磁化と局在スピン †

磁化 は という単位を持ち、物質の持つ磁気モーメント を体積当たりにした量。これと原子当たりのスピンの大きさ との関係は、電子スピンあたりの磁気モーメントが なので：

&math( a^3 \bm M=-g\mu_B \bm S );

より、(2.9)

&math( a^3 \bm M=-\frac{g\mu_B}{a^3}\bm S );

となる。（ であることに注意)

強磁性相互作用 †

隣り合うスピンが平行になると安定なので、最隣接のみを考慮したハミルトニアンは

&math( H_J=-J_0\sum_{\bm r,\bm a}\bm S(\bm r)\cdot\bm S(\bm r+\bm a) );

ただし であり、 は隣の格子点へのベクトル。

ダブルカウントを防ぐことを考えると、立方格子であれば は

&math( \bm a=\begin{pmatrix}a\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{or} \begin{pmatrix}0\\ a\\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{or} \begin{pmatrix}0\\ 0\\ a \end{pmatrix} );

の３種類を取る。

連続極限 †

フェルミエネルギーレベルの極端に高エネルギーの電子伝導を考えない限り、 格子の効果は均して考えることができる → 連続極限

&math( \bm S(\bm r)\cdot \bm S(\bm r+\bm a)=-\frac{1}{2}\{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2 + S^2 );

は大きさを変えず、向きだけ変化するとすると、 の項は定数項として落とせる。

を小さいとして１次の効果のみ考えれば、

&math( \{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2= \{\bm a\cdot\bm \nabla S_x(\bm r)\}^2+ \{\bm a\cdot\bm \nabla S_y(\bm r)\}^2+ \{\bm a\cdot\bm \nabla S_z(\bm r)\}^2 );

&math( \bm a&=(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a)\\ &=a\bm e_x,a\bm e_y,a\bm e_z );

なので、

&math( \sum_{\bm a=a\bm e_x\!,\, a\bm e_y\!,\, a\bm e_z}& \{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2\\ =\ &a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_z{}^2+\\ &a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_z{}^2+\\ &a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_z{}^2\\ \equiv&\ \{\nabla \bm S(\bm r)\}^2 );

より、

&math( H_J=\frac{J}{2}\sum_{\bm r\nabla \bm S(\bm r)2 );

ただし、 である。

2012/02/27 のセミナーでの話として：

これは物質が等方的な場合の話で、容易軸・困難軸等がある場合には

z軸に向きやすい

や、

y軸に向きにくい

などの項を含める場合もある。

とのこと。