線形代数II/内積と計量空間 のバックアップソース(No.3)
更新- バックアップ一覧
- 差分 を表示
- 現在との差分 を表示
- バックアップ を表示
- 線形代数II/内積と計量空間 へ行く。
[[線形代数Ⅱ]] #contents * 内積 [#k485e13a] &math(K); 上の線形空間 &math(V); の任意の2つの元 &math(\bm x,\bm y\in V); の間に、 次の公理を満たす演算 &math((\bm x,\bm y)\in K); が定義されるとき、この演算を内積と呼ぶ。 + &math((\bm x,\bm y_1+\bm y_2)=(\bm x,\bm y_1)+(\bm x,\bm y_2)); + &math((\bm x,c\bm y)=c(\bm x,\bm y)); + &math((\bm y,\bm x)=\overline{(\bm x,\bm y)}); + &math((\bm x,\bm x)\geqq 0); &math((\bm x,\bm x)=0\Leftrightarrow \bm x=\bm 0); このとき、以下の定理を証明可能: - &math(K=\mathbb R); の時は &math((\bm y,\bm x)=(\bm x,\bm y));~ ∵ &math(x\in \mathbb R); に対して &math(x=\overline x); - &math((\bm x_1+\bm x_2,\bm y)=(\bm x_1,\bm y)+(\bm x_2,\bm y));~ ∵1. と 3. より - &math((c\bm x,\bm y)=\overline c(\bm x,\bm y));~ ∵2. と 3. より - 任意の &math(\bm x\in V); に対して &math((\bm x,\bm 0)=(\bm 0,\bm x)=0);~ ∵&math((\bm x,\bm 0)=(\bm x,0\bm 0)=0(\bm x,\bm 0)=0); および 3. - ノルム &math(\|\bm x\|=\sqrt{(\bm x,\bm x)}\geqq 0); を定義可能~ ∵4. より - 三角不等式が成り立つ &math(\|\bm x+\bm y\|\leqq\|\bm x\|+\|\bm y\|); - シュワルツの不等式が成り立つ~ &math(\|(\bm x,\bm y)\|\leqq\|\bm x\|\|\bm y\|); あるいは &math(-1\leqq\frac{\|(\bm x,\bm y)\|}{\|\bm x\|\|\bm y\|}\leqq 1); - 2つのベクトルの間の角度 &math(\theta); を定義可能~ &math((\bm x,\bm y)=\|\bm x\|\|\bm y\|\cos\theta); 内積が定義された線形空間を計量線形空間という。~ (ベクトルの大きさ(ノルム)および角度が定義された線形空間ということ) &math((\bm x, \bm y)=0); のとき、&math(\bm x\perp\bm y); すなわち、 &math(\bm x); と &math(\bm y); は直交するという~ → &math(\bm x=\bm 0); は任意のベクトルと直交する * 正規直交系 [#i1230363] &math(\bm e_1, \bm e_2, \dots, \bm e_k); が - 正規性: &math((\bm e_i,\bm e_i)=1); つまり &math(\|\bm e_i\|=1); - 直交性: &math((\bm e_i,\bm e_j)=0); つまり &math(\bm e_i\perp\bm e_j); (&math(i\ne j);) を満たすとき、正規直交系を為すという。あるいはまとめて、 - &math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij}); とも書ける。 ここで、 &math(\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (i=j)\\ 0 & (i\ne j) \end{array}\right .); * 正規直交系は一次独立である [#ic67f1e7] &math(\sum_{i=1}^nc_i\bm e_i=\bm 0); とすると、左から &math(\bm e_j); を掛けることで、 &math( (左辺) &=\Big(\bm e_j,\sum_{i=1}^nc_i\bm e_i\Big)\\ &=\Big(\bm e_j,\sum_{i=1}^nc_i\bm e_i\Big)\\ &=\sum_{i=1}^nc_i\left(\bm e_j,\bm e_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^nc_i\delta_{ij}\\ &=c_j ); 一方 &math( (右辺)=(\bm e_j,\bm 0)=0 ); したがって、任意の &math(j); に対して &math(c_j=0); * 正規直交基底 [#s47e26a7] ある基底が正規直交系を為すとき、正規直交基底と呼ぶ。 * 内積の成分表示 [#o879b519] &math(\widetilde E=\set{\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm \e_n}); を正規直交基底とし、 &math(\bm x=\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i);、&math(\bm y=\sum_{i=1}^n y_i\bm e_i); とすると、 &math( (\bm x,\bm y)&=\Big(\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i,\bm y\Big)\\ &=\sum_{i=1}^n\overline x_i\Big(\bm e_i, \sum_{j=1}^n y_j\bm e_j\Big)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline x_iy_j(\bm e_i, \bm e_j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline x_iy_j\delta_{ij}\\ &=\sum_{i=1}^n\overline x_iy_i ); を得る。 一方、1年生の時に学んだ &math(n); 次元実ベクトル空間 &math(\mathbb R^n); における標準内積は &math( (\bm x,\bm y)=\sum_{i=1}^nx_iy_i ); であった。これに対して、&math(n); 次元複素数ベクトル空間 &math(\mathbb C^n); における標準内積は &math( (\bm x,\bm y)=\sum_{i=1}^n\overline x_iy_i ); と定義される。 すなわち、%%%正規直交基底での内積の成分表示%%%は「標準内積」となる * エルミート共役 [#de0c0da8] &math(m,n); 行列 &math(A=\big(\,a_{ij}\,\big)); に対して、 - 転置行列:&math(^t\!A=\big(\,a_{ji}\,\big)); - 複素共役:&math(\overline A=\big(\,\overline{a_{ji}}\,\big)); - エルミート共役:&math(A^\dagger=\overline{^t\!A}=^t\!\overline{A}=\big(\,\overline{a_{ji}}\,\big)); とくに、列ベクトル &math(\bm x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}); に対しては、 -転置:&math(^t\!\bm x=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\dots&x_n\end{pmatrix}); -複素共役:&math(\overline{\bm x}=\begin{pmatrix}\overline x_1\\\overline x_2\\\vdots\\\overline x_n\end{pmatrix}); -エルミート共役:&math(\bm x^\dagger=\overline{^t\!\bm x}=^t\!\overline{\bm x}=\begin{pmatrix}\overline x_1&\overline x_2&\dots&\overline x_n\end{pmatrix}); エルミート共役は、次の性質を持つ。 - &math(\left(A^\dagger\right)^\dagger=A); - &math((\bm x,\bm y)=\bm x^\dagger \bm y); - &math((\bm x,A\bm y)=(A^\dagger\bm x,\bm y)=\bm x^\dagger A\bm y); * 対称行列、直交行列 と エルミート行列、ユニタリ行列 [#g3931b9c] &math(A); が実行列のとき &math(A^\dagger=^t\!\!A); である。 |実行列・ベクトルについて |複素行列・ベクトルについて | |対称行列 &math(^t\!S=S); |エルミート行列 &math(H^\dagger=H); | |直交行列 &math(^t\!R=R^{-1}); |ユニタリ行列 &math(U^\dagger=U^{-1}); | 性質: - 対称行列 &math(S); について &math((\bm x,S\bm y)=(S\bm x,\bm y)); (実内積) - エルミート行列 &math(H); について &math((\bm x,H\bm y)=(H\bm x,\bm y)); (複素内積) 性質: - 直交行列 &math(R); により内積が保存される &math((R\bm x,R\bm y)=(\bm x,\bm y)); - ユニタリ行列 &math(U); により複素内積が保存される &math((U\bm x,U\bm y)=(\bm x,\bm y)); * 正規行列 [#ldb799b7] &math(A^\dagger A=AA^\dagger); を満たす行列を正規行列と呼ぶ。 実対称行列、実直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列は正規行列であるが、他にもたくさんある。 1年生の時、直交行列により対角化可能な行列と、不可能な行列があることを学んだ。 実は「ユニタリ行列により対角化できること」と「正規行列であること」とは同値であるが、 ここでは証明しない。 * 質問・コメント [#wc06c3f7] #article_kcaptcha
Counter: 39219 (from 2010/06/03),
today: 8,
yesterday: 11