スピントロニクス理論の基礎/8-3 のバックアップソース(No.9)
更新[[[前の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/8-2]] <<<< [[スピントロニクス理論の基礎]](目次) >>>> [[[次の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/8-4]] #contents * 8-3 数学的に便利な微分方程式を満たす関数 [#aeffaab6] ** 自由電子のハミルトニアン(フェルミエネルギー分をシフト済み) [#sab7326b] ポテンシャル成分を含まない自由な電子のハミルトニアン(波数表示) (8.29) &math(H_0=\sum_{\bm k,\sigma}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\varepsilon_F \right)c^\dagger_{\bm k,\sigma}c_{\bm k,\sigma}); これは実空間で言えば、 (8.29A) &math( H_0(t)&=\int d^3r\left(\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla c(\bm r,t)|^2-\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2 \right)\\ &=K-\int d^3r\,\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2\\ ); ということ。実⇔波数 の変換は (8.74) あたりでちゃんと出てくる。 ** Green 関数導出の試行(失敗) [#r6e050cc] 電子密度 &math(n(\bm r,t)=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0); の括弧の中の2つの &math(c_\mathrm H); の位置と時刻をずらしてみる。(&math(\llangle\ \ \ \rrangle_0); は &math(H_0); で記述される系における期待値を表す。 本当なら &math(c_H); を &math(c_{H_0}); のように書いた方が分かりやすいと思うのだが、 ここでは教科書に沿って進めることとする) (8.30) &math( \hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 = \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\hbar\frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0 = i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\big[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)\big] \rrangle_0 ); ここで、&math(H_0); に含まれる &math(\varepsilon_F); の項の交換関係を調べると、 (8.30A) &math(&\left[-\int d^3r''\varepsilon_F c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\ &=-\varepsilon_F\int d^3r''\left[c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\ &=-\varepsilon_F\int d^3r''\left(c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t)\{ c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}-\{c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}c_\mathrm H(\bm r'',t)\right)\\ &=+\varepsilon_F\int d^3r''\delta^3(\bm r'-\bm r)c_\mathrm H(\bm r'',t)\\ &=+\varepsilon_Fc_\mathrm H(\bm r,t)); したがって (8.24) と合わせれば、 &math(\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 = i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2\textcolor{red}{+\varepsilon_F}\right)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0); &math(H_0); では &math(\varepsilon_F); の符号は負であったが、 ここでは交換関係により正になっている。 しかしこれは Green 関数として利用可能な形(右辺にδ関数が現われる)になっていない。 ** 時間順序を使って Green 関数を導く [#hb20614f] (8.31) そこで「時間順序」を導入する。 &math(\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0\equiv); &math(\phantom{+}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(+\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0); ここで、 &math(\theta(t)\equiv\begin{cases} 0&(t<0)\\ 1&(0<t)\\ \end{cases}); すなわち、&math(c_\mathrm H(\bm r,t)); と &math(c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')); の時刻の早いほうを右側に来るように並べた形になっている。 (8.32) &math(\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle Tc_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 ); &math(=\hbar\frac{\PD\theta(t-t')}{\PD t} \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + \hbar\theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0); &math(-\hbar\frac{\PD\theta(t'-t)}{\PD t} \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 + \hbar\theta(t-t') \llangle \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + i \theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)] \rrangle_0); &math(-\textcolor{red}{\hbar}\delta(t'-t) \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 + i\theta(t-t') \llangle [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle \big\{c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t'),c_\mathrm H(\bm r,t)\big\} \rrangle_0 + i\llangle T[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r') + i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right) \llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); 途中で &math(d\theta(t)/dt=\delta(t));、 &math(\delta(-t)=\delta(t)); および &math(\theta(t)+\theta(-t)=1); を使った。 次元について: - &math(\delta(t-t')); は 1/(時間) の次元 - &math(\hbar\delta(t-t')); は (エネルギー) の次元 - &math(n); や &math(c_\mathrm Hc_\mathrm H^\dagger); は 1/(体積) の次元 - &math(\delta^3(\bm r-\bm r')); も 1/(体積) の次元 ということで、右辺のδ関数には &math(\hbar); が必須。 (8.34) &math(\left(\hbar\frac{\PD}{\PD t}-i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)\right)\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')); &math(i\left(\hbar\frac{\PD}{\PD t}-i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)\right) (-i)\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')); この期待値に &math(-\frac{i}{\red\hbar}); を掛けた物が時間順序 Green 関数: (8.35) &math(g_0^t(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red \hbar}\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0); &math(=-\frac{i}{\red \hbar}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 +\frac{i}{\red \hbar}\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle_0); (8.36) &math(\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,t,\bm r',t')=\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')); (ここまでに現われた &math(c_H,c^\dagger_H); は &math(c_{H_0},c^\dagger_{H_0}); のことであった) ** 自由でない場合 [#o53e496b] 自由でない場合も含めて、以下の様に &math(G^\alpha); を定義する。(&math(\alpha=t,\overline t,r,a);) (8.37) &math(G^t(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red\hbar}\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle); &math(=-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle +\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); (8.38A) &math(G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\equiv \textcolor{red}{+}\frac{i}{\red\hbar}\llangle \overline Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle); &math(= \textcolor{red}{+}\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t )\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle \textcolor{red}{-}\frac{i}{\red\hbar}\theta(t -t')\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); (8.38B) &math(G^r(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle \textcolor{red}{\{}c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle); (8.38C) &math(G^a(\bm r,t,\bm r',t')\equiv \frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle \textcolor{red}{\{}c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle); (8.32) と同様にして &math(g_0^t,g_0^{\overline t},g_0^a,g_0^r); のすべてが (8.36) の形の方程式を満たすことが確認できる。 有限の &math(V); を持つ場合の &math(G_0^t,G_0^{\overline t},G_0^a,G_0^r); では右辺に &math(V); に起因した項が現われる → (8.103) すぐ分かるように、 (8.38D) &math(G^t-G^{\overline t}=G^a+G^r); の関係が成り立っている。 - &math(G^t); : 時間順序(time order) - &math(G^{\overline t}); : 逆時間順序(anti time order) - &math(G^r); : 遅延(retarded) - &math(G^a); : 先進(advanced) ** Green 関数を用いて電子数密度を表す [#f8716a8d] (8.39) &math(n(\bm r, t)=-i{\red\hbar}G^t(\bm r,t,\bm r,t'=t+0)); &math( =-\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle +\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); &math( =-0\cdot\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle +1\cdot\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); &math(=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); &math(=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); &math(t'>t); の条件により &math(\theta(t'-t)); の項のみを残しておいて、 最終的に &math(t'); を &math(t); に近づける。 * 質問・コメント [#k1f743cb] #article_kcaptcha **PS [#n79fdffc] >[[東北大CMPT M2]] (&timetag(2017-05-03T08:53:17+09:00, 2017-05-03 (水) 17:53:17);)~ ~ 続けて失礼します。~ ~ c_Hはc_H0と書いた方が分かりやすいとのコメントですが、c_HのHはハミルトニアンではなくハイゼンベルグ描像を表すHなので、H_0ではなく、Hが適当かと思います。~ // #comment_kcaptcha **(8.30)についてのコメント [#zfa9afe3] >[[東北大CMPT M2]] (&timetag(2017-05-03T06:47:52+09:00, 2017-05-03 (水) 15:47:52);)~ ~ とても参考になりますありがとうございます。~ ~ (8.30)について質問です。~ ~ 多々良さんの本には「時間と位置をずらす」とあります。これは、時間をずらした、つまり tを t-t_s のように時間軸を平行移動したと思うより、「時間を固定した」と表現する方が正しいのではないでしょうか。つまり、「時間をずらす」という表現だと、時刻を計る基準を変えただけであって、微分演算子∂_tはt'にもtにも作用してしまいます。一方で時刻を固定したと思えば、t'は定数なので微分演算子∂_tは作用させなくてすみます。~ ~ 私の主張は、「C_Hの位置と時刻をずらしてみる」ではなく、「C_Hの位置と時刻を固定する」が適切ではないかということです。~ // #comment_kcaptcha
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