スピントロニクス理論の基礎/2 のバックアップ(No.5)

磁化と局在スピン †

磁化 は という単位を持ち、物質の持つ磁気モーメント を体積当たりにした量。これと原子当たりのスピンの大きさ との関係は、電子スピンあたりの磁気モーメントが なので：

&math( a^3 \bm M=-g\mu_B \bm S );

より、(2.9)

&math( \bm M=-\frac{g\mu_B}{a^3}\bm S );

となる。（ であることに注意)

電子のスピン †

量子力学では電子のスピンは であり、 および などと習うが、

ここでは古典論の範疇であるから であって は任意の方向を向き、 その 各成分は同時に決定可能である。

ボーア磁子とg因子 †

電子スピンの磁気モーメントは上記の通り

と表される。量子力学であれば右辺の の代わりに となるが、 これは上記の通り量子力学では であるため。

この教科書のように である場合には、角運動量は

と表されるのだと思う。( はそのまま角運動量の単位を持つことに注意)

いずれにせよ、角運動量を とすれば、

である。

質量 の電子が半径 の円軌道を速さ で回転するとき、その角運動量は (運動量)×(原点からの距離) として求められるから、

となる。同じ仮定で、この電子は の円周上を速さ で回転するため、 円周上を１秒間に 回だけ周回する。すなわち、円軌道を流れる電流は１秒間に

だけの電荷を運ぶ。上式は電流そのものを表し、

である。磁化は電流に面積を掛けて表され(MKSA単位系ならそれに が掛かる)、

ボーア磁子の定義は なので、 が軌道角運動量であれば当然 となるが、 がスピン角運動量の時は となって、これが電子スピンの 因子と呼ばれる物である。

電子スピンの 因子の からのずれ は異常磁気モーメントと呼ばれる。

強磁性相互作用 †

隣り合うスピンが平行になると安定なので、最隣接のみを考慮したハミルトニアンは

&math( H_J=-J_0\sum_{\bm r,\bm a}\bm S(\bm r)\cdot\bm S(\bm r+\bm a) );

ただし であり、 は隣の格子点へのベクトル。

ダブルカウントを防ぐことを考えると、立方格子であれば は

&math( \bm a=\begin{pmatrix}a\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{or} \begin{pmatrix}0\\ a\\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{or} \begin{pmatrix}0\\ 0\\ a \end{pmatrix} );

の３種類を取る。

連続極限 †

フェルミエネルギーレベルの極端に高エネルギーの電子伝導を考えない限り、 格子の効果は均して考えることができる → 連続極限

&math( \bm S(\bm r)\cdot \bm S(\bm r+\bm a)=-\frac{1}{2}\{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2 + S^2 );

連続極限では は大きさを変えず、その向きだけを の空間スケールに比べて十分ゆっくりと変化すると考える。

• 大きさを変えないことから の項は定数項として落とせる。
• を小さいとして１次の項までで評価する。

&math( \{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2= \{\bm a\cdot\bm \nabla S_x(\bm r)\}^2+ \{\bm a\cdot\bm \nabla S_y(\bm r)\}^2+ \{\bm a\cdot\bm \nabla S_z(\bm r)\}^2 );

立方格子では

&math( \bm a&=(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a)\\ &=a\bm e_x,a\bm e_y,a\bm e_z );

なので、

&math( \sum_{\bm a=a\bm e_x\!,\, a\bm e_y\!,\, a\bm e_z}& \{\bm S(\bm r+\bm a)-\bm S(\bm r)\}^2\\ =\ &a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_x(\bm r)\}_z{}^2+\\ &a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_y(\bm r)\}_z{}^2+\\ &a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_x{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_y{}^2+ a^2\{\bm \nabla S_z(\bm r)\}_z{}^2\\ \equiv&\ \{\nabla \bm S(\bm r)\}^2 );

より、

&math( H_J=\frac{J}{2}\sum_{\bm r}\nabla {\bm S}(\bm r)^2 );

ただし、 である。