ベクトル空間と線形写像 のバックアップソース(No.5)

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[[線形代数I]]

#contents

* ベクトルとは? [#lddf658e]

- 縦数ベクトル:&math(\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}); 
- 横数ベクトル:&math(\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix});
- 幾何ベクトル:&math(\overrightarrow{\rm AB});
- そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる

直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと1対1に対応させられる。

* ベクトル空間とベクトル [#g900c89e]

上記のように、

- &math(k\bm a); (スカラー倍)
- &math(\bm a+\bm b); (和)

が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、~
その要素を「ベクトル」と言う。

詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。

** 集合について [#xe9fe451]

集合とは : 「要素」を含む物

集合については、ある要素を含むか、含まないか、が主な興味となる。

&math(A,B); を集合、&math(x); を要素とすると、

- &math(A=\{x_1,x_2,x_3\}); : &math(A); は &math(x_1,x_2,x_3); の3つの要素からなる集合である
- &math(x \in A); : &math(x); が &math(A); に含まれる
- &math(A \subseteq B); : &math(x \in A); なら &math(x \in B); である
-- すなわち &math(A); が &math(B); に含まれる
-- あるいは &math(A); が &math(B); の部分集合である
- &math(A \subset B); : &math(A \subseteq B); かつ &math(A\ne B);

** 演算が「内部で定義されている」ということ [#z8cc3db5]

たとえば、&math(A=\left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\right\}); という集合を考える。

これは2つのベクトルを含む「ベクトルの集合」であるが、スカラー倍や和に対して「閉じていない」。

例:&math(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix} \notin A);

したがって、こういう集合はベクトル空間とは言わない。

* n 次元数ベクトル空間 [#y894dd16]

- 実数の集合を &math(\mathbb{R});
- &math(n); 次元(縦)実数ベクトル空間を &math(\mathbb{R}^n);

と書くことにする。

以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを

- 複素数の集合 &math(\mathbb C);
- &math(n); 次元複素数の集合 &math(\mathbb C^n);

に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。

* 1次結合(線形結合) [#q7562ea7]

&math(c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \sum_{k=1}^r c_k\bm a_k); 

の形を &math(\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r); の「一次結合」と言う。

例1:

&math(\bm a, \bm b); の一次結合: &math(3\bm a+\bm b);, &math(\bm a-\bm b);, &math(-2\bm a);

例2:

&math(\bm b); を &math(\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r); の一次結合で表せるか?という問題は、

&math(\bm b=x_1\bm a_1+x_2 \bm a_2+ \dots+x_r \bm a_r = \Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_r\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_r\end{bmatrix}=A\bm x);

を満たす &math(\bm x); は存在するか?という問題と同値である。

例3:

任意のベクトル &math(\bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n); は、
基本ベクトル &math(\bm e_1, \bm e_2, \dots, \bm e_n); の一次結合として、

&math(\bm a=\sum_{k=1}^ra_k\bm e_k); 

と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。

* 一次結合で生成される集合 [#v85dcbc2]

** 直線の方程式 [#v24a633d]

ある &math(\bm a); に対して、&math(\bm p=s\bm a); 
を満たす点の集合は原点を通り &math(\bm a); に平行な直線となる。

(&math(\bm a = \bm o); だとそうならない)

** 平面の方程式 [#f6e0ae26]

ある &math(\bm a,\bm b); に対して、&math(\bm p=s\bm a+t\bm b); 
を満たす点の集合は原点を通り &math(\bm a,\bm b); に平行な平面となる。

(&math(\bm a= \bm o); あるいは &math(\bm b= \bm o); あるいは &math(\bm a \parallel \bm b); 
だとそうならない)

** 空間を満たす [#p85665d2]

ある &math(\bm a,\bm b,\bm c); に対して、&math(\bm p=s\bm a+t\bm b+u\bm c); 
を満たす点の集合は3次元空間を満たす。

(&math(\bm a= \bm o);, &math(\bm c= c_1\bm a+c_2\bm b);, その他例外もある) 

** 張る空間 [#i12f5a45]

&math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n); の一次結合で表せるベクトルの集合を
これらのベクトルが張る空間と呼ぶ。

和やスカラー倍について閉じているので、これはベクトル空間になる。

&math(n); 本のベクトルは多くの場合 &math(n); 次元空間を張るが、例外もある。

「例外」をうまく表現するために「一次独立」という概念を導入する。

* 一次独立 [#n9fdd841]

与えられた &math(\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r); に対して、
&math(c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \bm o);
となるのが、&math(c_1=c_2=\dots=c_n=0); の時しかありえないなら、
「&math(\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r); は1次独立である」と言う。

- どんなベクトルが与えられても
&math(c_1=c_2=\dots=c_n=0); なら条件を満たすこと
- 与えられたベクトルによっては
&math(c_1=c_2=\dots=c_n=0); でなくても条件を満たすこと

に注意せよ。

例:
&math(2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=\bm o);

* 一次従属 [#i67b37db]

一次独立でないことを「一次従属である」と言う。

例:&math(\bm a,\bm b,\bm c); は一次独立か、一次従属か?

例:&math(\bm a,\bm b,\bm c); が一次従属であるとき・・・

* 一次独立と行列の階数 [#m34ed33c]

一次独立であるという条件と、

&math(\Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Bigg]\bm x=\bm o); の解が &math(\bm x=\bm o); しか存在しないという条件は同値。

方程式の一般解が1以上の自由度を持つ、とも同値だから
(&math(\bm x=\bm o); は常に解であることに注意)、

- &math(\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r); が一次独立
- それらを並べた行列 &math(A); の階数が列数 &math(n); より小さい
&math((\rank A<n));

が同値な条件となる。

一次独立かどうかを調べるには rank を求めてベクトルの数と比べればよい。

例:
&math(\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\\a\end{bmatrix}); が一次独立になる条件を求めよ。

&math(\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&a\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&-3&-2\\0&-2&a-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&-2a+6\\0&-2&a-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&-2a+6\\0&0&-3a+8\end{bmatrix});

したがって、&math(a=8/3); の時に一次従属であり、そうでなければ一次独立となる。

* A が正方の時 [#p53f7b35]

以下の条件は同値である。

- &math(\bm a_1,\bm a_2, \dots,\bm a_n); が一次独立
- &math(A\bm x=\bm o); の解が &math(\bm x=\bm o); のみ
- &math(\rank A=n);
- &math(A); が正則
- &math(|A|\ne 0);

一次独立かどうかを調べるには &math(|A|); を計算すればよい。

* 一次独立の重要な性質 [#v39c977c]

● ゼロベクトルを1つでも含めば一次従属

● &math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n); が一次従属なら、そこにいくつかベクトルを加えた
&math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n,\bm a_{n+1},\dots,\bm a_{m}); も一次従属である

∵はじめの &math(n); 列のうち1列でも掃き出せなければ、
全体の rank が列数よりも小さくなるため。

(別)&math(c_1\bm a_1+c_2\bm a_2+\dots+c_n\bm a_n=\bm o); となる非ゼロの係数が存在するなら、~
&math(c_1\bm a_1+c_2\bm a_2+\dots+c_n\bm a_n+0c_{n+1}+\dots+0c_m=\bm o); であり、
この係数は全てがゼロではないから、全体も一次従属となる。

● &math(\{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n\}); が一次独立なら
その部分集合も一次独立である

∵上の定理の対偶になっている

● &math(n); 次元ベクトルを &math(n); 本以上集めたら必ず一次従属になる

∵対応する行列 &math(A); のランクは行数 &math(n); より大きくならないから。

● 一次独立と「張る空間」

- &math(n); 本のベクトルが一次独立ならば、その一次結合は &math(n); 次元空間を張る
- ベクトルが &math(n); 本あってもそれらが一次従属ならば、その一次結合が &math(n); 次元空間を張ることはない~
(&math(n'); 次元 &math((n'<n)); を張ることになる)

* 線形空間(ベクトル空間) [#a3d996bb]

線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Iでは上で扱った程度に止める。

* 線形写像と表現行列 [#b96978d0]

&math(\bm a\in \mathbb R^n); を与えると &math(\bm a'\in \mathbb R^m); を返すような関数
&math(f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m); を考える。

すなわち &math(\bm a'=f(\bm a));

&math(f); は様々な物が考えられるが、任意の &math(\bm a); に対して、必ず1つだけ &math(\bm a'); が決まることが重要である。このようなベクトルの関数を「写像」と呼ぶこともある。

例:

&math(\bm a=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in \mathbb R^2);, &math(\bm a'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}\in \mathbb R^3);
の時、例えば

&math(\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=f(\bm a)=\begin{bmatrix}2+x\sin y\\2^y\end{bmatrix});

として定義される &math(f); は、&math(x,y); を1組決めれば &math(x',y',z'); が決まるため、&math(\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^3); の写像となる。

* 線形写像 [#t0ef2d8b]

ある写像 &math(f); が線形であるとは、任意の &math(\bm a, \bm b\in \mathbb R^n); および &math(c\in \mathbb R); に対して、

- &math(f(\bm a+\bm b)=f(\bm a)+f(\bm b));
- &math(f(c\bm a)=cf(\bm a));

が成り立つことを言う。

- &math(f(x)); は線形か? という問には &math(f(a\bm x+b\bm y)=af(\bm x)+bf(\bm y)); を確かめればよい

すぐ分かるように

- &math(f(\bm o)=\bm o);~
&math(\because f(\bm o)=f(0\bm o)=0f(\bm o)=\bm o);
- &math(f(-\bm a)=-f(\bm a));

となる。

* 線形写像は f(x)=Ax の形に書ける [#va8ffb2b]

スカラー関数 &math(f(x)); が線形ならば、
&math(f(x)=f(x\cdot 1)=xf(1)=f(1)x); であるから、
&math(f(1)=A); と置くことで &math(f(x)=Ax); の形に書けることが分かる。

同様に、&math(f(\bm x)); が線形なら &math(f(\bm x)=A\bm x); と書ける。

∵ 任意のベクトルを &math(\bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i); 
として基本ベクトルの和で表せば、

&math(f(\bm x)=f(\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i)=\sum_{i=1}^nx_if(\bm e_i));

そこで、&math(\bm a_i=f(\bm e_i)\in \mathbb R^m); と置けば、

&math(f(\bm x)=\sum_{i=1}^nx_i\bm a_i=\Bigg[\begin{matrix}\bm a_1&\bm a_2&\cdots&\bm a_n\end{matrix}\Bigg]\bm x=A\bm x);

逆に &math(f(\bm x)=A\bm x); と書ければこれは必ず線形となる。

- &math(A); を &math(f(\bm x)=A\bm x); の表現行列と呼ぶ
- &math(f(\bm x)=A\bm x); を &math(A); の定める線形写像と呼ぶ

例:
次の条件を満たす線形写像 &math(f(\bm x)); の表現行列を求めよ。

&math(f\left(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix});

&math(f\left(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix});

(解答)

&math(\left\{\begin{matrix}A\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\\A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\end{matrix}\right.);

より、

&math(A\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix});

&math(A=\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}^{-1});

&math(=\frac{1}{3\cdot 1-1\cdot 2}\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\-2&3\end{bmatrix}^{-1});

&math(=\begin{bmatrix}-9&13\\-1&3\end{bmatrix});

* 合成写像 [#l38b65dd]

&math(f(\bm x):\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m);

&math(g(\bm y):\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^l);

のとき、その合成写像を定義できる。

&math(h(\bm x)=g\!\circ\!f(\bm x)=g\left(f(\bm x)\right):\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^l);

(&math(h=g\!\circ\!f); などと書く)

その表現行列は、

&math(f(\bm x)=A\bm x,g(\bm y)=B\bm y); であれば、
&math(g\!\circ\!f(\bm x)=BA\bm x); より &math(BA); である。

例:

2次元ベクトル &math(\bm x\in \mathbb R^2); をx座標方向に3倍してから反時計回りに45度回転する線形写像を考える。

x方向に3倍する:&math(f(\bm x)=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\bm x);

45度回転する:&math(g(\bm x)=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\bm x);

合成すると、

&math(g\!\circ\!f(\bm x)=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\bm x=\begin{bmatrix}3/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\3/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\bm x);

* コメント [#l5139346]

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