量子力学Ⅰ/線形代数の復習 のバックアップ差分(No.2)

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* 目次 [#m4e60a23]

[[量子力学Ｉ]]

#contents
#mathjax

* 概要 [#c0204dae]

量子力学で用いる関数空間の概念について復習する。

[[線形代数II]]を履修済みの学生を念頭に置いている。

* 関数の線形空間 ＝ 関数空間 [#ebae6101]

ある決まった区間 &math(a<x<b);（ただし &math(a,b); は &math(\pm\infty); でも可）
で定義された任意の複素関数（&math(\mathcal R\to\mathcal C);）を要素とする集合 
&math(U); は、通常の和と定数倍に対して線形空間を為す。
で定義される複素関数すべてからなる集合 &math(U); 
を考えると、&math(U); は関数の和と複素数倍に対して線形空間を為す。

すなわち、&math(f,g\in U); のとき、
すなわち、&math(f,g\in U);、&math(k\in\mathbb C); のとき、

&math(u=f+g);　を　 &math(u(x)\equiv f(x)+g(x));　として、
　&math(u=f+g);　を　 &math(u(x)\equiv f(x)+g(x));　として、

&math(v=kf);　を　 &math(v(x)\equiv kf(x));　として
　&math(v=kf);　を　 &math(v(x)\equiv kf(x));　として

定義すれば、&math(u,v\in U); であり、&math(U); はこれらの演算に対して閉じている。
定義すれば、&math(u,v\in U); であるから、&math(U); はこれらの演算に対して閉じている。

以下、数ベクトル空間と対比させながら関数空間について復習する。

* ベクトルの値 [#m25c4a20]


* ベクトルのグラフ [#m25c4a20]

#multicolumns

&math(\bm a={}^t\!(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)\in\mathbb R^n); のとき、
&math(\bm a=(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)^T\in\mathbb R^n); のとき、

添字 &math(k); に対して &math(a_k); をプロットすれば、
「ベクトルのグラフ」を表示できる。

&attachref(vector1.png,,33%);

&math(k); から &math(a_k); への対応関係を１つ決めると、
それが１つのベクトルを決めることに相当する。

#multicolumns

&math(u(x)\in U); のとき、

変数 &math(x); に対して &math(u(x)); をプロットすれば、
「関数のグラフ」を表示できる。

&attachref(function.png,,33%);
#multicolumns(end)

&math(x); から &math(u(x)); への対応関係を１つ決めると、
#multicolumns

&ref(線形代数II/関数空間/vector1.png,,33%);

&math(k); から &math(a_k); への対応関係を決めると、
それが１つのベクトルを決めることに相当する。

#multicolumns

&ref(線形代数II/関数空間/function.png,,33%);

&math(x); から &math(u(x)); への対応関係を決めると、
それが１つの関数を決めることに相当する。

#multicolumns(end)

ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、
上記グラフはあくまで概念的な物である。
~

このグラフで考えると、
- ベクトルの和はグラフの上下方向への重ね合わせに
- ベクトルの定数倍はグラフの上下方向の引き延ばしに

それぞれ対応する。

* 内積 [#a0503298]
ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、
上記グラフはあくまで概念的な物である。

SIZE(24){COLOR(RED){本授業で採用している内積の公理は[[かけ算の順番が一般的な物と異なる>線形代数II/内積と計量空間#e8db9a80]]ため注意せよ。}}
* 内積・ノルム・直交・規格化・正規直交 [#a0503298]

以下で用いる &math(A^\dagger); の記号は行列 &math(A); のエルミート共役（随伴行列）を表わしており、&math(A^\dagger\equiv (A^T)^*); と定義される。
ただし、&math(A^T); は &math(A); の転置行列、&math(A^*); は &math(A); の複素共役行列である。

#multicolumns
''[標準内積]''

標準内積：

&math((\bm a,\bm b)\equiv\bm a^\dagger\bm b
=\sum_{k=1}^n \overline{a_k}b_k);
=\sum_{k=1}^n a_k^*b_k);

少し一般化して、
複素内積では &math(a_k); に &math(^*); が付く。

&math((\bm a,\bm b)&\equiv\sum_{k=1}^n w_k\overline{a_k}b_k);
#multicolumns
''[標準内積]''

としても内積の公理を満たす。ただし &math(w_k>0); はある決まった正の数列で、
個々の成分に付けられた重みに相当する。
&math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,u^*(x)v(x)=\int_a^bdx\,\big(u(x)\big)^*v(x));

&math(U); は &math(a<x<b); で積分可能な関数の集合とする。

#multicolumns(end)
#multicolumns
''[非負性]''

標準内積：
任意の &math(\bm a); に対して~
&math((\bm a,\bm a)=\sum_{k=1}^na_k^*a_k=\sum_{k=1}^n|a_k|^2\ge 0);

&math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,\overline{u(x)}v(x));
&math((\bm a,\bm a)= 0); となるのは &math(\bm a=\bm 0); に限る。

少し一般化して、
#multicolumns
''[非負性]''

&math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x));
任意の &math(u(x)); に対して~
&math((u,u)=\int_a^bdx\,u^*(x)u(x)=\int_a^bdx\,|u(x)|^2\ge 0);

としても良い。ただし、&math(\rho(x)>0); は「重み関数」と呼ばれる。
&math((u,u)= 0); となるのは &math(u(x)=0); に限る。

#multicolumns(end)
#multicolumns
''[ノルム]''

* 正規・直交 [#e082a8dc]
&math(|\bm a|\equiv\sqrt{(\bm a,\bm a)});

#multicolumns
''[ノルム]''

正規性：
&math(\|u\|\equiv\sqrt{\int_a^bdx\,|u(x)|^2});

&math((\bm x,\bm x)=\|x\|^2=1);
複素数 &math(u(x)); の絶対値 &math(|u(x)|); と区別するため &math(\|u(x)\|); と書く。

直交：
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[正規化]''

&math((\bm x,\bm y)=0);
&math(\bm e=\frac{1}{|\bm a|}\bm a); とすれば &math(|\bm e|=1);

~
#multicolumns
''[正規化]''

正規直交：
&math(g(x)=\frac{1}{\|u\|}u(x)); とすれば &math(\|g\|=1);

ベクトルの組 &math(\set{\bm e_k}); に対して
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[直交]''

&math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij});
&math((\bm a,\bm b)=0); のとき &math(\bm a\perp\bm b);

#multicolumns
''[直交]''

正規性：
&math(\int_a^bdx\,u^*(x)v(x)=0); のとき &math(u\perp v);

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)|u(x)|^2=1);
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[正規直交]''

直交：
ベクトルの組 &math(\set{\bm e_k}); に対して

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)=0);
&math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij});

正規直交：
#multicolumns
''[正規直交]''

関数の組 &math(\set{\phi_k(x)}); に対して
関数の組 &math(\set{\psi_k(x)}); に対して

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_i(x)}\phi_j(x)=\delta_{ij});
&math(\int_a^bdx\,\psi_i(x)^*\psi_j(x)=\delta_{ij});

#multicolumns(end)

* 完全性・成分表示 [#u2490b82]

#multicolumns
あるベクトルの組 &math(\set{\bm b_k}); が線形空間 &math(V); を張るとは、
任意の &math(\bm x\in V); を次の形に表せること。
''[張る]''

ベクトルの組 &math(\set{\bm b_k}); が線形空間 &math(V); を張るとは、
任意の要素 &math(\bm x\in V); を次のように線形結合として表せることである。

&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm b_k);

以下では &math(\{\bm e_i\}); を &math(V); を張る正規直交系、
すなわち &math(V); の正規直交基底であるとする。

#multicolumns
''[完全]''

ある関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); が集合 &math(U); で完全であるとは、
任意の関数 &math(f(x)\in U); を次の形に表せること。
関数系 &math(\set{\psi_k(x)}); が集合 &math(U); で完全であるとは、
任意の関数 &math(f(x)\in U); を次のように線形結合として表せることである。

&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\phi_k(x));
&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x));

無限次元なので、和の上限は &math(\infty); となる。
以下では &math(\{\psi_i(x)\}); を &math(U); における正規直交完全系であるとする。
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[成分表示]''

実際には &math(k); の &math(\infty); までの和を取るわけには行かないため、
この表示は &math(N\to \infty); のときに左辺と右辺との差がゼロに近づくことを表わす。つまり、
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); と分解するとき、
その係数は

&math(\Big\|f(x)-\sum_{k=1}^N f_k\phi_k(x)\Big\|^2=\int_a^bdx\,\rho(x)\Big|f(x)-\sum_{k=1}^N f_k\phi_k(x)\Big|^2\to 0); 
&math(x_k=(\bm e_k,\bm x));

例えば、関数系 &math(\set{1,x,x^2,x^3,\dots}); は、任意の無限回微分可能な関数を
として求められる。（あるいは &math(x_k=(\bm x,\bm e_k)^*);）

&math(f(x)=\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{1}{k!}\frac{d^kf}{dx^k}\Big)x^k);
すなわち、

と表せることから、無限回微分可能な関数全体が作る線形空間において完全系をなす。~
（&math(x=0); におけるテイラー展開 ＝ マクローリン展開）
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n (\bm e_k,\bm x)\bm e_k);

#multicolumns(end)

#multicolumns
正規直交基底 &math(\set{\bm e_k}); により 
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); と分解するとき、
その &math(\bm e_k); 成分を
''[成分表示]''

&math(x_k=(\bm e_k,\bm x));
&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x)); と分解するとき、
その係数は

として求められる。（あるいは &math(x_k=\overline{(\bm x,\bm e_k)});）
&math(f_k=\int_a^bdx\,\psi_k^*(x)f(x));

として求められる。

すなわち、

&math(\bm x=\sum_{k=1}^n (\bm e_k,\bm x)\bm e_k);
&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty \Bigg[\int_a^bdx'\,\psi_k^*(x')f(x')\Bigg]\psi_k(x));

#multicolumns(end)
#multicolumns
正規直交関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); により 
&math(f(x)=\sum_{k=1}^n f_k\phi_k(x)); と分解するとき、
その &math(\phi_k(x)); の係数を
''[正規直交基底の条件]''

&math(f_k=\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_k(x)}f(x));
上式を変形すれば、

として求められる。すなわち、
&math(\bm x=\Big(\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger\Big) \bm x);

&math(f(x)=\sum_{k=1}^n \Bigg[\int_a^bdx'\,\rho(x')\overline{\phi_k(x')}f(x')\Bigg]\phi_k(x));
となり、任意のベクトル &math(\bm x); に対して成り立つから、

この式を変形すれば
&math(\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger=E);

&math(f(x)=\int_a^bdx'\,\Big[\sum_{k=1}^n \rho(x')\overline{\phi_k(x')}\phi_k(x)\Big]f(x')); 
である。この式を正規直交基底の条件とする場合もある。

となり、これが任意の関数 &math(f); に対して成り立つならば、
#multicolumns
''[正規直交完全性の条件]''

&math(\sum_{k=1}^n \rho(x')\overline{\phi_k(x')}\phi_k(x)=\delta(x'-x));
上式を変形すれば

である。この式を完全性の条件とする場合もある。
&math(f(x)=\int_a^bdx'\,\Big[\sum_{k=1}^\infty \psi_k^*(x')\psi_k(x)\Big]f(x')); 

となり、任意の関数 &math(f); に対して成り立つから、

&math(\sum_{k=1}^\infty \psi_k^*(x')\psi_k(x)=\delta(x'-x));

である。この式を正規直交完全性の条件とする場合もある。

#multicolumns(end)
#multicolumns
''[成分とノルム]''

与えられた関数をこのように正規直交な完全関数系で展開することを、
「フーリエ式展開」と呼ぶ。
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); のとき、

&math(|\bm x|^2=\sum_k^n |x_k|^2);

#multicolumns
''[成分とノルム]''

正規直交基底 &math(\set{\bm e_k}); に対するベクトル &math(\bm x); の表現を
&math({}^t\begin{pmatrix}x1&x2&\dots&x_n\end{pmatrix}); とすれば、
&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x)); のとき、

&math(\|\bm x\|^2=(\bm x,\bm x)=\sum_k |x_k|^2);
&math(\|f\|^2=\sum_k^\infty |f_k|^2);

→ [[正規直交基底に対する内積の成分表示>線形代数II/内積と計量空間#o879b519]] を参照
#multicolumns(end)

* 部分空間 [#q57c00e9]

たとえば、
&math(V=\set{f|f\in U\ \mathrm{and}\ f(a)=f(b)=0}); とすれば &math(V\subset U); 
であり、なおかつ &math(V); は和とスカラー倍について閉じているから &math(V); は部分空間をなす。

このように、&math(U); に和やスカラー倍で保存する何らかの制約を課した部分空間を考えることも
よく行われる。

実際、あまりおかしな関数まで &math(U); に含めてしまうと
内積を定義するための積分が発散するとか、関数を展開した無限級数が発散するとか、
おかしなことが起きてしまう。以下では数学的な厳密性は追わず、
&math(U); は普通に思い浮かべるような、素性の良い関数のみから成る空間であるとする。

* 線型変換・線型演算子 [#q7f74d1f]

#multicolumns
''[線型変換]''

パーセバルの等式：
あるベクトルを別のベクトルに変える変換 &math(F(\bm x)); が
任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して

ある正規直交関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); が完全であることと、
任意の関数 &math(f(x)); に対して &math(f_k=(\phi_k(x),f(x))); を求めた際に
&math(F(\alpha\bm a+\beta\bm b)=\alpha F(\bm a)+\beta F(\bm b));

&math(\|f\|^2=\int_a^b dx|f(x)|^2=\sum_{k=1}^\infty|f_k|^2);
を満たす時、これを線型変換という。

を満たすこととは同値となる。この等式はパーセバルの等式と呼ばれる。
#multicolumns
''[線型演算子]''

例えば、&math(\set{\phi_1,\phi_2,\phi_3,\dots}); が完全系であるとき、
&math(\set{\phi_1,\phi_3,\phi_5,\phi_7,\dots}); は恐らく完全系ではない。
このように関数系が不完全なときは、右辺の項数が不足する。
ある関数を別の関数に変える演算子 &math(\hat F); が
任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して

両方合わせると、任意の正規直交関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); に対して
&math(\hat F(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha \hat Ff(x)+\beta \hat Fg(x));

&math(\|f\|^2=\int_a^b dx\|f(x)\|^2\geqq\sum_{k=1}^\infty|f_k|^2);
を満たす時、これを線型演算子という。

が成り立つ。これをベッセルの不等式と呼ぶ。
例えば~
　&math(\hat F f(x)= \frac{d}{dx}f(x)); や~
　&math(\hat Ff(x)=(3x^2+1)f(x));~
　&math(\hat Ff(x)=f(x+1));~
は線型変換である。

#multicolumns(end)

ここまでの話は、積分や無限級数の和が収束することが条件となっていて、
そのあたりの詳しい話は解析学の範疇になる。
#multicolumns
''[行列表現]''

正規直交系の取り方によっても、どんな場合に収束するかなどが異なることがあるため、
個々のケースについて使いながら覚えていく必要がある。
線型変換 &math(F(\bm x)); の行列表現 &math(A=(a_{ij})); は

* 正規直交な完全関数系の例 [#wb9c96d2]
&math(a_{ij}=(\bm e_i,F(\bm e_j)));

授業で扱う範囲においては、
であり、このとき

ルジャンドル(Legendre)多項式 は主に量子力学で、
&math(F(\bm x)=A\bm x=\sum_{i=0}^n \bm e_i\sum_{j=0}^n a_{ij}\underbrace{(\bm e_j,\bm x)}_{x_j});

実・複素フーリエ級数は 波動・電気回路・信号処理などの他にも幅広い分野で、
と表せる。
#multicolumns
''[行列表現]''

活用されることになる。
任意の線型演算子 &math(\hat Ff(x)); に対してその行列要素は

** ルジャンドル(Legendre)多項式 [#obfa5335]
&math(F_{ij}=\int_a^bdx\,\psi_i^*(x)\hat F\psi_j(x));

ルジャンドル多項式は、内積の積分範囲を &math([-1,1]); に、また、重み関数 &math(\rho(x)=1); において
&math(\set{1,x,x^2,x^3,\dots}); をシュミットの直交化法を用いて直交化して得られる関数系である。
（厳密には係数分だけ異なるが）
と定義され、

&math(\set{1,x,x^2,x^3,\dots}); と同様に無限回微分可能な関数を元とする関数空間に於いて完全系をなす。
&math(\hat Ff(x)=\sum_{i=0}^\infty \psi_i^*(x)\sum_{j=0}^\infty F_{ij}\underbrace{\int_a^bdx\,\psi_j^*(x)f(x)}_{f_j});

#multicolumns(end)

* エルミート変換 [#occc27d8]

#multicolumns
1) 
''[エルミート共役]''

&math(\bm f_0=1);
任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して

&math((\bm f_0,\bm f_0)=\int_{-1}^1 dx=[x]_{-1}^1=2);
&math((\bm a,A\bm b)=(A^\dagger\bm a,\bm b));

&math(\therefore \bm e_0=\frac{1}{\|\bm f_0\|}\bm f_0=\frac{1}{\sqrt 2});
となるような &math(A^\dagger); を &math(A); のエルミート共役と呼ぶ。

標準内積では &math(A^\dagger=(A^T)^*); として求められる。
#multicolumns
2) 
''[エルミート共役]''

&math(\bm f_1&=x-(\bm e_0,x)\bm e_0\\
&=x-\frac{1}{2}\int_{-1}^1dx\,x\\
&=x-\frac{1}{2}\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_{-1}^1\\
&=x);
任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して

&math((\bm f_1,\bm f_1)=\int_{-1}^1 dx\,x^2=[\frac{1}{3}x^3]_{-1}^1=\frac{2}{3});
&math(\int_a^bdx\,f^*(x)\hat Ag(x)=\int_a^bdx\,\big(\hat A^\dagger f(x)\big)^*g(x));

&math(\therefore \bm e_1=\frac{1}{\|\bm f_1\|}\bm f_1=\sqrt{\frac{3}{2}}x);
となるとき、&math(\hat A^\dagger); を &math(\hat A); 
のエルミート共役と呼ぶ。
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[エルミート行列]''

&math(A^\dagger=A); のとき &math(A); をエルミート行列と呼ぶ。

このとき 

&math((\bm a,A\bm b)=(A\bm a,\bm b)); 

が成り立つ。

#multicolumns
3) 
''[エルミート演算子]''

&math(\bm f_2&=x^2-(\bm e_0,x^2)\bm e_0-(\bm e_1,x^2)\bm e_1\\
&=x^2-\frac{1}{2}\int_{-1}^1dx\,x^2-\frac{3}{2}\int_{-1}^1dx\,x^3\\
&=x^2-\frac{1}{2}\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{-1}^1-\frac{3}{2}\Big[\frac{x^4}{4}\Big]_{-1}^1\\
&=x^2-\frac{1}{3});
&math(\hat A^\dagger=\hat A); のとき &math(\hat A); をエルミート演算子と呼ぶ。

&math((\bm f_2,\bm f_2)&=\int_{-1}^1 dx\,\Big(x^4-\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{9}\Big)\\
&=\Big[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{9}x^3+\frac{1}{9}x\Big]_{-1}^1\\
&=\frac{2}{5}-\frac{2}{9}=\frac{8}{45});
このとき 

&math(\therefore \bm e_2&=\frac{1}{\|\bm f_2\|}\bm f_2\\
&=\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot\sqrt{3}{2}(x^2-\frac{1}{3})\\
&=\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot\frac{1}{2}(3x^2-1));
&math(\int_a^bdx\,f^*(x)\hat Ag(x)=\int_a^bdx\,\big(\hat Af(x)\big)^*g(x)); 

が成り立つ。

#multicolumns(end)

これを続けると、一般に
** 演習 [#qf83b503]

&math(\bm e_n=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n}_{\displaystyle P_n(x)});
ここでは任意の &math(f(x)\in U); が境界条件 &math(f(a)=f(b)=0); 
を満たすような関数空間 &math(U); を考える。

の形が得られる。式中で &math(P_n(x)); として表わした部分がルジャンドル多項式と呼ばれる。
&math(a=\infty,b=-\infty); と取れば、現実的な問題では常にこの境界条件は満たされる。

具体的な形は、
(1) 演算子 &math(\hat x:f(x)\mapsto xf(x)); のエルミート共役が &math(\hat x); 自身になること、
すなわち &math(\hat x); がエルミート演算子であることを示せ。
（座標 &math(x); は実数であることに注意せよ）

&math(P_0(x)=1);
(2) &math(U); において、演算子 &math(\frac{d}{dx}); のエルミート共役が &math(-\frac{d}{dx});
となることを上記の境界条件を用いて示せ。部分積分を使うと良い。

&math(P_1(x)=x);
(3) &math(U); において、演算子 &math(\hat p:f(x)\mapsto \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}); 
のエルミート共役が &math(\hat p); 自身になること、すなわち &math(\hat p); 
がエルミート演算子であることを示せ。

&math(P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1));
(4) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の和 &math(\hat A+\hat B:f(x)\mapsto \hat Af(x)+\hat Bf(x)); がエルミート演算子となることを示せ。

&math(P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x));
(5) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の積 &math(\hat A\hat B:f(x)\mapsto \hat A\big(\hat Bf(x)\big)); がエルミート演算子となることを示せ。

&math(P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3));
このように、境界でゼロとなる空間において、
&math(\hat x,\hat p); の和や積で表せる任意の演算子がエルミートになることが分かった。
一般に、任意の物理量は &math(x,p); の関数として表わすことができるが、
テイラー展開などにより &math(x,p); の和や積で表わすことが可能である。
したがって、任意の物理量に対応する演算子はエルミートになる。

&math(P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x));
当然、ハミルトニアン &math(\hat H); もエルミートである。

&math(P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5));
* ユニタリー変換 [#l5f20be7]
#multicolumns
''[ユニタリー行列]''

などとなる。
任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して

** 実フーリエ級数展開 [#fa35d828]
&math((U\bm a,U\bm b)=(\bm a,\bm b));

区間 &math([-\pi,\pi]); を定義域とする実関数空間に、
重み関数 = 1 として内積を導入するとき、
となる &math(U); をユニタリー行列と呼ぶ。

&math(\Big\{
a_0(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \\
a_1(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos x, b_1(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin x, \\
a_2(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos 2x, b_2(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin 2x, \dots,\\
a_k(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos kx, b_k(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin kx,\dots\Big\}
);
当然、&math(|U\bm a|=|\bm a|); も成り立つ。

は正規直交基底を為す。→ 正規直交性を確かめよ
またこのとき &math(U^\dagger U=UU^\dagger=E); すなわち
&math(U^\dagger=U^{-1}); である。
#multicolumns
''[ユニタリー演算子]''

&math(f(x)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k a_k(x)+\sum_{k=1}^\infty \beta_k b_k(x));
任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して

と展開するとき、各係数は、
&math(\int_a^bdx\,\big(\hat Uf(x)\big)^*\hat Ug(x)=\int_a^bdx\,f^*(x)g(x));

&math(\alpha_0=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{a_0(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, f(x));
となる &math(\hat U); をユニタリー演算子と呼ぶ。

&math(\alpha_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{a_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, \cos kx\,f(x));
当然、&math(|Uf(x)|=|f(x)|); も成り立つ。

&math(\beta_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{b_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, \sin kx\,f(x));
またこのとき &math(\hat U^\dagger \hat U=\hat U\hat U^\dagger=\hat 1); すなわち
&math(\hat U^\dagger=\hat U^{-1}); である。

として与えられる。
ここで &math(\hat 1:f(x)\mapsto f(x)); は恒等変換を表わす。

微分不可能な点を持っているような関数を含む、
ルジャンドル多項式で表せる空間よりもさらに広い空間で完全系となる。
#multicolumns(end)

** 複素フーリエ級数展開 [#fa35d828]
* 固有値問題 [#m2006e96]

区間 &math([-\pi,\pi]); を定義域とする複素関数空間に、
重み関数 = 1 として内積を導入するとき、
** 固有値、固有ベクトル・固有関数 [#f82e64ef]
*** 固有値が連続な場合もありうる [#l67d8f01]
** 対角化可能性 [#me56c699]
*** 相似変換 [#e5c2b3bf]
*** 固有関数の直交性 [#te68020b]
*** 正規行列・正規演算子 [#c888ca5b]
** エルミート行列の固有値は実数 [#fb478b4f]
** ユニタリー行列の固有値は絶対値が１ [#cc0ed7b6]

&math(\Big\{
\phi_0(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \\
\phi_1(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{ix}, \phi_{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-ix}, \\
\phi_2(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{2ix}, \phi_{-2}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-2ix}, \dots,\\
\phi_k(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{kix}, \phi_{-k}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-kix}, \dots\Big\}
);
* デターミナント・トレース・固有値 [#sb743be3]
** 定義・性質 [#vec8e625]
** 固有値との関係 [#p1b01fdf]
** 相似変換で保存 [#u27da019]
** デターミナントとノルム [#k8326c7d]

は正規直交基底を為す。→ 正規直交性を確かめよ
* 行列の関数 [#l13bb77c]

&math(f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty f_k \phi_k(x));
** $H$ がエルミートなら $e^{iH}$ はユニタリー [#a5808b18]

と展開するとき、各係数は、
&math(H); の固有値を &math(\lambda_1,\lambda_2,\dots); とすれば、

&math(f_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline {\phi_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, e^{-ikx}f(x));
&math(U=e^{iH}); の固有値は &math(e^{i\lambda_1},e^{i\lambda_2},\dots); であり、
すべて絶対値が１となるからこれはユニタリーである。

として与えられる。

微分不可能な点を持っているような関数を含む、
ルジャンドル多項式で表せる空間よりもさらに広い空間で完全系となる。

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* 質問・コメント [#xe022926]

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