線形代数II/連立線形微分方程式 のバックアップ差分(No.1)
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[[線形代数Ⅱ]] #contents * 概要 [#rd73f160] 行列の対角化を利用して、連立線形微分方程式を解く。 * 1階連立線形微分方程式 [#f6af6a12] ** 例題 [#c8f38900] 未知の関数 &math(x_1(t),x_2(t)); が次の連立微分方程式を満たす時、 &math(\left\{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{dx_1(t)}{dt}=\dot x_1(t)=ax_1(t)+bx_2(t) \\ \displaystyle\frac{dx_2(t)}{dt}=\dot x_2(t)=cx_1(t)+dx_2(t) \end{matrix} \right.); この方程式はベクトル関数 &math(\bm x(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{pmatrix});、 行列 &math(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}); を用いて、 &math(\frac{d\bm x(t)}{dt}=\dot{\bm x}(t)=A\bm x(t)); と表せる。 もし &math(A); を &math(P^{-1}AP=D=\begin{pmatrix}\lambda_1&\\&\lambda_2\end{pmatrix}); の形にできるなら、 &math( \bm x(t)=P\bm y(t)=P\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix} ); の変数変換により、 &math( \dot{\bm x}(t)=\frac{d}{dt}\{P\bm y(t)\}=P\frac{d\bm y(t)}{dt}=A\bm x(t)=AP\bm y(t) ); すなわち、 &math(\dot{\bm y}(t)=P^{-1}AP\bm y(t)=D\bm y(t)); が得られ、これは &math(\left\{ \dot y_1(t)=\lambda_1y_1(t)\\ \dot y_2(t)=\lambda_2y_2(t) \right.); という方程式を表わす。したがってこの解は、 &math(\left\{ y_1(t)=y_1(0)e^{\lambda_1t}\\ y_2(t)=y_2(0)e^{\lambda_2t}\\ \right.); あるいは &math(\bm y(t)=\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\&e^{\lambda_2t}\end{pmatrix}\bm y(0)); と解くことができる。 &math(\bm x(t)=P\bm y(t)); および &math(\bm y(0)=P^{-1}\bm x(0)); を使うと、 &math(\bm x(t)=P\bm y(t) =P\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\&e^{\lambda_2t}\end{pmatrix}\bm y(0) =P\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\&e^{\lambda_2t}\end{pmatrix}P^{-1}\bm x(0) ); が得られ、これが初期条件 &math(\bm x(0)); が与えられた際に &math(\bm x(t)); を求めるための式となる。 この式は、 &math(\bm x(t)=e^{tA}\bm x(0)); と書くこともできて、この表式から、 &math(\dot{\bm x}(t)=\frac{d}{dt}\left\{e^{tA}\bm x(0)\right} =\left\{\frac{d}{dt}e^{tA}\right}\bm x(0) =Ae^{tA}\bm x(0) =A\bm x(t) ); のように与えられた微分方程式を満たすことを確認できる。 通常の微分方程式 &math(\frac{dx(t)}{dt}=ax(t)); の解を &math(x(t)=\left(e^{at}\right)x(0)); と表せることと対比して理解せよ。 * 2階連立線形微分方程式 [#b5cf68c1]
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