一次元の散乱現象/メモ のバックアップ差分(No.4)
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[[量子力学Ⅰ/一次元の散乱現象]] * 解答:ポテンシャルの異なる領域へ入射する平面波 [#s9f24ac4] (1) &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x)); (2) &math(x<0); では &math(V(x)=0); より、 &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}\right)^2e^{\pm ikx}=\varepsilon e^{\pm ikx}); (3) &math(0\ge x); では &math(V(x)=V_0); より、 &math(0\le x); では &math(V(x)=V_0); より、 &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}k'^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m(\varepsilon-V_0)}{\hbar^2}}\right)^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\varepsilon e^{\pm ik'x}); (4) &math(\varphi_I(0)+\varphi_R(0)=\varphi_T(0)); &math(\frac{d \varphi_I}{dx}(0)+\frac{d\varphi_R}{dx}(0)=\frac{d\varphi_T}{dx}(0)); (5) &math(1+R=T);, &math(ik-ikR=ik'T); より、 &math(k(1-R)=k'(1+R)); &math(R=\frac{k-k'}{k+k'}, T=\frac{2k}{k+k'}); (6) &math((左辺)&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k'\frac{4k^2}{(k+k')^2}\\ &=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k\frac{4kk'}{(k+k')^2}\\ &=k\frac{k^2+2kk'+k'^2}{(k+k')^2}\\ &=k); (7) &math(k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}=(1/2)\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k/2); より、 &math(R=1/3,T=4/3); &math(kR^2+k'T^2=\frac{1}{3^2}k+\frac{4^2}{3^2}\frac{k}{2}=\frac{1+8}{9}k=k); (8) &math(V_0<0); のとき、&math(k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}>\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k); より、 &math(R=\frac{k-k'}{k+k'}<0); であり、 &math(\varphi_I(0)=1>0); に対して、 &math(\varphi_R(0)=R<0); となり、両者の位相は &math(\pi); 異なる。
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