線形写像の行列表現と階数 のバックアップソース(No.15)
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[[前の単元 <<<>線形代数II/基底の変換]] [[線形代数II]] [[>>> 次の単元>線形代数II/内積と計量空間]] #contents #mathjax * 線形写像の行列表現 [#dbb71d8a] 線形写像 &math(T:V\to V'); を考える。ただし、&math(\dim V=n,\dim V'=m); すなわち &math(\forall\bm x\in V); に対して &math(\bm y=T(\bm x)\in V'); &math(V); の基底 &math(A=\set{ \bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n }); &math(V'); の基底 &math(B=\set{ \bm b_1, \bm b_2,\dots,\bm b_m }); を考えれば、&math(\bm x); や &math(\bm y); の表現を定められる。 &math(\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_A); &math(\bm y=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_m\end{pmatrix}\bm y_B); これらの関係は図のようになる。 &attachref(写像の表現行列.png,,50%); &math(\bm x_A\mapsto \bm x);、 &math(\bm x\mapsto \bm y);、 &math(\bm y\mapsto \bm y_B); はそれぞれ線形写像なので、 それらの合成写像である &math(\bm x_A\mapsto \bm y_B); も線形写像となる。 すなわち、&math(m\times n); 行列 &math(T_{BA}); を使って、 &math(\bm y_B=T_{BA}\bm x_A); と表せる。この行列 &math(T_{BA}); を、線形写像 &math(T); の行列表現と呼ぶ。 * $T_{BA}$ の具体的な形 [#g41a76b2] &math(T_{BA}=\Big(\bm t_1\ \bm t_2\ \dots\ \bm t_n\Big)); と置くと、当然 &math(\bm t_i=T_{BA} \begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix} \begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix} ); これと、&math(T(\bm x)_B=T_{BA}\bm x_A); とを比べると、 &math(\bm x_A=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}); のとき、&math(T(\bm x)_B=\bm t); &math(\bm x_A); の定義より、 &math(\bm x=\Big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Big)\bm x_A=\Big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Big)\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\bm a_i); だから、 &math(\bm t=T(\bm a_i)_B); すなわち、 &math(T_{BA}= \begin{pmatrix}T(\bm a_1)_B&T(\bm a_2)_B&\dots&T(\bm a_n)_B\end{pmatrix} ); 線形写像の行列表現は、~ 元となる空間の基底ベクトルに線形写像を施して、~ 先となる空間の基底で表現したものを列ベクトルとする。 * 基底の変換行列との関係 [#p300f69d] 先にやった基底の変換行列 &math(P_{B\to A}); は、 上記 &math(T); を恒等変換 &math(E); に置き換えた形と等しい(&math(\bm y=\bm x);) すなわち、&math(P_{B\to A}=E_{AB}); * 行列表現の基底変換 [#h36109ed] &math(A); から &math(A'); および、 &math(B); から &math(B'); の基底の変換を考える。 &math(\bm y_B=T_{BA}\bm x_A); に、 &math(\bm x_A=P_{A\to A'}\bm x_{A'});、 &math(\bm y_B=P_{B\to B'}\bm y_{B'}); を適用すれば、 &math(P_{B\to B'}\bm y_{B'}=T_{BA}P_{A\to A'}\bm x_{A'}); &math( \bm y_{B'}&=T_{B'A'}\bm x_{A'}\\ &=\underbrace{(P_{B\to B'})^{-1}}_{P_{B'\to B}}\ \underbrace{T_{BA}\ \underbrace{(P_{A\to A'})\bm x_{A'}}_{\bm x_A}}_{\bm y_B} ); したがって、 &math(T_{B'A'}=(P_{B\to B'})^{-1}T_{BA}(P_{A\to A'})); ** 基底変換と階数 [#a76e7519] 行列の階数は正則行列のかけ算では変化しないことを1年生で学んだ。 すなわち、&math(P,P'); が正則の時、 &math(\rank A=\rank (PA)=\rank(AP')); したがって、線形写像の行列表現の階数も任意の基底変換で保存する。 &math(\rank T=\rank T_{AB}=\rank T_{A'B'}=\rank T_{A''B''}=\dots); ** 基底変換の例 [#vc0deb6a] &math(T:P^2[x]\to P^1[x]); が &math(\bm x\mapsto\frac{d}{dx}\bm x); で与えられるものとする。 すなわち、&math(\bm x=ax^2+bx+c); のとき、&math(T\bm x=2ax+b); これを、 &math(A=\big\{x^2,\ x,\ 1\big\});、 &math(B=\big\{x,\ 1\big\}); を使って表わせば、 &math( \begin{pmatrix}2a\\b\end{pmatrix}=T_{BA} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}); より、&math(T_{BA}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}); 一方、 &math(A'=\big\{x^2+x+1,\ x+1,\ 1\big\});、 &math(B'=\big\{x+1,\ 1\big\}); を使って表わせば、 &math(\bm x=a(x^2+x+1)+b(x+1)+c); のとき、~ &math(T\bm x&=2ax+a+b\\&=2a(x+1)+(-a+b)); より、 &math( \begin{pmatrix}2a\\-a+b\end{pmatrix}=T_{B'A'} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}); より、&math(T_{B'A'}=\begin{pmatrix}2&0&0\\-1&1&0\end{pmatrix}); また、 &math(\Big(x^2+x+1\ \ x+1\ \ 1\Big)=\Big(x^2\ \ x\ \ 1\Big)P_{A\to A'}); より、~ &math(P_{A\to A'}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}); &math(\Big(x+1\ \ 1\Big)=\Big(x\ \ 1\Big)P_{B\to B'}); より、~ &math(P_{B\to B'}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}); これらを用いて、 &math(\left(P_{B\to B'}\right)^{-1}T_{BA}P_{A\to A'});~ &math(=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});~ &math(=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});~ &math(=\begin{pmatrix}2&0&0\\-2&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});~ &math(=\begin{pmatrix}2&0&0\\-1&1&0\end{pmatrix});~ &math(=T_{B'A'}); を確かめられる。 ** 演習 [#bbc850ee] &math(T:P^2(x)\to P^2(x)); が &math(\bm x\mapsto \frac{d}{dx}\Big\{(x+1)\bm x\Big\}); で与えられる。 (1) 上記の基底 &math(A, A'); に対する &math(T); の表現 &math(T_A=T_{AA});、&math(T_{A'}=T_{A'A'}); を求めよ (2) &math(A); から &math(A'); への変換行列 &math(P_{A\to A'}); に対して下記を確かめよ &math(T_{A'}=\left(P_{A\to A'}\right)^{-1}T_AP_{A\to A'}); ** 線形変換である場合 [#q04bca02] &math(T:V\to V); すなわち「線形変換」であるときは &math(B=A); なので、このとき &math(T_A=T_{AA}); と書けば、 &math(T_{A'}=(P_{A\to A'})^{-1}T_A(P_{A\to A'})); すなわち、&math(T_A); と &math(T_{A'}); とは 線形代数I で学んだ「相似」の関係にある。 ** トレース、行列式、固有値 [#yc52ca9d] 相似な行列 &math(T_A=P_{B\to A}^{-1}T_BP_{B\to A}); では、 - トレース: &math(\tr T_A=\tr T_B); - 行列式: &math(\det T_A=\det T_B); - 階数: &math(\rank T_A=\rank T_B); - 固有方程式: &math(|T_A-\lambda E|=|T_B-\lambda E|=0); が等しくなることを1年生で学んだ。→ [[相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存>線形代数II/相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存]] すなわち線形変換 &math(T); を定めれば、基底を指定しなくてもこれらの値が定まることになる。 したがって、%%%線形変換の%%% トレース &math(\tr T);、デターミナント &math(\det T);、 階数 &math(\rank T);、固有値 &math(\lambda_1,\lambda_2,\dots); を具体的な基底を与えることなく定義できる。 ~ [[前の単元 <<<>線形代数II/基底の変換]] [[線形代数II]] [[>>> 次の単元>線形代数II/内積と計量空間]] * 質問・コメント [#ua08da5d] #article_kcaptcha
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