量子力学Ⅰ/固有値と期待値 の履歴差分(No.3)
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[[量子力学I]] &mathjax(); * 線形代数との対応 [#w7165328] ** 確率密度・期待値 [#a7c68936] #multicolumns ''[ベクトル]'' &math(\bm a); ''[ノルムの二乗]'' &math(\|\bm a\|^2=(\bm a,\bm a)); #multicolumns ''[波動関数]'' &math(\psi(\bm r,t)); ''[全確率密度]'' &math(\iiint |\psi(\bm r,t)|^2d\bm r=\iiint \psi^*(\bm r,t)\psi(\bm r,t)d\bm r); #multicolumns(end) #multicolumns ''[規格化]'' &math(\bm e_a=\frac{1}{\|\bm a\|}\bm a); #multicolumns ''[規格化]'' &math(\Psi(\bm r,t)=\left[\iiint |\psi(\bm r,t)|^2d\bm r\right]^{-1/2}\psi(\bm r,t)); #multicolumns(end) #multicolumns ''[$A_H$を挟んだ内積]'' エルミートなので &math((\bm a,A_H\bm a)=(A_H\bm a,\bm a)); #multicolumns ''[$\hat H$の期待値]'' &math(\overline E&=\iiint \psi^*(\bm r,t)\hat H\psi(\bm r,t)d\bm r\\ &=\iiint \big(\hat H\psi(\bm r,t)\big)^*\psi(\bm r,t)d\bm r\\); #multicolumns(end) ** 演習:物理量を表わす演算子のエルミート性 [#qf83b503] ここでは任意の &math(f(x)\in U); が境界条件 &math(f(a)=f(b)=0); を満たすような関数空間 &math(U); を考える。 を満たすような関数空間 &math(U); を考え、内積を &math((f,g)=\int_a^b f(x)g(x)dx); と定義する。 &math(a=\infty,b=-\infty); と取れば、現実的な問題では常にこの境界条件は満たされる。 (1) 演算子 &math(\hat x:f(x)\mapsto xf(x)); のエルミート共役が &math(\hat x); 自身になること、 (1) 演算子 &math(\hat c:f(x)\mapsto cf(x)); (ただし &math(c); は実数) のエルミート共役が &math(\hat c); 自身になること、すなわち &math(\hat c); がエルミート演算子であることを示せ。 (2) 演算子 &math(\hat x:f(x)\mapsto xf(x)); のエルミート共役が &math(\hat x); 自身になること、 すなわち &math(\hat x); がエルミート演算子であることを示せ。 (座標 &math(x); は実数であることに注意せよ) (2) &math(U); において、演算子 &math(\frac{d}{dx}); のエルミート共役が &math(-\frac{d}{dx}); (3) &math(U); において、演算子 &math(\frac{d}{dx}); のエルミート共役が &math(-\frac{d}{dx}); となることを上記の境界条件を用いて示せ。部分積分を使うと良い。 (3) &math(U); において、演算子 &math(\hat p:f(x)\mapsto \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}); (4) &math(U); において、演算子 &math(\hat p:f(x)\mapsto \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}); のエルミート共役が &math(\hat p); 自身になること、すなわち &math(\hat p); がエルミート演算子であることを示せ。 (4) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の和 &math(\hat A+\hat B:f(x)\mapsto \hat Af(x)+\hat Bf(x)); がエルミート演算子となることを示せ。 (5) エルミート演算子 &math(\hat A); の&ruby(べき){冪}; &math(\hat A^n:f(x)\mapsto \hat A^nf(x)); がエルミート演算子となることを示せ。 (5) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の積 &math(\hat A\hat B:f(x)\mapsto \hat A\big(\hat Bf(x)\big)); がエルミート演算子となることを示せ。 (6) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の和 &math(\hat A+\hat B:f(x)\mapsto \hat Af(x)+\hat Bf(x)); がエルミート演算子となることを示せ。 このように、境界でゼロとなる空間において、 &math(\hat x,\hat p); の和や積で表せる任意の演算子がエルミートになることが分かった。 一般に、任意の物理量は &math(x,p); の関数として表わすことができるが、 テイラー展開などにより &math(x,p); の和や積で表わすことが可能である。 したがって、任意の物理量に対応する演算子はエルミートになる。 (7) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の積 &math(\hat A\hat B:f(x)\mapsto \hat A\big(\hat Bf(x)\big)); が &math(\hat A\hat B-\hat B\hat A=0); となる場合を除いて''エルミート演算子とならない''ことを示せ。 当然、ハミルトニアン &math(\hat H); もエルミートである。 (8) 上記演算子 &math(\hat x,\hat p); について、&math(\hat p\hat x-\hat x\hat p=\frac{\hbar}{i}); すなわち &math(\hat p\hat x); はエルミートでないことを確認せよ。 量子力学で「観測可能」とされる物理量は必ずエルミートである。 ** シュレーディンガー方程式・固有値 [#h29e3be1] #multicolumns ''[ベクトル方程式]'' &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\bm a(t)=A_H(t)\bm a(t)); #multicolumns ''[シュレーディンガー方程式]'' &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)\psi(\bm r,t)); #multicolumns(end) #multicolumns ''[固有値方程式]'' &math(E\bm a(t)=A_H\bm a(t)); #multicolumns ''[時間に依存しないシュレーディンガー方程式]'' &math(E\psi(\bm r,t)=\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)\psi(\bm r,t)); #multicolumns(end) #multicolumns ''[$A_H$の固有値・固有関数]'' &math(E=E_1,E_2,\dots); &math(\bm a=\bm a_1,\bm a_2,\dots); #multicolumns ''[エネルギー固有値・固有関数]'' &math(E=E_1,E_2,\dots); &math(\psi(\bm r,t)=\psi_1(\bm r,t),\psi_2(\bm r,t),\dots); #multicolumns(end) #multicolumns ''[対角化]'' &math(A_H\bm e_k=E_k\bm e_k); のとき、 &math((\bm e_i,A_H\bm e_j)=(A_H)_{ij}=E_j\delta_{ij}); すなわち &math(\{\bm e_k\}); を基底にとれば &math(A_H); は対角行列である。 #multicolumns ''[固有関数に対する期待値]'' &math(\hat H\psi_k=E_k\psi_k); のとき、 &math(\iiint \psi_i^*(\bm r,t)\hat H\psi_j(\bm r,t)d\bm r=E_j\delta_{ij}); #multicolumns(end) #multicolumns ''[固有ベクトルによる展開]'' &math(\bm a=\sum_{k=1}^\infty c_k\bm e_k); ならば、 &math((\bm a,A_H\bm a)&=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2(\bm e_k,A_H\bm e_k)\\ &=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2E_k); #multicolumns ''[固有関数による展開]'' &math(\Psi=\sum_{k=1}^\infty c_k\psi_k); ならば、 &math(\overline E&=\iiint \Psi^*(\bm r,t)\hat H\Psi(\bm r,t)d\bm r\\ &=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2E_k ); #multicolumns(end)
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