電磁気学/Gauss の定理 のバックアップ差分(No.2)
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[[電磁気学]] * Gauss の定理 [#i2e8a98e] ** 基本 [#d04c8f8e] 任意のベクトル場 &math(\bm E(\bm x)); の発散 任意の滑らかなベクトル場 &math(\bm E(\bm x)); に対して、その閉曲面 &math(S); からの発散を考える。 &math(\int \bm E\cdot\bm n dS); &math(\int_S \bm E\cdot\bm n dS); について、 この値が次の2つの性質を持つことが基本となる。 + 微小量域の発散は体積に比例する + 全体の発散は微小量域の発散を積算すれば求められる + 微小領域からの発散は体積に比例する + 全体の発散は微小領域の発散を積算することで求められる の2つが成り立つことが基本となる。 ** 微小量域の発散は体積に比例する [#j0fcf317] &attachref; &math((x,y,z)); に存在する &math(dx,dy,dz); を辺とする微小な直方体領域に、 &math(x); 軸方向の電場 &math(\bm E(x,y,z)=(E_x(x,y,z),0,0)); が存在する状況を考える。 &math(dx,dy,dz); を辺とする微小な直方体領域に、 &math(x); 軸方向の電場 &math(\bm E=(E_x,0,0)); が存在する状況を考える。 &attachref(divergence.png,,50%); まず &math(\bm E); に平行な4面では &math(\bm E\cdot\n=0); となる。 それぞれの面から外へ出る発散量を考えると、&math(y); 方向、&math(z); 方向の 電場成分はゼロだから、 残りの2面について、領域に入る量は &math(\bm E(x) &math( &\int \bm E\cdot\bm n dS\\ &=\bm e_x\cdot \bm E(x+dx,y,z) dy\,dz - \bm e_x\cdot \bm E(x,y,z) dy\,dz \\ &+\bm e_y\cdot \bm E(x,y+dy,z) dz\,dx - \bm e_y\cdot \bm E(x,y,z) dz\,dx \\ &+\bm e_z\cdot \bm E(x,y,z+dz) dx\,dy - \bm e_z\cdot \bm E(x,y,z) dx\,dy \\ &=\{E_x(x+dx,y,z)-E_x(x,y,z)\}dy\,dz\\ &=\frac{\PD E_x}{\PD x}dx\,dy\,dz\\ &\prop dx\,dy\,dz ); ** 全体の発散は微小量域の発散を積算すれば求められる [#j633a789] すなわち、 - &math(E_x(x+dx)-E_x(x)); が &math(dx); に比例する - 面積が &math(dy\,dz); に比例する が合わさって、全体として「体積」に比例することになる。 任意軸方向の電場が存在する時は &math( \int \bm E\cdot\bm n dS =\Big\{\frac{\PD E_x}{\PD x}+\frac{\PD E_y}{\PD y}+\frac{\PD E_z}{\PD z}\Big\}dx\,dy\,dz ); となり、この「比例係数」を &math(\DIV\bm E); と書く。 &math( \DIV\bm E=\frac{\PD E_x}{\PD x}+\frac{\PD E_y}{\PD y}+\frac{\PD E_z}{\PD z}=\bm\nabla\cdot\bm E ); ** 全体の発散は微小量域の発散を積算することで求められる [#j633a789] &attachref(gauss.png,,50%);
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