電磁場中のシュレーディンガー方程式とゲージ変換 のバックアップ差分(No.2)
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[[量子力学Ⅰ]] * 電磁場中のシュレーディンガー方程式とゲージ変換 [#m8ebff85] 電磁場中のシュレーディンガー方程式をゲージ変換して、ゲージ不変性を確認する。 ** 電磁場中のシュレーディンガー方程式 [#m49981d8] 電磁場中のハミルトニアンはベクトルポテンシャル &math(\mathbf A);、スカラーポテンシャル &math(\varphi); を用いて次のように表せる。参考:[[電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#k13bd197]] &math( H_\mathrm{em}=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}\big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)\big)^2+q\varphi(\mathbf x_n,t)\bigg] ); すると電磁場中でのシュレーディンガー方程式は次のようになる。 &math( i\hbar\partial_t\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t)= H_\mathrm{em}\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t) ); ** ゲージ変換 [#he00c6ab] 静電ポテンシャルをゲージ変換しても物理的には同じ状態を表す。~ 参考:[[電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#fde7eaa7]] &math( \mathbf A'=\mathbf A+\frac{\hbar}{q}\mathbf \nabla f ); &math( \varphi'=\varphi-\frac{\hbar}{q}\partial_t f ); ** ゲージ変換後のハミルトニアンとその解 [#r4446960] &math( \begin{aligned} H_\mathrm{em}' &=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A'(\mathbf x_n,t))^2+q\varphi'(\mathbf x_n,t)\bigg]\\ &=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t))^2+q\varphi(\mathbf x_n,t)-\hbar\partial_t f(\mathbf x_n,t)\bigg]\\ \end{aligned} ); よく知られるように、ゲージ変換によりハミルトニアンは変化するが、波動関数は位相のみの変化にとどまる。位相の部分を &math(U); と置こう。 &math( \begin{aligned} \Psi'(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t) &= e^{i\sum_n f(\mathbf x_n,t)} \Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t)\\ &= U(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t) \Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t)\\ \end{aligned} ); 位相だけが異なるため、 &math(|\Psi'(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_N,t)|^2=|\Psi(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_N,t)|^2); となって、波動関数の空間分布はゲージ変換前の物と変わらないことになる。 波動関数の変換が「一次のユニタリー変換」となることことを指して、この変換は &math(U(1)); 群をなす、と言う。(&math(U(n)); なら &math(n); 次のユニタリー変換、&math(SU(n)); なら &math(n); 次の固有値1のユニタリー変換) 電磁気学が &math(U(1)); 変換に対して不変であることを指して、電磁気学は &math(u(1));-ゲージ理論である、という。 ** 解になっていることを確認する [#vd6d65c2] &math(\Psi'); がゲージ変換後のシュレーディンガー方程式を満たすことを確かめよう。 &math( \partial_t U=\Big[\partial_t\sum_n if(\mathbf x_n,t)\Big]U ); &math( \mathbf\nabla_n U=\Big[i\mathbf\nabla_n f(\mathbf x_n,t)\Big]U ); より、 &math( \begin{aligned} i\hbar\partial_t\Psi'&=i\hbar\partial_t\big(U\Psi\big)\\ &=\Big(-\sum_n \hbar\partial_tf(\mathbf x_n,t)\Big)U\Psi+Ui\hbar\partial_t\Psi \end{aligned} ); &math( \begin{aligned} &\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)\Psi'\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)U\Psi\\ &=\Big(\hbar\mathbf\nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)U\Psi+ U\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)\Psi\\ &=U\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)\Big)\Psi\\ \end{aligned} ); したがって、 &math( \begin{aligned} &\Big[\sum_n\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)^2\Big]\Psi'\\ &=U\Big[\sum_n\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)\Big)\Big]^2\Psi\\ \end{aligned} ); ゲージ変換後のシュレーディンガー方程式は、 &math( i\hbar\partial_t\Psi'=H'\Psi' ); &math( \begin{aligned} &\Big(-\sum_n \hbar\partial_tf(\mathbf x_n,t)\Big)U\Psi +Ui\hbar\partial_t\Psi\\ &=U\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t))^2+q\varphi(\mathbf x_n,t)-\hbar\partial_t f(\mathbf x_n,t)\bigg]\Psi\\ \end{aligned} ); &math( \begin{aligned} &Ui\hbar\partial_t\Psi =U\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t))^2+q\varphi(\mathbf x_n,t)\bigg]\Psi\\ \end{aligned} ); 両辺を &math(U=e^{i\sum_n f(\mathbf x_n,t)}); で割れば、 &math( i\hbar\partial_t\Psi=H_\mathrm{em}\Psi ); となり、ゲージ変換前のシュレーディンガー方程式と同値であることが分かる。 すなわち、&math(\Psi); がゲージ変換前のシュレーディンガー方程式の解であれば、 &math(\Psi'); はゲージ変換後のシュレーディンガー方程式の解となる。 ゲージ変換により現れる余計な項が、&math(U); の時間微分や空間微分と打消し合ったことに注意せよ。 ** 反対称性も問題ない [#kd26f03c] 電子が2個の時、&math(\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,t)); がフェルミオンの反対称性を満たす解であったとする。 &math( \Psi(\mathbf x_2,\mathbf x_1,t)=-\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,t) ); ゲージ変換後の解は、 &math( \begin{aligned} \Psi'(\mathbf x_2,\mathbf x_1,t)&=e^{if(\mathbf x_1,t)+if(\mathbf x_2,t)}\Psi(\mathbf x_2,\mathbf x_1,t)\\ &=-e^{if(\mathbf x_1,t)+if(\mathbf x_2,t)}\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,t) =-\Psi'(\mathbf x_1,\mathbf x_2,t) \end{aligned} ); このように、位相部分の &math(U); は任意の粒子の入れ替えに対して対称な関数となるため、全体としての対称性・反対称性がゲージ変換によって失われることはない。 ** エネルギー期待値 [#l1bb2dc0] 以下の通り、ゲージ変換でエネルギー期待値が変わるように見える。 以下の通り、ゲージ変換の結果、エネルギー期待値が変化してしまうことが分かる。 &math( &math( \begin{aligned} \langle \Psi'|H'|\Psi'\rangle&= \langle \Psi|U^\dagger H'U|\Psi\rangle\\ &=\langle \Psi|U^\dagger U\Big[H-\hbar\sum_n\partial_t f(\mathbf x_n,t)\Big]|\Psi\rangle\\ &=\langle \Psi| H|\Psi\rangle- \hbar\langle \Psi|\partial_t \sum_nf(\mathbf x_n,t)|\Psi\rangle\\ &=\langle \Psi| H|\Psi\rangle -\hbar\langle \Psi|\partial_t \sum_nf(\mathbf x_n,t)|\Psi\rangle\\ \end{aligned} ); 系全体のハミルトニアンはここに電磁場のエネルギーが加わるのだが、そちらはゲージ変換で変化しないのでここでは無視した。 なぜ &math(H); の期待値が変化してしまうかというと、 その理由はこの項がどこから来たかを考えれば一目瞭然である。 で、なぜ &math(H); の期待値が変化してしまうかというと、 「&math(H); は時間発展を記述する演算子ではあるがそれ自体は系のエネルギーという物理量ではない」 ということらしい。→ http://kurasawa.c.ooco.jp/qm_a.pdf この項は &math(q\varphi); の項から現れており、 端的にはスカラーポテンシャルのゼロ点が変化したことに対応する。 じゃあ何がエネルギーなのかというと、第2項 &math(-\hbar\Big\langle\partial_t \sum_nf(\mathbf x_n,t)\Big\rangle_{\Psi}); を除いた部分なはず。この項はゲージが時間に依存しないときにはゼロとなるため、&math(\braket{\Psi|H|\Psi}); の値は「時間に依らないゲージを取った時の値」はエネルギーの期待値となるが、「時間に依存するゲージを取ったときの値」はエネルギーの期待値にはならないことになる。 一般のゲージ変換に対しては「スカラーポテンシャルのゼロ点」が空間的にも時間的にも一定である必要がない。エネルギーのゼロ点が変化すれば全エネルギーが変化するのは当然であるが、エネルギー変化は波動関数の位相にしか現れないため、上記の通りゲージ変換前後で波動関数の絶対値の自乗の空間分布は変化しない。 なぜか? もともと、「系のエネルギー」は &math(i\hbar\partial_t); で表され、分かりやすく言えば「位相の回転速度」&math(\omega); に、&math(\hbar); を掛けて &math(E=\hbar\omega); となるのであった。 ゲージ変換による位相因子 &math(U); が時間と共に変化する場合、その分の位相の時間的変化が &math(\omega); に重なってしまうので、&math(i\hbar\partial_t\Psi'); がそのままではエネルギーにはならなくなる。 この「位相因子の時間変化」が現れたのが上記第2項 &math(-\hbar\Big\langle\partial_t \sum_nf(\mathbf x_n,t)\Big\rangle_{\Psi}); ということになる。 ゲージが時間と共に変化するとき、&math(\langle H\rangle); はエネルギーではなく、物理量ですらないというのは覚えておくべきだ。 * 質問・コメント [#mc2ce435] #article_kcaptcha
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