球対称井戸型ポテンシャル の履歴差分(No.7)
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[[前の単元 <<<>量子力学Ⅰ/水素原子]] [[量子力学Ⅰ]] [[>>> 次の単元>量子力学Ⅰ/3次元調和振動子]]~ * 球形の箱の中の粒子 [#h9e0cd19] &math( V(r)=\begin{cases} 0&(r<=a)\\ V_0&(r>a)\\ \end{cases} ); の場合には、&math(\chi(r)=rR(r)); を考えるよりも &math(R(r)); をそのまま扱った方が都合がよい。 &math(\rho=\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}r); と置くことにより、箱の内部の方程式は &math( \frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{2}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0 ); となる。 この解は''球ベッセル関数'' &math(j_l(\rho)); と呼ばれる。 &math(j_l(\rho)=(-\rho)^l\left(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right)^l\frac{\sin\rho}{\rho}); &math(j_0(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho}); &math(j_1(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho^2}-\frac{\cos\rho}{\rho}); &math(j_2(\rho)=\left(\frac{3}{\rho^3}-\frac{1}{\rho}\right)\sin\rho-\frac{3}{\rho^2}\cos\rho); &math(j_3(\rho)=\left(-\frac{6}{\rho^2}+\frac{15}{\rho^4}\right) \sin\rho+\left(\frac{1}{\rho}-\frac{15}{\rho^3}\right) \cos\rho); ... [[詳しい導出はこちら>@量子力学Ⅰ/球対称井戸型ポテンシャル/メモ#q4e20ed3]] ** 特徴 [#mf1aed18] - 原点で発散することはない -- &math(j_0(\rho)=1); -- &math(l\ge 1); では &math(j_l(\rho)=0); - &math(\rho); の大きいところでは、 -- &math(l=4k+0); なら &math(\big(\sin\rho\big)/\rho); -- &math(l=4k+1); なら &math(-\big(\cos\rho\big)/\rho); -- &math(l=4k+2); なら &math(-\big(\sin\rho\big)/\rho); -- &math(l=4k+3); なら &math(\big(\cos\rho\big)/\rho); - &math(\sin); や &math(\cos); の周期性を反映して &math(j_l(\rho)=0); を満たす根を無限個持つ - &math(\rho); の小さいところでは、&math(l); が大きいほどゆっくり振動する -- &math(j_{l+4}); は &math(j_l); に比べて振動回数が1回少ない &attachref(SphericalBesselJ.png,,66%); &attachref(SphericalBesselJ1.png,,66%); &math(j_l(\rho)); の代わりに &math(|\rho j_l(\rho)|^2); をプロットすると下のようになる。 &math(\rho); の大きいところでは &math((1\pm\cos 2\rho)/2); に漸近する。 &attachref(SphericalBesselJ2.png,,66%); ** 境界条件 [#g9f280dc] 1次元の箱形ポテンシャルのところで学んだのと同様に、 &math(V_0=+\infty); の場合には &math(r=a); において &math(j_l(\rho(r))=0); が要求されるから、 &math(j_l\Big(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}a\Big)=0); により &math(\varepsilon); が決定される。 &math(j_l(\rho)); の根は無数にあるが、&math(n); 番目の根を &math(\rho_n{}^l); とすれば、 &math(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}a=\rho_n{}^l); より、 &math(\varepsilon_n{}^l=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\rho_n{}^l}{a}\right)^2); エネルギーの大きさは根の位置 &math(\rho_n{}^l); で決まるから、 &math(\varepsilon_1{}^0<\varepsilon_1{}^1<\varepsilon_1{}^2<\varepsilon_2{}^1<\varepsilon_1{}^3<\dots); となる。&math(n); と &math(l); との大小関係に制約はないから、任意の &math(n\ge 0); に対して 任意の &math(l\ge 0); が対応する。 ** グラフ [#v1333fc5] 見やすいように最大値で規格化した。 &math(\varphi(r));~ &attachref(SphericalBesselJScaled.png); &math(|\varphi(r)|^2);~ &attachref(SphericalBesselJScaled2.png); &math(|r\varphi(r)|^2);~ &attachref(SphericalBesselJScaled3.png); &math(r\varphi(r)); と一次元井戸型ポテンシャルの解との類似性に注意せよ。 - &math(l=0); については一次元井戸型ポテンシャルの解と完全に一致する - &math(l>0); については原点付近の存在確率が下がるが、原点から遠いところではやはり一次元の解と近くなる ** 箱の外のポテンシャルが有限の場合 [#s9bc8294] 箱の外のポテンシャルが有限の場合にも、&math(r=a); における位相が少しずれるものの、 外部の解となめらかに接続する条件から &math(\varepsilon); が決定される。 閉じ込めが弱くなると、同じ &math(n,l); に対するエネルギーは低下する。 このときポテンシャルエネルギーの期待値はむしろ増加するから、 エネルギーの低下は運動エネルギーの低下によるものである。 ~ [[前の単元 <<<>量子力学Ⅰ/水素原子]] [[量子力学Ⅰ]] [[>>> 次の単元>量子力学Ⅰ/3次元調和振動子]]~ * 質問・コメント [#z49eb7a9] #article_kcaptcha
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