スピントロニクス理論の基礎/5-4 のバックアップソース(No.3)

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* 5-4 ピン止めポテンシャルと困難軸磁気異方性 [#m0e54320]

結晶中の点状欠陥が磁壁をピン留めするのは、
点状欠陥があることにより強磁性相互作用や異方性エネルギーがその点で
周りと異なる値を取るためと考えられる。

ここでは容易軸異方性 &math(K=0); が &math(\bm r=\bm o); において
&math(K+\delta K); なる値 (&math(\delta K>0);) を取る場合を考える。

実際には原点に存在する結晶格子１つ分の領域 (体積&math(a^3);) で
ポテンシャルが変化しているとすれば、欠陥によるエネルギーは、

(5.34)

&math(
V_\mathrm{pin}&=-\int d^3r\left(\delta K\frac{S_z^2}{2}\right)\delta^3(\bm r)\\
&=-\int\frac{d^3r}{a^3}\delta K\frac{S^2a^3}{2}\delta^3(\bm r)\sin^2\theta(\bm r)
);

これを集団座標で表せば、

(5.35)

&math(
V_\mathrm{pin}&=-\frac{\delta KS^2}{2}\sin^2\theta(\bm o)\\
&=-\frac{\delta KS^2}{2}\frac{1}{\cosh^2\frac{X}{\lambda}}\\
);

このときエネルギーは &math(X=0); で最小となり、
磁壁を原点にトラップするポテンシャルとなっている。

計算上は、&math(1/\cosh(X/\lambda)); を近似する。

&math(|X|\ll |\lambda|); で、

&math(
&\frac{1}{\cosh^2\frac{X}{\lambda}}=\frac{2^2}{(e^\frac{X}{\lambda}+e^{-\frac{X}{\lambda}})^2}\\
&=\frac{4}{e^\frac{2X}{\lambda}+2+e^{-\frac{2X}{\lambda}}}\\
&=\frac{4}{(1+\frac{2X}{\lambda}+\frac{2X^2}{\lambda^2}+\dots)+2+(1-\frac{2X}{\lambda}+\frac{2X^2}{\lambda^2}+\dots)}\\
&=\frac{4}{4+4\frac{X^2}{\lambda^2}+\dots}\\
&=\frac{1}{1+\frac{X^2}{\lambda^2}+\dots}\\
&=1-\frac{X^2}{\lambda^2}+\dots\\
);

&math(|X|\gg |\lambda|); で &math(\frac{1}{\cosh^2\frac{X}{\lambda}}\sim 0);

より、

&math(\frac{1}{\cosh^2\frac{X}{\lambda}}\sim \left(1-\frac{X^2}{\lambda^2}\right)\theta(\lambda-|X|));

&attachref(sec2.png);

図のように、&math(1-X^2/\lambda^2); だけでは &math(|X|>\lambda); で
負側に突き抜けてしまうため、ステップ関数 &math(\theta(\lambda-|X|)); を
掛けることで範囲外をゼロとしている。

(5.36)

&math(
V_\mathrm{pin}&\sim-\frac{\delta KS^2}{2}\left(\frac{X^2}{\lambda^2}-1\right)\theta(\lambda-|X|)\\
);

磁壁の質量

&math(M_w\equiv\frac{2\hbar^2A}{K_\perp\lambda a^3}=\frac{\hbar^2N_w}{K_\perp\lambda^2});

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