一次元の散乱現象/メモ のバックアップの現在との差分(No.2)
更新- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
[[量子力学Ⅰ/一次元の散乱現象]] * 解答:ポテンシャルの異なる領域へ入射する平面波 [#s9f24ac4] &katex(); (1) &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x)); $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x)$$ (2) &math(x<0); では &math(V(x)=0); より、 $x<0$ では $V(x)=0$ より、 &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}\right)^2e^{\pm ikx}=\varepsilon e^{\pm ikx}); $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}\right)^2e^{\pm ikx}=\varepsilon e^{\pm ikx}$$ (3) &math(0\ge x); では &math(V(x)=V_0); より、 $0\le x$ では $V(x)=V_0$ より、 &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}k'^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m(\varepsilon-V_0)}{\hbar^2}}\right)^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\varepsilon e^{\pm ik'x}); $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}k'^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m(\varepsilon-V_0)}{\hbar^2}}\right)^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\varepsilon e^{\pm ik'x}$$ (4) &math(\varphi_I(0)+\varphi_R(0)=\varphi_R(0)); $$\varphi_I(0)+\varphi_R(0)=\varphi_T(0)$$ &math(\frac{d \varphi_I}{dx}(0)+\frac{d\varphi_R}{dx}(0)=\frac{d\varphi_R}{dx}(0)); $$\frac{d \varphi_I}{dx}(0)+\frac{d\varphi_R}{dx}(0)=\frac{d\varphi_T}{dx}(0)$$ (5) &math(1+R=T);, &math(ik-ikR=ik'T); より、 $1+R=T$, $ik-ikR=ik'T$ より、 &math(k(1-R)=k'(1+R)); $$k(1-R)=k'(1+R)$$ &math(R=\frac{k-k'}{k+k'}, T=\frac{2k}{k+k'}); $$R=\frac{k-k'}{k+k'}, T=\frac{2k}{k+k'}$$ (6) &math((左辺)&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k'\frac{4k^2}{(k+k')^2}\\ $$ \begin{aligned} \text{(左辺)}&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k'\frac{4k^2}{(k+k')^2}\\ &=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k\frac{4kk'}{(k+k')^2}\\ &=k\frac{k^2+2kk'+k'^2}{(k+k')^2}\\ &=k); &=k \end{aligned} $$ (7) &math(k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}=(1/2)\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k/2); より、 &math(R=1/3,T=4/3); $k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}=(1/2)\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k/2$ より、 $R=1/3,T=4/3$ &math(kR^2+k'T^2=\frac{1}{3^2}k+\frac{4^2}{3^2}\frac{k}{2}=\frac{1+8}{9}k=k); $$kR^2+k'T^2=\frac{1}{3^2}k+\frac{4^2}{3^2}\frac{k}{2}=\frac{1+8}{9}k=k$$ (8) &math(V_0<0); のとき、&math(k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}>\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k); より、 &math(R=\frac{k-k'}{k+k'}<0); であり、 $V_0<0$ のとき、$k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}>\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k$ より、 $R=\frac{k-k'}{k+k'}<0$ であり、 &math(\varphi_I(0)=1>0); $$\varphi_I(0)=1>0$$ に対して、 &math(\varphi_R(0)=R<0); $$\varphi_R(0)=R<0$$ となり、両者の位相は &math(\pi); 異なる。 となり、両者の位相は $\pi$ 異なる。 * Mathematica ソース [#td4bdace] &attachref(一次元散乱.nb);
Counter: 3546 (from 2010/06/03),
today: 1,
yesterday: 0