生成・消滅演算子による多粒子系の記述 のバックアップソース(No.7)

更新 
[[量子力学Ⅰ]]

*生成・消滅演算子による多粒子系の記述 [#h215b31b]

生成・消滅演算子の交換関係や数演算子との関係について、
巷で見かける解説にはどういった性質がどのような要請から導かれるかに関して
よく整理されていないものも多いように思われたのでここで見直してみたい。

** 目次 [#k1ad0dfb]

&katex;

#contents

**多粒子状態の数表示 [#h437a10f]

１粒子に対する正規直交完全系を $\psi_1,\psi_2,\psi_2,\dots$ とし((TODO:直交している必要性について後程もっとよく考えてみねければ))、そのそれぞれを $n_1,n_2,n_3,\dots$ 個の粒子（$n_i$ は $0$ 以上の整数値）が占めることで作られる規格化された多粒子状態を $|n_1,n_2,\dots\rangle$ と表す。位相を決めないとこれだけでは関数形が定まらないのであるが、その点については下で考える。

１粒子状態が完全であれば $|n_1,n_2,\dots\rangle$ も完全になるため、任意の多粒子状態をこの重ね合わせで表せる。

$$
\Psi=\sum_{\{n_1,n_2,\dots\}} C_{n_1,n_2,\dots}|n_1,n_2,\dots\rangle
$$

ここで、$|n_1,n_2,\dots\rangle$ に作用して $i$ 番目の１粒子状態を占める粒子数 $n_i$ を取り出す「数演算子」 $\hat n_i$ を導入する。

$$
\hat n_i\,|n_1,n_2,\dots\rangle= n_i\,|n_1,n_2,\dots\rangle
$$

固有値が必ず実数となることから $\hat n_i$ はエルミートである。$|n_1,n_2,\dots\rangle$ はすべての数演算子 $\hat n_i$ の固有状態とみなせることから「数状態」と呼ばれる。数状態は各１粒子状態を占める粒子の個数が確定した状態であるのに対して、一般の $\Psi$ に対しては各１粒子状態を占める粒子の個数は確率的にしか決まらない。任意の $\Psi$ を上のように数状態で展開した形は「数表示」と呼ばれる。

**消滅演算子・生成演算子 [#i149198e]

数状態に作用して $n_i$ を１だけ減少させる演算子として「消滅演算子」$\hat c_i$ を考える。

$$
\hat c_i\,|n_1,n_2,\dots,n_i,\dots\rangle\propto |n_1,n_2,\dots,n_i-1,\dots\rangle
$$

以下これを次のように略記する。

$$
\hat c\,|n\rangle=a_n\,|n-1\rangle\propto |n-1\rangle
$$

ただし、作用後の関数は規格化されているとは限らず、位相も異なる可能性があるとして係数を $a_n$ と書いた。一般に $a_n$ は $n=n_i$ だけで決まるわけではなく他の $n_j\ (j\ne i)$ の値にも依存して構わないため、この表記は少々正確性を犠牲にしているのであるがここでは読みやすさを優先した。実際、フェルミ粒子では $n_j\ (j\ne i)$ に依存して位相が変化するような $a_n$ を用いることになる。

また、粒子数が負にならないための条件として

$$
\hat c\,|0\rangle=0\ \ \ \ \text{すなわち} \ \ a_0=0
$$

を与える。$\hat c\,|n\rangle$ に $\hat n$ を作用させると、

$$
\hat n\hat c\,|n\rangle=(n-1)\hat c\,|n\rangle=\hat c(n-1)\,|n\rangle=\hat c(\hat n-1)\,|n\rangle
$$

より、任意の $\Psi$ に対して

$$
[\hat n,\hat c]\equiv\hat n\hat c-\hat c\hat n=-\hat c
$$

が成り立たなければならない。

両辺のエルミート共役を取ると、

$$
\begin{aligned}
[\hat n,\hat c]^\dagger=\hat c^\dagger\hat n^\dagger-\hat n^\dagger\hat c^\dagger=\hat c^\dagger\hat n-\hat n\hat c^\dagger=-c^\dagger
\end{aligned}
$$

すなわち、

$$
[\hat n,\hat c^\dagger]=\hat c^\dagger
$$

であり、これは

$$
\hat n\hat c^\dagger=c^\dagger(\hat n+1)
$$

を表す。両辺を $|n\rangle$ に作用させれば

$$
\hat n\hat c^\dagger\,|n\rangle=c^\dagger(\hat n+1)\,|n\rangle=(n+1)c^\dagger\,|n\rangle
$$

すなわち、

$$c^\dagger\,|n\rangle\propto|n+1\rangle$$

となり、$\hat c^\dagger$ が生成演算子として働くことがわかる。

こちらの係数を

$$c^\dagger\,|n\rangle=b_n\,|n+1\rangle$$

と書いておく。

すると、

$$
\langle n|\,\hat c \hat c^\dagger\,|n\rangle=\langle n|\,\hat c b_n\,|n+1\rangle=\langle n|\,a_{n+1}b_n\,|n\rangle=a_{n+1}b_n
$$

である一方、

$$
\langle n|\,\hat c \hat c^\dagger\,|n\rangle=(\hat c^\dagger\,|n\rangle)^\dagger(\hat c^\dagger\,|n\rangle)=\|\,\hat c^\dagger\,|n\rangle\,\|^2=|b_n|^2
$$

であるから、

$$
b_n=a_{n+1}^*
$$

でなければならないことがわかる。((同様に、$\langle n|\,\hat c^\dagger \hat c\,|n\rangle=b_{n-1}a_n=|a_n|^2$ より $b_{n-1}=a_n^*$ を得るが、これは上で得たのと同じ結果を与えるのみである))

ここまでで、数演算子と生成・消滅演算子の性質として以下を導けた。

$$
[\hat n,\hat c]=-\hat c
$$

$$
[\hat n,\hat c^\dagger]=\hat c^\dagger
$$

$$
\hat c\,|n\rangle=a_n\,|n-1\rangle
$$

$$\hat c^\dagger\,|n\rangle=a_{n+1}^*\,|n+1\rangle$$

$$\hat c\hat c^\dagger\,|n\rangle=|a_{n+1}|^2\,|n\rangle$$ 

$$\hat c^\dagger\hat c\,|n\rangle=|a_n|^2\,|n\rangle$$

$$a_0=0$$

ただし、$a_n$ $(n>0)$ は注目する１粒子状態を占める粒子数 $n$ だけでなく、
多粒子系を構成する他の１粒子状態を占める粒子数 $n_j$ にも依存してもいい。

*生成・消滅演算子の(反)交換関係 [#n60e5264]

以下に見るように、$\hat c^\dagger,\hat c$ の係数を、

$$
\hat c\hat c^\dagger\pm\hat c^\dagger\hat c=1
$$

となるよう定めると数演算子を

$$
\hat n=\hat c^\dagger\hat c
$$

のように表せるため大変便利である。そこで通常、フェルミ粒子、ボーズ粒子の生成・消滅演算子はこれを満たすよう定義される。

** フェルミ粒子 [#l1278951]

$$
\{\hat c,\hat c^\dagger\}\equiv\hat c\hat c^\dagger+\hat c^\dagger\hat c=1
$$

を仮定すると、

$$
|a_{n+1}|^2=1-|a_n|^2
$$

であり、$a_0=0$ であるから、

$$
|a_0|^2=0
$$

$$
|a_1|^2=1
$$

$$
|a_2|^2=0
$$
 
を得る。$a_2=0$ より、

$$
\hat c^\dagger\,|1\rangle=a_2\,|1\rangle=0
$$

すなわち、１つの１粒子状態をとる粒子の数は必ず $n=0$ または $n=1$ であり、$1$ より増やすことはできないという、フェルミ粒子の性質が再現される。

そして $n=0$ と $n=1$ のどちらに対しても $|a_n|^2=n$ が成り立つことから、

$$\hat c^\dagger\hat c=\hat n$$

と見做せることがわかる。同様に、$n=0$ と $n=1$ のどちらに対しても、

$$\hat c\hat c\,|n\rangle=\hat c^\dagger\hat c^\dagger\,|n\rangle=0$$

であるから、

$$
\{\hat c^\dagger,\hat c^\dagger\}=\{\hat c,\hat c\}=0
$$

が成り立つ。

反交換関係

$$
\{\hat c,\hat c^\dagger\}=\hat c\hat c^\dagger+\hat c^\dagger\hat c=1
$$

がどうして成り立つかを確認しておくと、

$$
(\hat c\hat c^\dagger+\hat c^\dagger\hat c)\,|0\rangle
=\hat ca_1^*\,|1\rangle+\hat c^\dagger\underbrace{\hat c\,|0\rangle}_{=\,0}
=|a_1|^2|0\rangle=|0\rangle
$$

$$
(\hat c\hat c^\dagger+\hat c^\dagger\hat c)\,|1\rangle
=\hat c\underbrace{\hat c^\dagger\,|1\rangle}_{=\,0}+\hat c^\dagger a_1\,|0\rangle
=|a_1|^2|1\rangle=|1\rangle
$$

となって、確かにどちらの場合にも状態を不変に保つことを確かめられる。

*** 波動関数の符号とフェルミ粒子の反交換関係 [#o2007a7d]

１粒子状態 $\psi_a,\psi_b$ を１つずつの粒子が占めるフェルミ粒子の波動関数は

$$
\Psi_{\psi_a,\psi_b}(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{1}{\sqrt2}\det\begin{pmatrix}
\psi_a(\bm r_1)&\psi_b(\bm r_1)\\
\psi_a(\bm r_2)&\psi_b(\bm r_2)\\
\end{pmatrix}
$$

と書け、粒子を入れ替えた波動関数

$$
\Psi_{\psi_b,\psi_a}(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{1}{\sqrt2}\det\begin{pmatrix}
\psi_b(\bm r_1)&\psi_a(\bm r_1)\\
\psi_b(\bm r_2)&\psi_a(\bm r_2)\\
\end{pmatrix}
$$

とは

$$
\Psi_{\psi_a,\psi_b}(\bm r_1,\bm r_2)=-\Psi_{\psi_b,\psi_a}(\bm r_1,\bm r_2)
$$

のように符号が異なる。

生成演算子の適用順をスレーター行列式中の一粒子波動関数の並び順と同一視することにすると、上記の事実は

$$
\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle=-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle
$$

に対応する（$|a_1^a|=|a_1^b|=1$ なので位相だけ考えればいい）。ただしここでは $|0\rangle$ は粒子が１つもない「真空」を表す多粒子状態(ここでは無粒子状態)である。

そして生成演算子にこの性質を要求すると、$a$ と $b$ とが同一であるとき

$$
\hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle=-\hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle
$$

$$
2\hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle=0
$$

となって、２つ以上の粒子が同一の一粒子状態を占めることはない、というフェルミ粒子の性質が自然に表れる。

実は $|0\rangle$ に限らず、任意の数状態に適用した場合にも、

$$
\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle
=-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle
$$

が成り立つ。というのも、元の状態に対して $n_a=n_b=0$ なら上記と同様に本来の意味での符号反転を示すのに対して、$n_a=1$ または $n_b=1$ では両辺ともゼロになるためやはり成り立つのである。結果的に、任意の多粒子状態に対して、

$$
\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger=-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger
$$

すなわち、

$$
\{\hat c_a^\dagger, \hat c_b^\dagger\}=0
$$

が成り立つことになる。

一方、上式の両辺に消滅演算子 $\hat c_a$  を適用した場合に結果が等しくなるためには、左辺は

$$
\hat c_a(\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle)=
(\hat c_a\hat c_a^\dagger) \hat c_b^\dagger\,|0\rangle=
\hat c_b^\dagger\,|0\rangle
$$

で良いとして、右辺については

$$
\hat c_a(-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger)\,|0\rangle=
\hat c_a\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle=
(\hat c_a\hat c_a^\dagger) \hat c_b^\dagger\,|0\rangle=
\hat c_b^\dagger\,|0\rangle
$$

のように計算すべきであることがわかる。すなわち、__消滅演算子と生成演算子とは対にして消すことができるが、これを使って粒子を消すためにはまず上記のように反交換関係を用いて演算子を入れ替え、生成演算子と消滅演算子とを隣り合う位置に持ってこなければならない__。

すると $a\ne b$ のとき、

$$
\hat c_a\hat c_b\hat (c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle)
=-\hat c_a\hat c_b\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|0\rangle
=-\hat c_a\hat c_a^\dagger\,|0\rangle
=-\,|0\rangle
$$

$$
\hat c_b\hat c_a(\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle)
=\hat c_b\hat c_b^\dagger\,|0\rangle
=|0\rangle
$$

である。そこで、

$$
\hat c_a\hat c_b=-\hat c_b\hat c_a
$$

を考えると、上と同様に、$n_a=0$ や $n_b=0$ のときや $a=b$ では両辺ともにゼロになるためこの式は一般の場合に成り立ち、すなわち、

$$
\{\hat c_a, \hat c_b\}=0
$$

が成り立つ。さらに $a\ne b$ に対して、

$$
\hat c_b\hat c_a^\dagger (\hat c_b^\dagger\,|0\rangle)
=-\hat c_b\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|0\rangle
=-\hat c_a^\dagger\,|0\rangle
$$

$$
\hat c_a^\dagger\hat c_b (\hat c_b^\dagger\,|0\rangle)
=\hat c_a^\dagger\,|0\rangle
$$

より、

$$
\hat c_a^\dagger\hat c_b=-\hat c_b\hat c_a^\dagger
$$

を考えると、上と同様に、$n_a=0$ や $n_b=0$ のとき両辺ともにゼロになる。すなわち、$a\ne b$ では一般に

$$
\{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=0
$$

が成り立つ。$a=b$ の時に上で見たとおり

$$
\{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=1
$$

が成り立つとすれば、両者をまとめて

$$
\{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=\delta_{ab}
$$

となる。

ここで得られた

$$
\{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=\delta_{ab}
$$
$$
\{\hat c_a, \hat c_b\}=0
$$
$$
\{\hat c_a^\dagger, \hat c_b^\dagger\}=0
$$

がフェルミオンの生成・消滅演算子の反交換関係となる。


*** 数状態の符号 [#j9f41628]

数状態 $|n_1,n_2,\dots\rangle$ が表す多粒子波動関数を、符号を含めて


$$
|n_1,n_2,\dots\rangle=(c_1^\dagger)^{n_1}(c_2^\dagger)^{n_2}\dots|0\rangle
$$

として定義するものとしよう。これは真空状態 $|0\rangle$ に必要な生成演算子($n_i=1$ のもののみ)を降順に適用したものである。任意の $i$ に対して $|a_1^{(i)}|=1$ であるからこれは規格化された波動関数になる。

例えば

$$
|1,1,1,0,\dots\rangle
=\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle
$$

である。この定義では

$$
\hat c_1\,|1,1,1,\dots\rangle
=\cancel{\hat c_1\hat c_1^\dagger}\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle
=|0,1,1,\dots\rangle
$$

$$
\hat c_2\,|0,1,1,\dots\rangle
=\cancel{\hat c_2\hat c_2^\dagger}\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle
=|0,0,1,\dots\rangle
$$

である一方、

$$
\begin{aligned}
\hat c_2\,|1,1,1,\dots\rangle
&=\phantom{-}\hat c_2\underbrace{\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger}_\text{swap}\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle\\
&=-\cancel{\hat c_2\hat c_2^\dagger}\hat c_1^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle\\
&=-\phantom{\hat c_2\hat c_2^\dagger}\hat c_1^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle
= -|1,0,1,\dots\rangle
\end{aligned}
$$

などとなって、上記の $a_1$ の符号は注目する１粒子状態以外にどの１粒子状態に電子が入っているかによって異なることになって大変ややこしい。

そこで $a_1$ の符号に注目する代わりに、

$$
\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle
$$

のような生成・消滅演算子のみを用いた表記と、上記の交換関係とを用いることで符号の変化を自然に扱おうというのがここでの目的である。

**ボーズ粒子 [#q9542b4d]

交換関係

$$
[\hat c,\hat c^\dagger]=\hat c\hat c^\dagger-\hat c^\dagger\hat c=1
$$

は調和振動子で見たのと同じであり、この関係があるとき、

$$
|a_{n+1}|^2=|a_n|^2+1
$$

であり、$a_0=0$ であるから一般に、$|a_n|^2=n$
すなわち

$$|a_n|=\sqrt{n}$$

が成り立つ。このとき 

$$\hat c^\dagger\hat c=\hat n$$

となることを確認できる。

このとき、以下の交換関係があることも確かめられる。

$$
[\hat c,\hat c]=[\hat c^\dagger,\hat c^\dagger]=0
$$

*** ボーズ粒子の波動関数と交換関係 [#m0b8a432]

ボーズ粒子の多粒子波動関数をスレーター行列のパーマネントで作った場合、
粒子の入れ替えに対して波動関数の符号は変化しない。
これは生成演算子の順番が異なっても上記の $|a_n|$ の位相は変化しないことを表す。

ただフェルミ粒子と同様に

$$
|n_1,n_2,\dots\rangle{\overset?=}
(c_1^\dagger)^{n_1}(c_2^\dagger)^{n_2}\dots|0\rangle
$$

としてしまうと、上で見た通り $|a_n|=\sqrt n$ であるため右辺は規格化されていない。
規格化するには、

$$
|n_1,n_2,\dots\rangle=
\left\{\frac1{\sqrt{(n_i+1)!}}\prod_i (c_i^\dagger)^{n_i}\right\}|0\rangle
$$

などとする必要がある。

粒子の入れ替えで波動関数が変化しないため、$a\ne b$ では

$$
\begin{aligned}
\hat c_a^\dagger\hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle
&=\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle
\end{aligned}
$$

すなわち、

$$
[\hat c_a^\dagger,\hat c_b^\dagger]=\hat c_a^\dagger\hat c_b^\dagger-\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger=0
$$

であり（上述のとおり両辺は規格化されていないことの注意せよ）、$a=b$ では両辺ともゼロとなるためやはり成り立つ。同様に、

$$
[\hat c_a,\hat c_b]=\hat c_a\hat c_b-\hat c_b\hat c_a=0
$$

も確かめられる（$n_a=0$ や $n_b=0$ でも成り立つ）。また、$a\ne b$ のとき、

$$
\begin{aligned}
\hat c_a\hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle
&\big(=\sqrt{n_a+1}\,\sqrt{n_b}\ |n_1,n_2,\dots,n_a-1,\dots,n_b+1,\dots\rangle\,\big)\\
&=\hat c_b^\dagger\hat c_a\,|n_1,n_2,\dots\rangle
\end{aligned}
$$

となり(中辺をカッコで括っているのは位相を無視した書き方になっているため)、

$$
[\hat c_a,\hat c_b^\dagger]=\hat c_a\hat c_b^\dagger-\hat c_b^\dagger\hat c_a=0
$$

であるのに対して、$a=b$ のときには上で見た通り

$$
[\hat c_a,\hat c_a^\dagger]=\hat c_a\hat c_a^\dagger-\hat c_a^\dagger\hat c_a=1
$$

であるので、これらをまとめると $a=b, a\ne b$ どちらに対しても以下の交換関係が認められる。

$$
[\hat c_a,\hat c_a^\dagger]=\delta_{ab}
$$
$$
[\hat c_a^\dagger,\hat c_b^\dagger]=0
$$
$$
[\hat c_a,\hat c_b]=0
$$

* まとめ [#dc9d662f]

消滅演算子 $\hat c_i$ と生成演算子 $\hat c_i^\dagger$ とを

$$
\hat c_i\hat c_i^\dagger\pm\hat c_i^\dagger\hat c_i=1
$$

および、

$$
\hat c_i\,|\dots,\underbrace{0}_{=\,n_i},\dots\rangle=0
$$

を満たすよう定義することにより、
スレーター行列を用いて多粒子波動関数を作る際の１粒子波動関数の並び順と、
真空に生成演算子を適用した順とを同一視した取り扱いを便利に行える。

このとき、

$$
\hat c_i\,|\dots,n_i,\dots\rangle
\propto\begin{cases}
0&(n_i=0)\\
|\dots,n_i-1,\dots\rangle&(n_i>0)\\
\end{cases}
$$

$$
\hat c_i^\dagger\,|\dots,n_i,\dots\rangle
\propto\begin{cases}
0&(\text{フェルミ粒子で}\,n_i=1)\\
|\dots,n_i+1,\dots\rangle&(\text{その他})\\
\end{cases}
$$

$$
\hat n_i=\hat c_i^\dagger\hat c_i
$$

$$
[\hat n_i,\hat c_i]=-\hat c_i
$$

$$
[\hat n_i,\hat c_i^\dagger]=\hat c_i^\dagger
$$

また、フェルミ粒子に対して、

$$
\{\hat c_a,\hat c_a^\dagger\}=\delta_{ab}
$$
$$
\{\hat c_a^\dagger,\hat c_b^\dagger\}=0
$$
$$
\{\hat c_a,\hat c_b\}=0
$$

ボゾンに対して

$$
[\hat c_a,\hat c_a^\dagger]=\delta_{ab}
$$
$$
[\hat c_a^\dagger,\hat c_b^\dagger]=0
$$
$$
[\hat c_a,\hat c_b]=0
$$

が成り立つ。
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