スピントロニクス理論の基礎/8-7 のバックアップの現在との差分(No.3)
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[[スピントロニクス理論の基礎]] [[[前の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/8-6]] <<<< [[スピントロニクス理論の基礎]](目次) >>>> [[[次の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/8-8]] #contents &katex(); * 8-7 自由電子の場合の具体例 [#a1428664] この章では、&math(\left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)=\varepsilon_{\bm k'}); この章では、&math(\left(\frac{\hbar^2 k^2}{2m}-\varepsilon_F\right)=\varepsilon_{\bm k}); という表示が用いられている。 ** 自由な電子の時間発展 [#d904a2df] (8.80) (8.29) の &math(H_0); を代入し (8.23) と同様の変形をする。 (8.29) の &math(H_0); を代入し (8.23) を用いて (8.29)→(8.30) と同様の変形をする。 &math( &\dot c_\mathrm H(\bm k)=\frac{i}{\hbar}[H_{0\mathrm H},c_\mathrm H(\bm k)]\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger[H_0,c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)[c^\dagger(\bm k') c(\bm k'),c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\Big(c^\dagger(\bm k')\{ c(\bm k'),c(\bm k)\}-\{c^\dagger(\bm k'),c(\bm k)\}c(\bm k')\Big)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\delta^3(\bm k-\bm k')c(\bm k')U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}U^\dagger c(\bm k)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}c_\mathrm H(\bm k)\\ ); (8.81) これを積分すると、 &math( c_\mathrm H(\bm k,t)&=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c_\mathrm H(\bm k,t_0)\\ &=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k,t_0)); &math(c_\mathrm H(\bm k,t_0)=c(\bm k,t_0)); に注意。 *** 通常の表示との比較 [#r1b89b5c] (8.82) 一方で、 &math( c_\mathrm H(\bm k,t)&=U^\dagger(t-t_0)c(\bm k,t_0)U(t-t_0)\\ &=e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k,t_0)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)} ); (8.81) と (8.82) が「等価である」という点についてちょっと厳密性を欠いた検証: &math(c_\mathrm H(\bm k)); は消滅演算子なので、波数 &math(\bm k); を持つ粒子が1ついる状態 &math(\ket{1}_{\bm k}); に作用させるとその粒子が消滅して波数 &math(\bm k); を持つ粒子が1つもいない状態 &math(\ket{0}_{\bm k}); を生じる。その際の係数は 1 である。~ → [[フェルミオンの交換関係>スピントロニクス理論の基礎/X-1]] 元がゼロの時も考えると、 &math(c(\bm k)\ket{1}_{\bm k} = \ket{0}_{\bm k});~ &math(c(\bm k)\ket{0}_{\bm k} = 0); この &math(\ket{1}_{\bm k}); に &math(&c_\mathrm H(\bm k)); を作用させてみると、 &math(H_0\ket{1}_{\bm k}=\varepsilon_{\bm k}\ket{1}_{\bm k});、 &math(H_0\ket{0}_{\bm k}=0 \ket{0}_{\bm k}); より、 &math( c_\mathrm H(\bm k)\ket{1}_{\bm k} \\ &c_\mathrm H(\bm k)\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k)\ket{1}_{\bm k}\\ ); 矛盾しない。 任意の波動関数を考えると話はここまで簡単ではないけれど、 右側の &math(H_0); が掛かる時点に比べて左側の &math(H_0); が掛かる時点では粒子が1つ減っていて、 その分のエネルギー差が現われるという点では同じなのだと思う。 (元々粒子がいない時には両辺がゼロになるので、式としては成立する) ** $G^<$ について [#gd6e74b1] グリーン関数が実際に使われるときは &math(\sum_{\bm k}\sum_{\bm k'}); のような和が取られることを先取りして、 &math(e^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\varepsilon_{\bm k'})t_0}=\delta_{\bm k,\bm k'}); を使う。 (8.83) &math(g_{0\bm k,\bm k'}^<(t,t')=i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') c_\mathrm H(\bm k,t) \rrangle); &math(g_{0\bm k,\bm k'}^<(t,t')=\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\textcolor{red}{\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') c_\mathrm H(\bm k,t) \rrangle}); &math(=ie^{\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k'}(t'-t_0)}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=\frac{i}{\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k'}(t'-t_0)}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=ie^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\varepsilon_{\bm k'})t_0}e^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k'}t'-\varepsilon_{\bm k}t)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=\frac{i}{\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\varepsilon_{\bm k'})t_0}e^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k'}t'-\varepsilon_{\bm k}t)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=i\delta_{\bm k,\bm k'}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=\frac{i}{\hbar}\delta_{\bm k,\bm k'}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})); &math(=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot \frac{i}{\hbar}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})); &math(\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^<(t-t')); &math(\equiv \delta_{\bm k,\bm k'} \cdot g_{\bm k}^<(t-t')); ただし、 すなわち、 &math( g_{\bm k}^<(t-t') \equiv \frac{i}{\hbar}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k}) ); ** フェルミ分布関数 [#xcfdcb8b] ただしここで、 &math(\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math( &=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|\hat n(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|\hat n|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|\hat n|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ 1 \braket{0|0|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} ); 本当は分母・分子ともに &math(\bm k); の粒子の状態以外の状態数がかけ算されたり、 &math(\bm k); の粒子以外のエネルギーに対応する重みが掛かったりするはずだけれど、 それらは分母・分子で括りだした上で通分できて、必要な因子は上記の通りとなる。 *** 詳しく見てみる [#ic067487] 全部まじめにやるならば、 &math(\bm k_i); を持つ電子を &math(n_{\bm k_i}); 個ずつ持つ波動関数を &math(\ket{n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots}); と書く。すなわちすべての &math(i); に対して、 &math(\hat n_{\bm k_i} \ket{n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots}= n_{\bm k_i} \ket{n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots}); が成り立つとする。電子はフェルミオンなので、実際には &math(n_{\bm k_i}=0,1); である。 このとき、 &math( Z_0= \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_i}} \dots e^{-i\beta( n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+ n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}+\dots )} \braket{ n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots| n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots } ); であり、分子に現われる &math(\trace[ e^{-\beta H} c^\dagger_{\bm k_i} c_{\bm k_i} ]=\trace[ e^{-\beta H} \hat n_{\bm k_i} ]); は、 &math( \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_i}} \dots e^{-i\beta( n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+ n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}+\dots )} \braket{ n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots|\, \hat n_{k_i}\,| n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots } ); となる。 &math( \braket{ n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots|\, n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots }=1 ); &math( \braket{ n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots|\, \hat n_{\bm k_i}\,| n_{\bm k_1},n_{\bm k_2},\dots,n_{\bm k_i},\dots }=n_{\bm k_i} ); を使うと、 &math( &\llangle c^\dagger_{\bm k_i} c_{\bm k_i} \rrangle=\llangle \hat n_{\bm k_i} \rrangle\\ &=\frac{ \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_i}} \dots e^{-i\beta( n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+ n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}+\dots )} \cdot n_{\bm k_i} }{ \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_i}} \dots e^{-i\beta( n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+ n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i}+\dots )} \cdot 1 }\\ ); &math( &=\frac{ \sum_{n_{\bm k_i}} e^{-i\beta n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i} } \cdot n_{\bm k_i} \left( \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_{i-1}}} \sum_{n_{\bm k_{i+1}}} \dots e^{-i\beta( n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+ n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots n_{\bm k_{i-1}}\varepsilon_{\bm k_{i-1}}+ n_{\bm k_{i+1}}\varepsilon_{\bm k_{i+1}}+\dots )} \right) }{ \sum_{n_{\bm k_i}} e^{-i\beta n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i} } \left( \sum_{n_{\bm k_1}} \sum_{n_{\bm k_2}} \dots \sum_{n_{\bm k_{i-1}}} \sum_{n_{\bm k_{i+1}}} \dots e^{-i\beta( n_{\bm k_1}\varepsilon_{\bm k_1}+ n_{\bm k_2}\varepsilon_{\bm k_2}+\dots n_{\bm k_{i-1}}\varepsilon_{\bm k_{i-1}}+ n_{\bm k_{i+1}}\varepsilon_{\bm k_{i+1}}+\dots )} \right) }\\ ); &math( &=\frac{ \sum_{n_{\bm k_i}} n_{\bm k_i} e^{-i\beta n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i} } }{ \sum_{n_{\bm k_i}} e^{-i\beta n_{\bm k_i}\varepsilon_{\bm k_i} } }\\ ); のように通分できて、上記の1つの &math(\bm k); のみを考えた場合に帰着する。 ** $G^>$ について [#g908f65b] 同様に、 &math(g_{0\bm k,\bm k'}^>(t,t')=-i\llangle c_\mathrm H(\bm k,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') \rrangle); &math(g_{0\bm k,\bm k'}^>(t,t')=-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\textcolor{red}{\llangle c_\mathrm H(\bm k,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') \rrangle}); &math(=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]); &math(=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot -\frac{i}{\hbar}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]); &math(\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^>(t-t')); &math(\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}\cdot g_{\bm k}^>(t-t')); すなわち、 &math( g_{\bm k}^>(t-t')\equiv -\frac{i}{\hbar}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})] ); ただし、 &math(\llangle c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0) \rrangle); &math( &=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|(1-\hat n)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|(1-\hat n)|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|(1-\hat n)|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ 1 \braket{0|1|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|0|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{1}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} =1-\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} ); このように詳細に計算しても求まるが、もともとの反交換関係が &math(c^\dagger c+cc^\dagger=1); なので、 &math(\llangle cc^\dagger\rrangle =1-\llangle c^\dagger c \rrangle); &math(\llangle cc^\dagger\rrangle =1-\llangle c^\dagger c \rrangle=1-f_{\bm k}); としてしまえば計算の必要は無い。~ → [[フェルミオンの交換関係>スピントロニクス理論の基礎/X-1]] (8.84) &math(f(\vaepsilon_{\bm k})=\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1}); &math(f(\varepsilon_{\bm k})=\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1}); ** $\delta_{\bm k,\bm k'}$ の意味 [#b4bde090] (8.83) で &math(\delta_{\bm k,\bm k'}); が出るのは、 &math(\braket{\alpha|c^\dagger_\mathrm H(\bm k') c_\mathrm H(\bm k)|\alpha} =\braket{c_\mathrm H(\bm k')\alpha|c_\mathrm H(\bm k)\alpha}=\delta_{\bm k,\bm k'}); すなわち &math(\bm k\ne\bm k'); の時、 &math(c_\mathrm H(\bm k')\ket{\alpha} \perp c_\mathrm H(\bm k)\ket{\alpha}); となるためである。 ** $t, \omega$ のフーリエ変換 [#w88c8696] (8.85) &math(g_{0\bm k\omega\omega'}^< &=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' e^{\frac{i}{\hbar}[(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) t-(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k}) t']} f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=i\hbar 2\pi\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})2\pi\delta(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot 2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^<); &math(\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}=2\pi\delta(\omega)); および &math(\delta(ax)=\delta(x)/a); を使った。 &math(\delta(ax)=\delta(x)/|a|); を使った。 &math(g_{0\bm k\omega}^<); の表式は &math(e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})); を &math(t-t'); に対して Fourier 変換しても求まる。 同様にして、 &math(g_{0\bm k\omega\omega'}^> &=-i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1- f(\varepsilon_{\bm k})]\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot -2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})[1-f(\varepsilon_{\bm k})]\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^>); ** $G^r$ および $G^a$ について [#l4c5bb81] (8.88) &math( g_{0\bm k\omega\omega'}^r &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' e^{i\omega t-i\omega' t'} \theta(t-t')\Big(g_{0\bm k}^>(t,t')-g_{0\bm k}^<(t,t')\Big)\\ &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_{-\infty}^\infty dt e^{i\omega (t-t')}\theta(t-t') \Big(g_{0\bm k}^>(t-t')-g_{0\bm k}^<(t-t')\Big)\\ &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_0^\infty dt'' e^{i\omega t''} \Big(g_{0\bm k}^>(t'')-g_{0\bm k}^<(t'')\Big)\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\frac{1}{\hbar}\int_0^\infty dt'' e^{i\omega ''} \Big(-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}(1-f_{\bm k}) -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}f_{\bm k}\Big)\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt'' e^{i\omega t''} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt'' e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^r ); &math( g_{0\bm k\omega}^r=\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt'' e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''} ); を評価するには・・・~ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0 これを評価するには、超関数をある程度分かっていないといけないようなのだけれど・・・~ [[Wikipedia/ディラックのデルタ関数>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0]] &math( \delta(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t}\\ &=\frac{i}{2\pi}\left(\frac{1}{w+i0}-\frac{1}{w-i0}\right)\\ &=\lim_{\Delta_\omega\rightarrow+0}\frac{i}{2\pi}\left(\frac{1}{w+i\Delta_\omega}-\frac{1}{w-i\Delta_\omega}\right)\\ &=\lim_{\Delta_\omega\rightarrow+0}\frac{1}{\pi}\frac{\Delta_\omega}{w^2+\Delta_\omega^2} ); だそうで、 &math( -i\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t} &=-i\int_0^\infty dt e^{-i\omega t}-i\int_{-\infty}^0 dt e^{-i\omega t}\\ &=\hspace{6.6mm}\frac{1}{w+i0}\hspace{6.6mm}-\hspace{6.6mm}\frac{1}{w-i0} ); ということみたい。 これを &math(\omega\rightarrow \frac{1}{\hbar}(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})); を認めれば、 &math(\omega\rightarrow \frac{1}{\hbar}(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})); とすると (8.88) が出てくる。 ※(2011.9.5 追記) 上記の計算の仕方を植田先生の授業で教えていただいた。 積分の中が &math(t\rightarrow\pm\infty); の時に位相が決まらないことが問題なので、 以下のように &math(i\omega t); の部分を &math(\delta>0); を用いて &math(i\omega t\mp\delta); とすることで、 &math(t\rightarrow\pm\infty); の時に収束するようにしておいて、 最後に &math(\delta\rightarrow +0); に持って行けば良い。 &math( -i\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t} &=-i\int_0^\infty dt e^{-i\omega t}-i\int_{-\infty}^0 dt e^{-i\omega t}\\ &=-i\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_0^\infty dt e^{(-i\omega -\delta)t} -i\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{-\infty}^0 dt e^{(-i\omega+\delta) t} \\ &=-i\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{-i\omega -\delta}e^{(-i\omega -\delta)t}\right]_0^\infty -i\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{-i\omega +\delta}e^{(-i\omega +\delta)t}\right]_{-\infty}^0\\ &=-i\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{-i\omega -\delta}(0-1) -i\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{-i\omega +\delta}(1-0)\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{w+i\delta} -\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{w-i\delta}\\ &\equiv\hspace{6.6mm}\frac{1}{w+i0}\hspace{3.3mm}-\hspace{3.3mm}\frac{1}{w-i0} ); ※ここまで追記 もう一方は、 &math(g_{0\bm k\omega}^a =\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^0dt e^{i\frac{1}{\hbar}(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})t} =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}); なので、 (8.89) &math(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r=2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})); (8.87) の &math(2\pi i\delta(\hbar \omega-\varepsilon_{\bm k}); をこれで置き換えると (8.87) の &math(2\pi i\delta(\hbar \omega-\varepsilon_{\bm k})); をこれで置き換えると (8.90) &math(g_{0\bm k\omega}^<=f(\varepsilon_{\bm k})(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r)); &math(g_{0\bm k\omega}^>=-\Big(1-f(\varepsilon_{\bm k})\Big)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r)); さらに、&math(\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})); があるため &math(\hbar\omega=\varepsilon_{\bm k}); を仮定できて、 (8.91) &math(g_{0\bm k\omega}^<=f(\omega t)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r)); &math(g_{0\bm k\omega}^>=-\Big(1-f(\omega t)\Big)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r)); とも書ける。 ** $G^t$ について [#gdf7edb6] (8.70) に (8.83) を代入すると、 (8.92) &math( g_{0\bm k}^t(t,t')&=\theta(t-t')g_{0\bm k}^>(t,t')+\theta(t'-t)g_{0\bm k}^<(t,t')\\ &=-\theta(t-t')ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})] +\theta(t-t')ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t'-t)} f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t'-t)}[\theta(t-t')(1-f(\varepsilon_{\bm k}))-\theta(t'-t)f(\varepsilon_{\bm k})] ); (8.93) フーリエ変換すると (8.88) などと同様に、 &math(g_{0\bm k\omega}^t =\frac{f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0} +\frac{1-f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0}); (8.94), (8.95) &math(T=0); では &math(f_{\bm k}=\theta(-\varepsilon_{\bm k})); となるため、 &math(g_{0\bm k\omega}^t\big|_{T=0} =\frac{\theta(-\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0} +\frac{\theta(\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0} = \frac{\theta(\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\mathrm{sgn}(\varepsilon_{\bm k})\times i0}); = \frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\mathrm{sgn}(\varepsilon_{\bm k})\times i0}); * 質問・コメント [#h0f6e402] #article_kcaptcha **誤植? [#i2249a23] >[[沖縄の酔いどれゾンビ]] (&timetag(2017-05-05T04:58:42+09:00, 2017-05-05 (金) 13:58:42);)~ ~ (8.83)など1/hが抜けている気がします。~ ~ (8.92)ででてきたg_{0k}^t(t,t')はg_{0kw}^t(t,t')のwを省略しているのですか。~ // - &math(1/\hbar); が抜けている件、おっしゃるとおり修正漏れでした。 -- [[武内(管理人)]] &new{2017-05-09 (火) 20:28:01}; - (8.92)の方は、フーリエ変換する前だと &math(\omega); は付かないように思うのですが、間違っているでしょうか? -- [[武内(管理人)]] &new{2017-05-09 (火) 20:34:56}; #comment_kcaptcha
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