相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存 のバックアップ差分(No.3)
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[[線形代数II]] * 相似変換 [#cd78d253] 正則行列 &math(P); を用いた &math(A\to A'); の変換: &math(A'=P^{-1}AP); * 相似変換は階数、トレース、行列式、固有値を保存する [#t9f02c55] - 階数: &math(\rank (P^{-1}AP)=\rank A); - トレース: &math(\tr (P^{-1}AP)=\tr A); - 行列式: &math(|P^{-1}AP|=|A|); - 固有方程式: &math(|P^{-1}AP-\lambda E|=|A-\lambda E|); - 固有値は固有方程式の解 ** 階数 [#i6f26cdd] 任意の正則行列 &math(P,P'); に対して &math(\rank A=\rank PA=\rank AP'); であるから、 &math(\rank P^{-1}AP=\rank AP=\rank A); ** トレース [#o4d349e1] 行列のトレースは、対角要素の和で定義されるのであった。 &math(\tr A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}=\sum_{k=1}^n a_{kk}); まず、トレースはかけ算の入れ替えで変化しない。 &math(\tr AB=\tr BA); なぜなら、&math((AB)_{ij}=\sum_{m=1}^n a_{im}b_{mj}); より、 &math( \tr AB &=\sum_{k=1}^n \sum_{m=1}^n a_{km}b_{mk}\\ &=\sum_{m=1}^n \sum_{k=1}^n b_{mk}a_{km}\\ &=\tr BA ); したがって、 &math(\tr P^{-1}AP=\tr P^{-1}PA=\tr EA=\tr A); ** 行列式 [#gc6840dd] &math(|AB|=|A||B|); と &math(|E|=1); を用いて、 &math(|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|P^{-1}||P||A|=|P^{-1}P||A|=|E||A|=1|A|=|A|); ** 固有方程式 [#lba85d68] 行列式の性質を使って、 &math( &|P^{-1}AP-\lambda E|\\ &=|P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P|\\ &=|P^{-1}(A-\lambda E)P|\\ &=|P^{-1}||A-\lambda E||P|\\ &=|A-\lambda E| ); ** 固有値 [#r175eab7] 固有方程式の解が固有値だから、固有方程式が等しければ当然固有値も等しくなる。 * 質問・コメント [#xab798c8] #article_kcaptcha **線形代数のテスト [#d84b0fd7] >[[chihiro]] (&timetag(2017-02-05T09:45:15+09:00, 2017-02-05 (日) 18:45:15);)~ ~ 明日、線形代数のテストがあるんですけど、最低押さえておけば良いところうを教えてください。~ // #comment_kcaptcha
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