-\bm x) && 引き算の定義\\
&=\bm 0 && 逆元
);
** $\bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c$ [#dbff027d]
&math(\bm a+\bm b=\bm a+\bm c); の時、両辺から &math(\bm a); を引くと、
&math(
(左辺)-\bm a&=(\bm b+\bm a)-\bm a && 交換則\\
&=\bm b+(\bm a-\bm a) && 結合則\\
&=\bm b+\bm 0 && 引き算の性質\\
&=\bm b && ゼロ元
);
同様に &math((右辺)-\bm a=\bm c); となって、
&math(\bm b=\bm c); を得る。
** $-\bm 0=\bm 0$ [#se0192e6]
&math(
\begin{array}{lll}
\bm 0+\bm 0=\bm 0 && ゼロ元の定義\\
\bm 0+(-\bm 0)=\bm 0 && 逆元の定義\\
\therefore \bm 0+\bm 0=\bm 0+(-\bm 0) && \\
\bm 0+\bm 0=(-\bm 0)+\bm 0 && 和の交換則\\
\bm0=-\bm 0 && \bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c
\end{array}
);
** $(-(-x))=x$ [#j0014658]
&math(
&(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm 0 && 逆元の定義 \\
&\bm x+(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm x+\bm 0 && 両辺に \bm x を加えた \\
&\bm 0+(-(-\bm x))=\bm x && 逆元の性質とゼロ元の性質 \\
&(-(-\bm x))+\bm 0=\bm x && 交換則 \\
&(-(-\bm x))=\bm x && ゼロ元の性質 \\
);
** $(-x)=(-1)x$ [#vba03f70]
&math(
2\bm x+(-\bm x)&=(1+1)\bm x+(-\bm x) && 2=1+1 (実数の演算)\\
&=(1\bm x+1\bm x)+(-\bm x) && 分配則 \\
&=(1\bm x+\bm x)+(-\bm x) && 1倍 \\
&=1\bm x+\{\bm x+(-\bm x)\} && 結合則 \\
&=1\bm x+\bm 0 && 逆元 \\
&=1\bm x && ゼロ元 \\
&=\{2+(-1)\}\bm x && 1=2+(-1) \\
&=2\bm x+(-1)\bm x && 分配則 \\
);
&math(\therefore (-\bm x) = (-1)\bm x );
** $0x = 0$ [#vf4e783c]
&math(
0\bm x&=\{1+(-1)\}\bm x \hspace{1cm} && 0=1+(-1) (実数の演算)\\
&=\bm x+(-1)\bm x && 分配法則と1倍\\
&=\bm x+(-\bm x) && (-1)\bm x=(-\bm x)\\
&=\bm 0 && 逆元
);
* 質問・コメント [#k462edbe]
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