スピントロニクス理論の基礎/5-3 のバックアップソース(No.4)
更新[[[前の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/5-2]] <<<< [[スピントロニクス理論の基礎]](目次) >>>> [[[次の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/5-4]] #contents * 5-3 ゼロモード [#zf121d9b] (5.12) 式の固有値方程式から得た (5.13), (5.15) の固有関数を用いて ゆらぎ &math(\tilde\eta); を展開し、その係数を &math(\eta_i); とする。 (5.18) &math( \tilde\eta(\bm r,t)=\frac{1}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\eta_k(t)\varphi_k(z) ); これを (5.11) に代入すると、ラグランジアンを &math(\eta_i); を変数として表せる。 (5.11) &math( L_S=-\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}\left(\bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}-\dot{\bar{\tilde\eta}}\tilde\eta\right)-2KS^2\left\{\lambda^2\nabla\bar{\tilde\eta}\nabla\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\tilde\bar\eta\tilde\eta\right\}\\ ); を、 &math( &\int \frac{d^3r}{a^3} \bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \left(\frac{1}{2}\bar\eta_0(t)\bar\varphi_0(z)+\sum_k\bar\eta_k(t)\bar\varphi_k(z)\right) \left(\frac{1}{2}\dot\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\dot\eta_k(t)\varphi_k(z)\right)\\ &=\frac{A}{a^3}\left(2\lambda\bar\eta_0\dot\eta_0+\sum_{k',k}\bar\eta_{k'}\dot\eta_k\delta(k'-k)\right) ); &math( &\int \frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2\nabla\bar{\tilde\eta}\nabla\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz\left\{\lambda^2\nabla_z\bar{\tilde\eta}\nabla_z\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz\left\{-\lambda^2\bar{\tilde\eta}\nabla_z^2\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \bar{\tilde\eta}\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\right\}\tilde\eta\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \left(\frac{1}{2}\bar\eta_0(t)\bar\varphi_0(z)+\sum_k\bar\eta_k(t)\bar\varphi_k(z)\right) \left(\frac{0}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\omega_k\eta_k(t)\varphi_k(z)\right)\\ &=\frac{A}{a^3} \sum_{k',k}\omega_k\bar\eta_{{k'}}\eta_k{\delta(k'-k)}\\ ); などに注意して展開すると、 (5.19) &math( L_S=N_w\left[\frac{i\hbar S}{4}(\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0)+ \red{\frac{1}{2\lambda}}\sum_{\red{k'},k}\big\{i\hbar S(\bar\eta_{\red{k'}}\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_{\red{k'}}\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar\eta_{\red{k'}}\eta_k\big\}\red{\delta(k'-k)}\right] ); となる気がする?ただし、&math(N_w\equiv 2\lambda A/a^3); は (5.8) ですでに出てきたがここで初めて定義される定数で、磁壁を構成しているスピンの総数である(&math(A); は系の断面積) &math(N_w); に含まれる &math(2\lambda); は &math(\varphi_0); が正規化されていなかったために現れた定数なので、正規化されてた &math(\varphi_k); からは出てこない。そのため全体を &math(N_w); で括ると上記の &math(\red{1/2\lambda}); が現れてしまう。 そもそも、(5.14) から (5.17) あたりでは &math(k); は連続だったのに、 (5.18) の展開で &math(k); を整数に限っているのがおかしい。 &math(\delta(k'-k)); は次元を持つので、これを無視してしまうと次元すら狂ってしまう。 (5.18)' &math( \tilde\eta(\bm r,t)=\frac{1}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\red{2\lambda\int dk}\eta_k(t)\varphi_k(z) ); とすれば、 (5.19)' &math( L_S=N_w\left[\frac{i\hbar S}{4}(\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0)+ \red{2\lambda\int dk}\big\{i\hbar S(\bar\eta_k\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_k\eta_k)-2KS^2\omega_k|\eta_k|^2\big\}\right] ); となって、これなら次元も問題ない。 ただ、これ以降の話が全部 &math(\sum_k); で書かれているので、 果たして上記の解釈が正しいのかどうか、あまり自信を持てない・・・ * θとの関係 [#b238fa32] (5.4) に (5.18)' を代入すると、 (5.20) &math( &\xi=\exp\left\{-u+i\phi_0+2\cosh\left[\frac{1}{2}\eta_0\varphi_0+\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ &\red{=}\exp\left\{-\frac{z-X}{\lambda}+i\phi_0+\eta_0+2\cosh\left[\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ &\red{=}\exp\left\{-\frac{z-(X+\lambda\mathrm{Re}[\eta_0])}{\lambda}+i(\phi_0+\mathrm{Im}[\eta_0])+2\cosh\left[\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ ); となって、普通に (5.20) が得られそうに思うのだが、 教科書では何故か等号が &math(\simeq); になっている。 どこかに近似が入っている??? (5.20) から、&math(\varphi_0); の励起モードは、 係数 &math(\eta_0); の実部が &math(X); を、虚部が &math(\phi_0); を、 それぞれシフトすることに対応している。 (5.21) &math(X(t)=X+\lambda\mathrm{Re}\eta_0(t)); &math(\phi_0(t)=\phi_0+\mathrm{Im}\eta_0(t)); ゼロモードの存在により、これら &math(X(t)); および &math(\phi_0(t)); 自体が力学変数に昇格することになる。 励起モードの直交性 (5.16) により、ラグランジアンはこれら &math(X(t), \phi_0(t)); による部分と、それ以外の励起モード &math(\eta_k); による部分とに分離できる。 &math(\eta_0=\frac{X(t)-X}{\lambda}+i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)); &math( &\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0\\ &= \left\{\frac{X(t)-X}{\lambda}-i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)\right\} \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}+i\dot\phi_0(t)\right\} - \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}-i\dot\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{X(t)-X}{\lambda}+i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)\right\}\\ &= \left\{\frac{X(t)}{\lambda}-i\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}+i\dot\phi_0(t)\right\} - \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}-i\dot\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{X(t)}{\lambda}+i\phi_0(t)\right\}\\ &=\frac{2i}{\lambda}\left\{X(t)\dot\phi_0(t)-\dot X(t)\phi_0(t)\right\} ); 途中で時間に対する全微分となる項 ( 定数×時間微分 となる項) は落とした。 (5.23) &math( L_w^{(0)}=\frac{\hbar N_wS}{2\lambda}(\dot X\phi_0-X\dot\phi_0) ); &math( L_{sw}=\red{2\lambda}N_w\red{\int dk}\big\{i\hbar S(\bar\eta_k\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_k\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar|\eta_k|^2\big\} ); 以上の結果から、磁壁の位置 &math(X); と回転位相 &math(\phi_0); は力学変数として振る舞うことが裏付けられた。これらの変数は「集団座標」である。 これらを含んだ形で書くと、5-2 で見た関係式は (5.25) &math(\cos\theta=\tanh\frac{z-X(t)}{\lambda}); &math(\sin\theta=\frac{1}{\cosh\frac{z-X(t)}{\lambda}}); &math(\phi=\phi_0(t)); と表せる。 * 量子論 [#i2d066f7] [[スピントロニクス理論の基礎/X-5>経路積分の復習]] を参照。 ラグランジアンを (5.26) のように経路積分の位相に直す際、 上記リンク先では &math(\exp \frac{i}{\hbar}\int dt \mathcal L); とされていたが、 ここでは &math(1/\hbar); の係数がない。 このあたりの流儀はまだよく分かっていない・・・ (5.26) から (5.27) へのくだりも個人的な勉強不足でついて行けていないが、 この部分ではとりあえず飛ばしていっても何とかなりそう? (基本的な量子力学をもっと思い出さないと・・・) * 外部磁場の効果 [#k3ef063e] (5.23) から運動方程式を求めると、 &math( \frac{d}{dt}\left(\frac{\PD L_S}{\PD \dot X}\right)=\frac{\PD L_S}{\PD X} ); &math( \dot \phi_0=-\dot \phi_0 ); &math( \dot \phi_0=0 ); そして、 &math( \frac{d}{dt}\left(\frac{\PD L_S}{\PD \dot \phi_0}\right)=\frac{\PD L_S}{\PD \phi_0} ); &math( -\dot X=\dot X ); &math( \dot X=0 ); となって、何ら意味のある解は得られない。 例えばこの系の容易軸方向(&math(z);軸方向)に外部磁場がかかると状況は変化し、 外力により磁壁が駆動される。 ただしそのようにスピンが運動する状況を記述するには、 (4.33) で導入した運動方程式の「緩和項」を考慮しなければならない。 (4.33) の緩和項を変数変換すると、(5.25) より &math( \frac{d}{dt}\sin\theta=\dot\theta\cos\theta=-\frac{\dot X\sinh\frac{z-X}{\lambda}}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}} =-\frac{\dot X}{\lambda}\cos\theta\sin\theta ); &math(\dot\theta=-\frac{\dot X}{\lambda}\sin\theta); &math(\dot\phi=\dot\phi_0); (5.28) &math( &W_S=\int\frac{d^3r}{a^3}\frac{\hbar\alpha}{2S}\dot{\bm S^2}\\ &=\frac{\hbar SA\alpha}{2a^2}\int\frac{dz}{a} (\dot\theta^2+\sin^2\theta\dot\phi^2)\\ &=\frac{\hbar SA\alpha}{2a^2}\int\frac{dz}{a} \sin^2\theta\left(\frac{\dot X^2}{\lambda^2}+\dot\phi_0^2\right)\\ &=\frac{\hbar SA\alpha}{2a^2}\left(\frac{\dot X^2}{\lambda^2}+\dot\phi_0^2\right)\int\frac{dz}{a} \frac{1}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=\frac{\hbar SA\alpha}{2a^2}\left(\frac{\dot X^2}{\lambda^2}+\dot\phi_0^2\right)(2\lambda)\\ &=\frac{\hbar S\alpha}{2}\left(\frac{\dot X^2}{\lambda^2}+\dot\phi_0^2\right)N_w\\ ); 閑話休題して外部磁場との相互作用を考える。 局在スピンと外部磁場との相互作用は、 (5.29) &math( H_B=\int\frac{d^3r}{a^3}\hbar\gamma \bm B\cdot\bm S ); エネルギーは &math(\bm S); と &math(\bm B); とが同じ向きを向く時に最大となる。 これは、電子の電荷が負であるために磁化 &math(\bm M=^\frac{\hbar\gamma}{a^3}\bm S); が局在スピン &math(\bm S); と反対方向を向くためである。 局在スピン &math(\bm S); と &math(\bm B); とが同じ向きを向く時、 磁化 &math(\bm M); と &math(\bm B); とは逆向きになり、エネルギーが高くなる。 * 質問・コメント [#ld6bb3d7] #article_kcaptcha
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