スピントロニクス理論の基礎/5-2 のバックアップ(No.2)

5-2 スピン波励起 †

の運動を決める主要部は後半の のかかった部分であるそうだ。

次の方程式を満たす固有関数を用いることでその部分を対角化できる。

(5.12)

&math( \left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\varphi_\omega=\omega\varphi_\omega );

(5.11) で だった部分が になっているのは、 であるため。

最低の固有値は であり、対応する固有関数は

(5.13)

&math( \varphi_0=\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}} );

である。

&math( &\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=\nabla_z\left(\frac{\lambda\sinh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=\left(\frac{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}-\frac{2\sinh^2\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^3\frac{z-X}{\lambda}}\right)+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=\left(1-\frac{2\left(\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}-1\right)}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=0 );

その他の固有値は連続で、パラメータ を用いて

(5.14)

と表される。対応する固有関数は、

(5.15)

&math( \varphi_k(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)} );

である。

&math( &\nabla_z^2\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}\\ &=\nabla_z\left\{ik\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}+\frac{1}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)}\right\}\\ &=-k^2\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}+\frac{2ik}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)}

• \frac{2\sinh\frac{z-X}{\lambda}}{\lambda^2\cosh^3\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)}\\ &=\left(ik^3\lambda-k^2\tanh\frac{z-X}{\lambda}

1. \frac{2ik}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}

• \frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\lambda^2\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)e^{ik(z-X)} );

&math( &\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(ik^3\lambda^3-k^2\lambda^2\tanh\frac{z-X}{\lambda}

1. \frac{2ik\lambda}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}

• \frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)e^{ik(z-X)} \\ &\hspace{5mm}+\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}} \left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}

1. \frac{2ik}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}-\frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right) e^{ik(z-X)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}

• ik^3\lambda^3+k^2\lambda^2\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right) e^{ik(z-X)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}(1+k^2\lambda^2)\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right) e^{ik(z-X)}\\ &=\omega_k\varphi_k );

は固有値がゼロであるためゼロモードと呼ばれる。

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