正規行列の対角化可能性 のバックアップ差分(No.1)
更新- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
[[線形代数Ⅱ]] * 正規行列 [#ua361752] &math(A^\dagger A=A A^\dagger); * ユニタリ行列により対角化可能であれば正規行列 [#p2b1755b] &math(U); をユニタリ行列 (&math(U\dagger=U^{-1});)、 &math(\Lambda); を対角行列として(&math(\Lambda); は &math(\lambda); の大文字)、 &math( U^\dagger A U=\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \end{pmatrix}); が成り立つとき、 &math(A=U\Lambda U^\dagger); より、 &math( A^\dagger=(U\Lambda U^\dagger)^\dagger=U\Lambda^\dagger U^\dagger=U\overline{\Lambda}U^\dagger ); したがって、 &math(AA^\dagger=U\Lambda U^\dagger U\overline{\Lambda} U^\dagger=U\Lambda \overline{\Lambda} U^\dagger); &math(A^\dagger A=U\overline{\Lambda} U^\dagger U\Lambda U^\dagger=U\overline{\Lambda} \Lambda U^\dagger); ここで、 &math( \Lambda \overline{\Lambda}=\overline{\Lambda}\Lambda= \begin{pmatrix} |\lambda_1|^2\\ &|\lambda_2|^2\\ &&\ddots\\ &&&|\lambda_n|^2 \end{pmatrix} ); であるから、&math(AA^\dagger=A^\dagger A); が証明された。 * 正規行列であればユニタリ行列により対角化可能 [#hbdaa52d]
Counter: 41096 (from 2010/06/03),
today: 4,
yesterday: 0