２次元電位分布の数値計算 のバックアップソース(No.1)

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[[公開メモ]]

* 概要 [#z820172d]

与えられた境界条件を満たす２次元電位分布を数値計算により求めたい。

* 基礎方程式 [#h7465ce4]

** 電位決定の基礎方程式 [#l6ddd6ff]

物質中におけるマクスウェル方程式において

&math(
\begin{cases}
\displaystyle\bm\nabla\times\bm E+\frac{\PD\bm B}{\PD t}=\bm o\\
\displaystyle\bm\nabla\cdot\bm B=0\\
\displaystyle\bm\nabla\times\bm H-\frac{\PD\bm D}{\PD t}=\bm i\\
\displaystyle\bm\nabla\cdot\bm D=\rho
\end{cases}
);

&math(\bm B=\bm 0); を仮定すれば、

&math(
\begin{cases}
\bm\nabla\times\bm E=\bm o\\
\displaystyle -\frac{\PD\bm D}{\PD t}=\bm i\\
\bm\nabla\cdot\bm D=\rho
\end{cases}
);　　　　(*)

第１式より電位の存在が導かれ、&math(\bm E=-\bm\nabla\phi);

&math(\bm D=\varepsilon\bm E); とともに第３式に代入すれば、

&math(
\bm\nabla\cdot\big(\varepsilon\bm\nabla\phi)=-\rho
);

特に、真電荷のない領域では

&math(
\bm\nabla\cdot\big(\varepsilon\bm\nabla\phi)=0
);

これが基礎方程式となる。

電場の z 成分がゼロのとき &math(E_z=0);、成分に分けて書けば

&math(\frac{\PD}{\PD x}\left(\varepsilon_x\frac{\PD}{\PD x}\phi)+
      \frac{\PD}{\PD y}\left(\varepsilon_y\frac{\PD}{\PD y}\phi)=rho); 

媒質が等方的かつ均質であれば、

&math(\frac{\PD}{\PD x}\left(\frac{\PD}{\PD x}\phi)+
      \frac{\PD}{\PD y}\left(\frac{\PD}{\PD y}\phi)=\\triangle\phi=rho); 

いわゆるポアソン方程式（&math(\rho=0); ならラプラス方程式）に帰着する。

** シート状伝導体における基礎方程式 [#o7161a92]

(*) 式の第２、第３式から電荷保存則

&math(-\bm\nabla\cdot\frac{\PD\bm D(\bm x,t)}{\PD t}=\bm\nabla\cdot\bm i=-\frac{d}{dt}\rho);

が導かれる。

定常状態では &math(\frac{d}{dt}\rho=0); より、

&math(\bm\nabla\cdot\bm i=0);

ここにシート状伝導体におけるオームの法則 &math(\bm i=\sigma\bm E=\begin{pmatrix}\sigma_x\\ \\sigma_y\\ \ \ 0\end{pmatrix}\bm E);

電場と電位の関係式 &math(\bm E=-\bm\nabla\phi); 

を代入すると、

&math(\bm\nabla\cdot(\sigma\bm\nabla\phi)=0); 

これがシート状伝導体における電位の基礎方程式となる。

成分に分けて書けば、

&math(\frac{\PD}{\PD x}\left(\sigma_x\frac{\PD}{\PD x}\phi)+
      \frac{\PD}{\PD y}\left(\sigma_x\frac{\PD}{\PD y}\phi)=0); 

こちらも、コンダクタンスが等方的かつ一様であればポアソン方程式になる。

** 中心軸対称な系における円柱座標の基礎方程式 [#s0e835b1]
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