スピントロニクス理論の基礎/9-2 のバックアップソース(No.5)
更新[[[前の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/9-1B]] <<<< [[スピントロニクス理論の基礎]](目次) >>>> [次の章へ] #contents * 9-2 スカラー場により誘起される電流密度 [#ib218595] ** 電流密度を lesser Green 関数で表す [#ce0af783] (8.28) に (8.73) を代入し、(8.76) を使う &math( \bm j(\bm r,t) \equiv \left. -\frac{ie\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r',t)\rrangle \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} ); &math( &= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) G^<(\bm r, t, \bm r', t) \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} \\ &= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) \left[ \frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^< \right]\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} \\ &= -\frac{ie\hbar^2}{8\pi^2mV} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r}(\bm k+\bm k')G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^< ); ここで以下の変数変換を行えば、 &math(\bm k\rightarrow\bm k-\frac{\bm q}{2});、&math(\bm k'\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2}); &math(\omega\rightarrow\omega-\frac{\Omega}{2});、&math(\omega'\rightarrow\omega+\frac{\Omega}{2}); &math( \bm j(\bm r,t) &= -\frac{ie\hbar^2}{2mV} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm q}e^{-i(\omega-\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\omega+\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\bm k-\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}e^{-i(\bm k+\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}(\bm k-\frac{\bm q}{2}+\bm k+\frac{\bm q}{2}) G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< \\ &= -\frac{i\hbar}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< ); ** スカラーポテンシャルを反映した Green 関数を代入する [#qcf483cc] vertex 補正無し、つまり不純物散乱のみの Green 関数を元に &math(\phi); への線形応答成分を &math(\bm j_\phi^{(0)}); とすると、 (9.4) より、 &math( \bm j(\bm r,t) &= -\frac{i\hbar}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m} \bigg[ 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} + \underbrace{ \textcolor{red}{e} \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< }_{\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t)} +\cdots \bigg] ); (9.5) と比べると、&math(\rho_\phi); で &math(G^<); に掛かっていた &math(e); の部分を &math(\frac{e\hbar\bm k}{m}); に置き換えた形になっている。 (9.6) 以下で &math(\sum gg); などの評価をしたが、これらの評価をすべて &math(\sum \bm k gg); に置き換えて評価すればよいことになる。 ** 主項を取り出す [#c20c2f40] 9-1 章を見直してみると、 &math( [g_{--}g_{++}]^< =&\, \{f(+)-f(-)\}g_{--}^rg_{++}^a -f(+)g_{--}^rg_{++}^r +f(-)g_{--}^ag_{++}^a \\=&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ 2 g_{--}^rg_{++}^a -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big] +f(\omega)(g_{--}^ag_{++}^a-g_{--}^rg_{++}^r) \\=&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ 2 g_{--}^rg_{++}^a -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big] \\&\, +f(\omega)\Big[ g_{-0}^ag_{+0}^a-g_{-0}^rg_{+0}^r+ \frac{\Omega}{2}\Big\{g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a) +g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r)\Big\} \Big] \\=&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ \underline{2 g_{--}^rg_{++}^a} -\underbrace{(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a)}_{O(\hbar/\varepsilon_F\tau)} \Big] \\&\, +f'(\omega)\Big[ \underline{(g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^r)} +\underbrace{\frac{\hbar^2q^2}{6m}(g_{\bm k}^a{}^2-g_{\bm k}^r{}^2)}_{O(q^2/k_F^2 )} \Big] \\&\, +f(\omega)\underbrace{\frac{\Omega}{2}\Big[g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a) +g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r) \Big]}_{O(\hbar \Omega q^2/\varepsilon_F k_F^2)} ); と変形し、下線部の2項が支配項であった。 同様にして、 &math( \bm k[g_{--}g_{++}]^< ); を評価すると、&math((g^a-g^r)); の項は空間の対称性によってゼロとなり、 &math(g_{--}^rg_{++}^a); の項のみが残る。この項を &math(\Omega); の2乗となる項を除いて評価すると、 (9.48), (9.49) &math( \bm I_{\bm q,\Omega} \equiv&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a \\\sim&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},0}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},0}^a \\=&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \Big\{ g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a +\frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \Big\} \\=&\, \cdots \\=&\, 2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q ); (以下勉強中)
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