２次元電位分布の数値計算 のバックアップ(No.1)

電位決定の基礎方程式 †

物質中におけるマクスウェル方程式において

&math( \begin{cases} \displaystyle\bm\nabla\times\bm E+\frac{\PD\bm B}{\PD t}=\bm o\\ \displaystyle\bm\nabla\cdot\bm B=0\\ \displaystyle\bm\nabla\times\bm H-\frac{\PD\bm D}{\PD t}=\bm i\\ \displaystyle\bm\nabla\cdot\bm D=\rho \end{cases} );

を仮定すれば、

&math( \begin{cases} \bm\nabla\times\bm E=\bm o\\ \displaystyle -\frac{\PD\bm D}{\PD t}=\bm i\\ \bm\nabla\cdot\bm D=\rho \end{cases} );　　　　(*)

第１式より電位の存在が導かれ、

とともに第３式に代入すれば、

&math( \bm\nabla\cdot\big(\varepsilon\bm\nabla\phi)=-\rho );

特に、真電荷のない領域では

&math( \bm\nabla\cdot\big(\varepsilon\bm\nabla\phi)=0 );

これが基礎方程式となる。

電場の z 成分がゼロのとき 、成分に分けて書けば

&math(\frac{\PD}{\PD x}\left(\varepsilon_x\frac{\PD}{\PD x}\phi)+

     \frac{\PD}{\PD y}\left(\varepsilon_y\frac{\PD}{\PD y}\phi)=rho); 

媒質が等方的かつ均質であれば、

&math(\frac{\PD}{\PD x}\left(\frac{\PD}{\PD x}\phi)+

     \frac{\PD}{\PD y}\left(\frac{\PD}{\PD y}\phi)=\\triangle\phi=rho); 

いわゆるポアソン方程式（ ならラプラス方程式）に帰着する。

シート状伝導体における基礎方程式 †

(*) 式の第２、第３式から電荷保存則

が導かれる。

定常状態では より、

ここにシート状伝導体におけるオームの法則

電場と電位の関係式

を代入すると、

これがシート状伝導体における電位の基礎方程式となる。

成分に分けて書けば、

&math(\frac{\PD}{\PD x}\left(\sigma_x\frac{\PD}{\PD x}\phi)+

     \frac{\PD}{\PD y}\left(\sigma_x\frac{\PD}{\PD y}\phi)=0); 

こちらも、コンダクタンスが等方的かつ一様であればポアソン方程式になる。

中心軸対称な系における円柱座標の基礎方程式 †