量子力学Ⅰ/調和振動子 のバックアップ差分(No.3)
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[[量子力学I]] #contents * 概要 [#sc09b458] #ref(spring+mass.png,right,around,25%); ''調和振動子''とは、理想ばねのように変位に比例する力 &math(f=-kx); により束縛された粒子の系である。ポテンシャルエネルギーは &math(V(x)=kx^2/2); となる。 ''調和振動子''とは、理想ばねのように変位に比例する力 &math(f=-Kx); により束縛された粒子の系である。((波数 &math(k); と分けるため、ここではバネ定数を大文字 &math(K); で表わしている)) ポテンシャルエネルギーは &math(V(x)=Kx^2/2); となる。 ただしここではばねの自然長位置を &math(x=0); としている。 粒子の質量を &math(m); とすれば、古典論では角振動数 &math(\omega=\sqrt{k/m}); の単振動 粒子の質量を &math(m); とすれば、古典論では角振動数 &math(\omega=\sqrt{K/m}); の単振動 &math(x=x_0\cos(\omega t+\delta)); が解であり、エネルギーは &math(E=kx_0^2/2); と表せる。 が解であり、エネルギーは振幅 &math(x_0); を用いて &math(E=Kx_0^2/2); と表せる。 #ref(palabora.png,right,around,33%); 量子力学的なスケールでそのようなばねを思い浮かべることは難しいが、 一般に任意の滑らかで束縛的なポテンシャルの底を2次関数で近似すれば、 そこでの微小振動は調和振動子と見なせる。 そこでの微小振動は調和振動子と見なせる(右図)。 さらに電磁波も、無数の調和振動子の集まりとして表わせることを後に学ぶ。 このように量子力学の重要な問題のあちこちで調和振動子と同等な系が現れるため、 以下ではこの問題を詳細に学んでおく。 * 演習:1次元の調和振動子 [#l80144e9] #ref(xi.png,right,around,33%); (1) 調和振動子のポテンシャルは &math(V(x)=\frac{1}{2}kx^2); である。 (1) 調和振動子のポテンシャルは &math(V(x)=\frac{1}{2}Kx^2); である。 時間に依存しないシュレーディンガー方程式を書け。 (2) このような方程式を解く場合には、変数を無次元化するのが常套手段である。 すなわち、長さの次元を持つ自由変数 &math(x); を変数変換して、無次元の量 &math(\xi); で記述する。 ((&math(\xi); の書き方は http://kscalar.kj.yamagata-u.ac.jp/~endo/greek/zeta_xi.html を参考にした)) ((&math(\xi); の書き方の指導法は http://kscalar.kj.yamagata-u.ac.jp/~endo/greek/zeta_xi.html を参考にした)) ここでは、古典論から得られる角振動数を &math(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}); として、 ここでは、古典論から得られる角振動数を &math(\omega=\sqrt{\frac{K}{m}}); として、 &math(\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x);, &math(\lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}); と置くと良い。このとき(1)の式が &math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\psi(\xi)=0 \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\varphi(\xi)=0 ); となることを示せ。 (3) &math(\xi); の大きなところでは &math(\xi^2\gg\lambda); となるから、 そこでは &math(\psi); は近似的に次の方程式を満たす。 そこでは &math(\varphi); は近似的に次の方程式を満たす。 &math( \frac{d^2}{d\xi^2}\psi(\xi)=\xi^2\psi(\xi) \frac{d^2}{d\xi^2}\varphi(\xi)=\xi^2\varphi(\xi) ); ここから予想される &math( \psi(\xi)=X(\xi)e^{\pm\xi^2/2} \varphi(\xi)=X(\xi)e^{\pm\xi^2/2} ); を上式に代入し、&math(X(\xi)); に対する条件 の形の式を上式に代入し、&math(X(\xi)); に対する条件 &math( X''(\xi)=2\xi X'(\xi)+(1-\lambda) X(\xi) ); を導出せよ。(系が &math(x=0); 付近に束縛されていることから、複号は負を取れ) (4) &math(X(\xi)=\sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l); と置いて (3) の式に代入し、 係数 &math(c_l); の漸化式 &math(c_{l+2}=\frac{2l+1-\lambda}{(l+2)(l+1)}c_l);~ を導け。 #hr さて、(4) により、&math(c_0); を決めると &math(c_2,c_4,c_6,\dots); が、 &math(c_1); を決めると &math(c_3,c_5,c_7,\dots); が、 それぞれすべて決まる。 &math(c_l); が途中でゼロにならない場合、漸化式より &math(l\to \infty); において &math(\frac{c_{l+2}}{c_l}=\frac{2l+1-\lambda}{(l+2)(l+1)}\to \frac{\,2\,}{l});~ が成り立ち、これは が成り立ち、この係数の比は &math(2\xi^2 e^{\xi^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{(2n-2)!!}\xi^{2n}); あるいは、 &math(2\xi e^{\xi^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{(2n-2)!!}\xi^{2n-1}); の係数の比と同じである。このようになっていては の &math(n\to\infty); の時の係数の比と同じである((!! は[[二重階乗>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97#.E5.A4.9A.E9.87.8D.E9.9A.8E.E4.B9.97]]を表わす))。このようになっていては &math(X(\xi)e^{-\xi^2/2}); が &math(\xi\to\pm\infty); でゼロに収束する(束縛されている)という境界条件を満たさない。 かといって &math(c_0=c_1=0); では &math(\psi(x)=0); になってしまうから、 かといって &math(c_0=c_1=0); では &math(\varphi(x)=0); になってしまうから、 &math(c_0\ne 0); あるいは &math(c_1\ne 0); である。 境界条件を満たすのは、ある &math(n\ge 0); において &math(c_n\ne 0); であるものの &math(2n+1-\lambda=0); が成立することにより、 それ以降の &math(l>n); ですべて &math(c_l=0); となる場合である。 このとき、&math(c_0); あるいは &math(c_1); の片方はゼロでなくて構わないが、 もう一方はゼロでなければならない。 #hr (5) &math(n\ge 0); を量子数として &math(\lambda_n,E_n); を &math(n,\hbar,\omega); で表わせ。 (6) &math(X_4(\xi)); を求めよ。規格化はしなくて良い。 ** エネルギー固有値 [#f5bfa29e] &math(E_0=\hbar\omega/2); がゼロ点エネルギーとなる。 すなわち、調和振動子は基底状態においても運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーがゼロではない。 また、&math(E_{n+1}-E_n=\hbar\omega); より、エネルギー固有値は等間隔に並ぶ。 ここでは示さないが、古典論と同様にポテンシャルエネルギーの期待値は &math(E_n/2); であり、~ 運動エネルギーの期待値も &math(E_n/2); であり、両者は等しくなる。 ** 固有関数 [#va2f6370] - &math(n=0); のとき &math(X_0(\xi)=c_0); - &math(n=1); のとき &math(X_1(\xi)=c_1\xi); - &math(n=2); のとき &math(X_2(\xi)=c_0\left(1-2\xi^2\right)); - &math(n=3); のとき &math(X_3(\xi)=c_1\left(\xi-\frac{2}{3}\xi^3\right)); - &math(n=4); のとき &math(X_4(\xi)=c_0\left(1-4\xi^2+\frac{4}{3}\xi^4\right)); - ・・・ 明らかに &math(X_{2n}(\xi)e^{-\xi^2/2}); は偶関数であり、 ここでもポテンシャルの対称性を反映して &math(X_{2n}(\xi)e^{-\xi^2/2}); は偶関数であり、 &math(X_{2n+1}(\xi)e^{-\xi^2/2}); は奇関数である。 ここでもポテンシャルの対称性を反映してパリティの異なる固有関数が交互に現れる。 ** エルミート多項式 [#n6e731ab] &math(X_n(\xi)); は''エルミート多項式''と呼ばれる一連の多項式 &math(H_n(\xi)); の定数倍になっている。 ただし &math(H_n(\xi)); は、''母関数'' &math(S(\xi,t)); をテイラー展開した際に現れる係数として定義される。 &math( S(\xi,t)=e^{-t^2+2\xi t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n ); 上の &math(X_n(\xi)); に対する方程式の &math(\lambda); を &math(n); で書き換えれば、 &math(H_n(\xi)); は次の方程式を満たさなければならない。 &math(\Big(\frac{d^2}{d\xi^2}-2\xi\frac{d}{d\xi}+\underbrace{2n}_{\lambda-1}\Big)H_n(\xi)=0); &math(H_n(\xi)); がこれを満たすことは、 母関数を &math(\xi); や &math(t); で微分した形を調べることで証明できる。 → [[詳しくはこちら>量子力学I/調和振動子/メモ#p2faeebd]] また関数系 &math(H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}); の漸化式、 &math( H_{n+1}(\xi)e^{-\xi^2/2}=\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)\left(H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\right) ); &math( 2nH_{n-1}(\xi)e^{-\xi^2/2}=\left(\xi+\frac{d}{d\xi}\right)\left(H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\right) ); 直交性、 &math(\int_{-\infty}^\infty H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}H_m(\xi)e^{-\xi^2/2}d\xi= \left\{\begin{array}{ll} 0&n\ne m\\ 2^nn!\sqrt\pi & n=m \end{array}\right. ); なども母関数を使って証明できる。 → [[詳しくはこちら>量子力学I/調和振動子/メモ#ae4fed6d]] &math(H_0(\xi)=1); および漸化式を用いれば、 - &math(H_0(\xi)=1); - &math(H_1(\xi)=2\xi); - &math(H_2(\xi)=-2+4\xi^2); - &math(H_3(\xi)=-12\xi+8\xi^3); - &math(H_4(\xi)=12-48xi^2+16\xi^4); - &math(H_5(\xi)=120\xi-160\xi^3+32\xi^5); - &math(H_6(\xi)=-120+720\xi^2-480\xi^4+64\xi^6); - ・・・ が得られる。 ** 固有関数の性質 [#s9159dd6] 上記エルミート多項式の直交性を表わす式から &math(\psi_n(x)); を正規化できて、 上記エルミート多項式の直交性を表わす式から &math(\varphi_n(x)); を正規化できて、 &math(\psi_n(x)=\sqrt{\frac{\sqrt\pi}{2^nn!}\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}}H_n\Big(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\Big)\exp\Big(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\Big)); &math(\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{1}{2^nn!\sqrt\pi}\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}}H_n\Big(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\Big)\exp\Big(-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^2\Big)); このとき正規直交性は、 &math(\int_{-\infty}^\infty\psi_n(x)\psi_m(x)dx=\delta_{nm}); &math(\int_{-\infty}^\infty\varphi_n(x)\varphi_m(x)dx=\delta_{nm}); 漸化式は、 &math( \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\psi_n(x)=\sqrt{n+1}\,\psi_{n+1}(x) \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\varphi_n(x)=\sqrt{n+1}\,\varphi_{n+1}(x) ); &math( \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\psi_n(x)=\sqrt{n}\,\psi_{n-1}(x) \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\varphi_n(x)=\sqrt{n}\,\varphi_{n-1}(x) ); となる。 この漸化式は &math(\hat p=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}); を用いて、 &math(\hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\frac{i}{m\omega}\hat p\right)); &math(\hat a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{i}{m\omega}\hat p\right)); を定義すれば、((教科書では2つ目の式が &math(\hat a^*); として書かれているが、&math(\hat p^*\ne \hat p); なので正しくない。&math(\hat p^\dagger= \hat p);、&math(i^\dagger=-i); なので &math(\hat a^\dagger); と書くのが正しい。)) &math(\hat a^\dagger\psi_n(x)=\sqrt{n+1}\,\psi_{n+1}(x)); &math(\hat a^\dagger\varphi_n(x)=\sqrt{n+1}\,\varphi_{n+1}(x)); &math(\hat a\psi_n(x)=\sqrt{n}\,\psi_{n+1}(x)); &math(\hat a\varphi_n(x)=\sqrt{n}\,\varphi_{n-1}(x)); と書ける。ここから、 &math(\hat a^\dagger\hat a\psi_n(x)=n\psi_n(x)); &math(\hat a^\dagger\hat a\varphi_n(x)=n\varphi_n(x)); &math(\hat a\hat a^\dagger\psi_n(x)=(n+1)\psi_n(x)); &math(\hat a\hat a^\dagger\varphi_n(x)=(n+1)\varphi_n(x)); &math((\hat a\hat a^\dagger-\hat a^\dagger\hat a)\psi_n(x)=\psi_n(x)); &math((\hat a\hat a^\dagger-\hat a^\dagger\hat a)\varphi_n(x)=\varphi_n(x)); &math(\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+1/2)\psi_n(x)=\frac{\hbar\omega}{2}(\hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a)\psi_n(x)=\hbar\omega(n+1/2)\psi_n(x)=E_n\psi_n(x)); &math(\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+1/2)\varphi_n(x)=\frac{\hbar\omega}{2}(\hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a)\varphi_n(x)=\hbar\omega(n+1/2)\varphi_n(x)=E_n\varphi_n(x)); が得られる。これらを &math(\hat a^\dagger\hat a=\hat n); &math(\hat a\hat a^\dagger-\hat a^\dagger\hat a=\hat 1); &math(\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+1/2)\psi_n(x)=\frac{\hbar\omega}{2}(\hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a)=\hat H); &math(\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+1/2)=\frac{\hbar\omega}{2}(\hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a)=\hat H); のように書くこともできる。 ここで学んだ生成・消滅演算子(&math(\hat a^\dagger,\hat a);)、 数演算子(&math(\hat n=\hat a^\dagger\hat a);)の考え方は、 第二量子化後の波動関数においてフェルミ粒子・ボーズ粒子を扱う際に多用する。 また、上記の交換関係 &math(\hat a\hat a^\dagger-\hat a^\dagger\hat a=\hat 1); はボーズ粒子のそれに相当する。 応用範囲の広い内容であるため、しっかり復習しておくこと。 ** 固有関数の形 [#o19a1880] &math(\varphi_n(x)); および &math(|\varphi_n(x)|); を下から &math(n=0,1,\dots,18); の範囲でプロットした。それぞれ上方向に &math(E_n); 分だけオフセットしてある。 &attachref(harmonic2.png,,50%); &attachref(harmonic1.png,,50%); 二次曲線は &math(y=Kx^2/2); であり、古典的な調和振動子ではこの外には出られない。 有限な箱形ポテンシャルの場合と同様、量子力学的な解は外側にも少しはみ出している。 &math(\varphi_n(x)); は &math(n); が偶数では偶関数、奇数では奇関数になっている。 &math(k); を波数とすれば、 &math(\frac{\hbar^2k^2}{2m}=E_n-V(x)); の関係が成り立つから、&math(n); が大きいところの解では &math(x=0); の近辺で波長が短く、端の方で波長が長くなっているのが分かる。 同様に、振幅は中央で小さく両端で大きくなっている。 上図の &math(n=10); の付近を拡大して下に示す。 &attachref(harmonic-density.png,,66%); 紺はポテンシャル障壁位置であり、これが古典的な粒子の振幅を表わす。 網を掛けた黄土色の線は古典粒子の存在確率を表わしている。 古典論では中央部では速度が速く、両端では速度が遅いため、比較的中央部の存在確率が低くなる。((古典的な場合の存在確率は &math(P(x)=\frac{2}{v(x)T}=\frac{1}{\pi\sqrt{a^2-x^2}}); で与えられる。ただし &math(T); は振動周期、&math(v(x)); は速度である。)) 細かく振動していること、古典振幅を越えて染み出すこと、 の2点を除いて量子力学的な解が古典力学の解と類似していることが分かる。 * 3次元の調和振動子 [#y596d643] ポテンシャルを &math(V(\bm r)=\frac{K}{2}(x^2+y^2+z^2)); と置いて、 &math(\underbrace{\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\delta^2+V(\bm r)\right)}_{=\hat H(\bm r)}\varphi(\bm r)=E\varphi(\bm r)); を解くことになる。 ** 演習 [#fe1863bf] (1) &math(\hat H_x(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{K}{2}x^2); などと置けば、 &math(\hat H(\bm r)=\hat H_x(x)+\hat H_y(y)+\hat H_z(z)); と表せることを確かめよ。 (2) &math(\varphi(\bm r)=X(x)Y(y)Z(z)); のように変数分離できるとして、&math(X(x),Y(y),Z(z)); の固有方程式を求めよ。またそのとき、エネルギー固有値がそれぞれの固有値の和として、 &math(E=E_x+E_y+E_z); のように表せることも示せ。 (3) 基底状態、第1励起状態、第2励起状態は、第3励起状態がそれぞれ何重に縮退しているか答えよ。 * 質問・コメント [#me2aca9d] #article_kcaptcha
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