スピントロニクス理論の基礎/X-5 のバックアップソース(No.2)
更新目次はこちら >> [[スピントロニクス理論の基礎]] #contents * 経路積分について [#f4b27e61] ** 経路積分の導入 [#ybcc7107] 時刻 &math(t=t_a); に &math(\bm x=\bm x_a); にあった系が、~ 時刻 &math(t=t_b); に &math(\bm x=\bm x_b); にある確率が、~ &math(P(b,a)=|K(b,a)|^2); で表されるとする。 ファインマンの経路積分の考え方に依れば、 &math((t_a,\bm x_a)); と &math((t_b,\bm x_b)); を通る すべての経路 &math(\bm x(t)); は、 その経路に沿った作用(ラグランジアンの時間積分)&math(S[\bm x(t)]); の &math(1/\hbar); を位相に持つ指数関数だけの寄与を &math(K); に及ぼす。 すなわち、 &math( K(b,a)&\propto\sum_{\bm x(t)}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\bm x(t)]\right\}\\ &=\sum_{\bm x(t)}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b}dt\,\mathcal L[\bm x(t),\dot{\bm x}(t),t]\right\} ); &math(P(b,a)=|K(b,a)|^2); である。 ** 古典極限 [#b1659215] ある経路 &math(\bm x(t)); と少しだけ異なる &math(\bm x(t)+\delta\bm x(t)); とは、異なる位相を持って &math(K); に寄与する。その位相差は、 &math(\frac{\delta S}{\hbar} =\frac{S[\bm x(t)+\delta\bm x(t)]-S[\bm x(t)]}{\hbar}); であるが、古典的な系(大きな系)では、小さな &math(\delta\bm x(t)); に対しても、&math(\delta S); が &math(\hbar); に比べて非常に大きくなるため、 異なる経路の寄与は互いに打ち消し合い、多くの場合に総和をほぼゼロと見なすことができる。 唯一確率が打ち消さずに残るのは、&math(S[\bm x(t)]); が &math(\bm x(t)); の変化に対して停留値となる場合であり、その結果、古典的な系では &math(S[\bm x(t)]); を最小とする経路のみが実現されることになる。 ミクロな系では小さな &math(\delta\bm x(t)); に対して &math(\delta S); が &math(\hbar); と比較可能な大きさとなるために、 1つの経路のみが実現される形にはならず、「確率」が運動を支配することになる。 ** 経路積分の時間分割 [#o5475c7e] 上記のような &math(K); を定義できるとすれば、~ 時刻 &math(t=t_a); に &math(\bm x=\bm x_a); にあった系が、~ 時刻 &math(t=t_c); に &math(\bm x=\bm x_c); にある確率は、~ 途中の時刻 &math(t=t_b); にいる点 &math(\bm x=\bm x_b); を考えることで、~ &math( K(c,a)=\int d\bm x_b K(c,b)K(b,a) ); と表すことができる。 これを推し進めると、~ 時刻 &math(t=t_0); に &math(\bm x=\bm x_a); にあった系が、~ 時刻 &math(t=t_N); に &math(\bm x=\bm x_N); にある確率は、~ 時間を &math(N); 個の区間に分割することにより、 &math( K(N,0)=\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \prod_{n=0}^{N-1}K(n+1,n) ); と表せることになる。 &math(N); が十分に大きく、&math(t_{n+1}-t_n); を十分に小さいと見なせる場合には、 その間にラグランジアン &math(\mathcal L(\bm x,\dot{\bm x}, t)); が大きく変化することはないであろう。 &math( \mathcal L(\bm x,\dot{\bm x}, t)\sim \mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big) ); したがって、 &math( K(n+1,n)\sim \frac{1}{A}\,\exp\left\{i\,\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\}); と書ける。ここで &math(A); は規格化定数で、後でまた議論する。 これを代入した &math( K(N,0)&=\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \prod_{n=0}^{N-1}\frac{1}{A}\,\exp\left\{i\,\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\}\\ &=\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \,\exp\left\{i\sum_{n=0}^{N-1}\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\}\\ &=\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{n=0}^{N-1}S(n+1,n)\right\}\\ ); により、経路積分の具体的な計算方法が判明した。 慣用的にこの積分を、 &math( K(N,0)&=\int \mathcal D\bm x \exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\bm x(t)]\right\}\\ &\equiv\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{n=0}^{N-1}S(n+1,n)\right\}\\ ); と書き表す。 ** シュレーディンガー方程式の導出 [#pe60ef46]
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