スピントロニクス理論の基礎/2 のバックアップ(No.2)

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2 磁性と電気伝導の基礎

磁化と局在スピン

磁化 \bm M \mathrm{A/m} という単位を持ち、物質の持つ磁気モーメント \mathrm{Am^2} を体積当たりにした量。これと原子当たりのスピンの大きさ \bm S との関係は、電子スピンあたりの磁気モーメントが -g\mu_B/2 なので:

&math( a^3 \bm M=-g\mu_B \bm S );

より、(2.9)

&math( a^3 \bm M=-\frac{g\mu_B}{a^3}\bm S );

となる。( |\bm S|=1/2 であることに注意)

強磁性相互作用

隣り合うスピンが平行になると安定なので、最隣接のみを考慮したハミルトニアンは

&math( H_J=-J_0\sum_{\bm r,\bm a}\bm S(\bm r)\cdot\bm S(\bm r+\bm a) );

ただし (J_0>0) であり、 \bm a は隣の格子点へのベクトル。

ダブルカウントを防ぐことを考えると、立方格子であれば \bm a

&math( \bm a=\begin{pmatrix}a\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{or} \begin{pmatrix}0\\ a\\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{or} \begin{pmatrix}0\\ 0\\ a \end{pmatrix} );

の3種類を取る。

連続極限

フェルミエネルギーレベルの極端に高エネルギーの電子伝導を考えない限り、 格子の効果は均して考えることができる → 連続極限

&math( \bm S(\bm r)\cdot \bm S(\bm r+\bm a)=-\frac{1}{2}\{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2 + S^2 );

連続極限では \bm S は大きさを変えず、その向きだけを a の空間スケールに比べて十分ゆっくりと変化すると考える。

  • 大きさを変えないことから S^2 の項は定数項として落とせる。
  • \bm a を小さいとして1次の項までで評価する。

&math( \{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2= \{\bm a\cdot\bm \nabla S_x(\bm r)\}^2+ \{\bm a\cdot\bm \nabla S_y(\bm r)\}^2+ \{\bm a\cdot\bm \nabla S_z(\bm r)\}^2 );

立方格子では

&math( \bm a&=(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a)\\ &=a\bm e_x,a\bm e_y,a\bm e_z );

なので、

&math( \sum_{\bm a=a\bm e_x\!,\, a\bm e_y\!,\, a\bm e_z}& \{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2\\ =\ &a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_z{}^2+\\ &a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_z{}^2+\\ &a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_z{}^2\\ \equiv&\ \{\nabla \bm S(\bm r)\}^2 );

より、

&math( H_J=\frac{J}{2}\sum_{\bm r}\nabla {\bm S}(\bm r)^2 );

ただし、 J\equiv J_0a^2 である。

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