スピントロニクス理論の基礎/5-2 のバックアップソース(No.2)

更新 
[[[前の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/5-1]] <<<<　
[[スピントロニクス理論の基礎]]（目次）　>>>>
[[[次の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/5-3]]

#contents

* 5-2 スピン波励起 [#ob08b303]

&math(L_S); の運動を決める主要部は後半の &math(KS^2); のかかった部分であるそうだ。

次の方程式を満たす固有関数を用いることでその部分を対角化できる。

(5.12)

&math(
\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\varphi_\omega=\omega\varphi_\omega
);

(5.11) で &math(\nabla); だった部分が &math(\nabla_z); になっているのは、
&math(\nabla_x\tilde\eta=\nabla_y\tilde\eta=0); であるため。

最低の固有値は &math(\omega=0); であり、対応する固有関数は

(5.13)

&math(
\varphi_0=\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}
);

である。

&math(
&\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\
&=\nabla_z\left(\frac{\lambda\sinh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\
&=\left(\frac{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}-\frac{2\sinh^2\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^3\frac{z-X}{\lambda}}\right)+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\
&=\left(1-\frac{2\left(\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}-1\right)}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\
&=0
);

その他の固有値は連続で、パラメータ &math(-\infty<k<\infty); を用いて

(5.14)

&math(\omega=1+k^2\lambda^2\equiv\omega_k);

と表される。対応する固有関数は、

(5.15)

&math(
\varphi_k(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}
);

である。

&math(
&\nabla_z^2\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}\\
&=\nabla_z\left\{ik\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}+\frac{1}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)}\right\}\\
&=-k^2\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}+\frac{2ik}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)}
-\frac{2\sinh\frac{z-X}{\lambda}}{\lambda^2\cosh^3\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)}\\
&=\left(ik^3\lambda-k^2\tanh\frac{z-X}{\lambda}
+\frac{2ik}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}
-\frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\lambda^2\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)e^{ik(z-X)}
);

&math(
&\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(ik^3\lambda^3-k^2\lambda^2\tanh\frac{z-X}{\lambda}
+\frac{2ik\lambda}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}
-\frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)e^{ik(z-X)}
\\
&\hspace{5mm}+\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}
\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}
+\frac{2ik}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}-\frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)
e^{ik(z-X)}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}
-ik^3\lambda^3+k^2\lambda^2\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)
e^{ik(z-X)}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}(1+k^2\lambda^2)\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)
e^{ik(z-X)}\\
&=\omega_k\varphi_k
);

&math(\varphi_0); は固有値がゼロであるためゼロモードと呼ばれる。

* 質問・コメント [#j613f68c]

#article_kcaptcha
Counter: 5548 (from 2010/06/03), today: 1, yesterday: 2