箱の中の自由粒子/メモ のバックアップソース(No.1)
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#contents * 概要 [#qce2ce54] [[量子力学I/箱の中の自由粒子]] のページの補足です。 * 非定常状態の解 [#n62d71f3] ** Mathematica ソース [#d1f602c3] LANG:mathematica Sum[(1/n!)^2, {n, Infinity}] (* output: -1 + BesselI[0, 2] *) psi[x_, t_] := Sqrt[2/(BesselI[0, 2] - 1)] Sum[Exp[I n^2 t] Sin[n Pi x]/n!, {n, 50}] Module[{t = 0}, Show[{ Plot[ Abs[psi[x, t]]^2, {x, 0, 1}, BaseStyle -> {FontSize -> 18}, ImageSize -> Large, PlotRange -> {0, 3}], Graphics[Text["t = " <> ToString[t], {0.8, 2.8}, {-1, 0}]] }] ] anim = Table[ Show[{ Plot[ Abs[psi[x, t]]^2, {x, 0, 1}, BaseStyle -> {FontSize -> 18}, ImageSize -> Large, PlotRange -> {0, 3}], Graphics[Text["t = " <> ToString[t], {0.8, 2.8}, {-1, 0}]] }], {t, 0, 10, 0.02} ]; Export["time-dependent.gif", anim, "GIF"] Show[{ DensityPlot[ Abs[psi[x,t]]^2, {x, 0, 1}, {t, 0, 10}, PlotPoints -> 100, ImageSize -> Large], ParametricPlot[ { NIntegrate[x Abs[psi[x, t]]^2, {x, 0, 1}], t}, {t, 0, 10}, PlotPoints -> 40, ImageSize -> Large, PlotStyle -> {Thick, Red}] }, BaseStyle -> {FontSize -> 18}] * 1次元の箱の中の自由粒子(有限ポテンシャル) [#e7f1fc92] ** 詳しい導出過程 [#eb7f9871] #ref(量子力学I/箱の中の自由粒子/continuous.png,right,around,33%); &math(k=\sqrt{2mE}/\hbar);、&math(k'=\sqrt{2m(V-E)}/\hbar); に対して、 - 箱の左: &math(\psi_1(x)=Ce^{k'x}); - 箱の中: &math(\psi_1(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}); - 箱の右: &math(\psi_3(x)=De^{-k'x}); 境界条件は、 - &math(\psi_1(0)=\psi_2(0));、&math(\psi_1'(0)=\psi_2'(0)); - &math(\psi_2(a)=\psi_3(a));、&math(\psi_2'(a)=\psi_3'(a)); 代入すると、 &math(C=A+B);、&math(k'C=ik(A-B)); より &math(\frac{A-B}{A+B}=\frac{k'}{ik}); &math(Ae^{ika}+Be^{-ika}=De^{-k'a});、&math(ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})=-k'De^{-k'a}); より &math(\frac{Ae^{ika}-Be^{-ika}}{Ae^{ika}+Be^{-ika}}=-\frac{k'}{ik}); したがって、 &math(-\frac{A-B}{A+B}=\frac{Ae^{ika}-Be^{-ika}}{Ae^{ika}+Be^{-ika}}); &math(-(A-B)(Ae^{ika}+Be^{-ika})=(A+B)(Ae^{ika}-Be^{-ika})); &math(A^2e^{i2ka}=B^2)); &math(B=\pm Ae^{ika})); を得る。これを上の式に代入すれば &math(C=A(1\pm e^{ika}));、&math(D=Ae^{k'a}(e^{ika}\pm 1)); であり、 さらに &math(k'C=ik(A-B)); より &math(k'(1\pm e^{ika})=ik(1\mp e^{ika})); を得る。 &math( \psi_1(x)&=A(e^{ikx}\pm e^{ka}e^{-ikx})\\ &=Ae^{ka/2}(e^{ik(x-a/2)}\pm e^{-ik(x-a/2)})\\ &=2Ae^{ka/2}\frac{e^{ik(x-a/2)}\pm e^{-ik(x-a/2)}}{2}\\ ); &math(C=2Ae^{ka/2}\frac{e^{-ika/2}\pm e^{ika/2}}{2}); &math(D=2Ae^{ka/2}\,e^{k'a}(e^{ika/2}\pm e^{-ika/2})); &math((k'a/2)\frac{e^{-ika/2}\pm e^{ika/2}}{2}=i(ka/2)\frac{e^{-ika/2}\mp e^{ika/2}}{2}); より、 [複号の上を取れば] &math(\psi_1(x)=2Ae^{ka/2}\cos\big(k(x-a/2)\big)); &math(C=2Ae^{ka/2}\cos(ka/2)); &math(D=2Ae^{ka/2}\,e^{k'a}\cos(ka/2)); &math((k'a/2)\cos(ika/2)=(ka/2)\sin(ka/2)); [複号の下を取れば] &math(\psi_1(x)=2iAe^{ka/2}\sin\big(k(x-a/2)\big)); &math(C=-2iAe^{ka/2}\sin(ka/2)); &math(D=2iAe^{ka/2}\,e^{k'a}\sin(ka/2)); &math(-(k'a/2)\sin(ka/2)=(ka/2)\cos(ka/2)); のように、それぞれ &math(x=a/2); を中心に &math(\cos); 的、&math(\sin); 的な波動関数となる。 &math(k,k'); についての条件式の両辺を二乗した上で &math(k'^2+k^2=\frac{2mV}{\hbar^2}); の関係を使って書き直せば、 [&math(\cos); 的な関数について] &math((ka/2)^2(1+\tan^2(ka/2))=\frac{mVa^2}{2\hbar^2}); ただし &math(\tan(ka/2)>0); [&math(\sin); 的な関数について] &math((ka/2)^2(1+\cot^2(ka/2))=\frac{mVa^2}{2\hbar^2}); ただし &math(\tan(ka/2)<0); を得る。 ** Mathematica ソース [#z898078d] LANG:mathematica Plot[{ If[Tan[x] < 0, Infinity, x^2 (1 + Tan[x]^2)], If[Cot[x] > 0, Infinity, x^2 (1 + Cot[x]^2)]}, {x, 0, 14}, PlotRange -> {0, 200}, BaseStyle -> {FontSize -> 18}, ImageSize -> Large, PlotLegends -> Placed[{"cos 的", "sin 的"}, Above], AxesLabel -> {ka/2, mVa^2/(2 \[HBar]^2)}] NSolve[x^2 (1 + Tan[x]^2) == 50 && Tan[x] > 0 && 0 < x < 10, x, WorkingPrecision -> 15] (* {{x -> 1.37508316964374}, {x -> 4.09477807780528}, {x -> 6.63585976688118}} *) NSolve[x^2 (1 + Cot[x]^2) == 50 && Cot[x] < 0 && 0 < x < 10, x, WorkingPrecision -> 15] (* {{x -> 2.74319088650076}, {x -> 5.41164383515459}} *) coslike[x_, k_] := Module[{k2 = Sqrt[4 50 - k^2]}, Sign[k] If[x < 0, Cos[k/2] Exp[k2 x], If[x < 1, Cos[k (x - 1/2)], Cos[k/2] Exp[-k2 (x - 1)]]] 10 + k^2 ] sinlike[x_, k_] := Module[{k2 = Sqrt[4 50 - k^2]}, If[x < 0, -Sin[k/2] Exp[k2 x], If[x < 1, Sin[k (x - 1/2)], Sin[k/2] Exp[-k2 (x - 1)]]] 10 + k^2 ] Plot[{ coslike[x, 2 1.37508316964374341419334462792217407823`15.], sinlike[x, -2 2.74319088650075787031867823175879453346`15.], coslike[x, -2 4.0947780778052791609523226938312581713`15.], sinlike[x, 2 5.41164383515459114436056269363192749999`15.], coslike[x, 2 6.63585976688118310914259741089030967404`15.] }, {x, -0.5, 1.5}, PlotRange -> {0, 300}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, Axes -> {True, False}, PlotStyle -> {Thick, Thin, Thin, Thin, Thin, Thin}, AspectRatio -> 1 ] sin[x_, n_] := If[x < 0, 0, If[x > 1, 0, Sin[n Pi x]]] 10 + (n Pi)^2 Plot[{If[x < 0, 500, If[x < 1, 0, 500]], sin[x, 1], sin[x, 2], sin[x, 3], sin[x, 4], sin[x, 5] }, {x, -0.5, 1.5}, PlotRange -> {0, 300}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, Axes -> {True, False}, PlotStyle -> {Thick, Thin, Thin, Thin, Thin, Thin}, AspectRatio -> 1 ]
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