スピントロニクス理論の基礎/8-1 のバックアップ差分(No.2)

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[[武内 修]]

培風館 多々良源 [[「スピントロニクス理論の基礎」>http://www.amazon.co.jp/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%AF%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E6%96%B0%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E5%A4%9A%E3%80%85%E8%89%AF-%E6%BA%90/dp/4563024406]] を勉強していく上で、気付いた誤植や難しい部分の注釈を書いておこうと思います。

* 8-1 物理量 [#h3d06217]

(8.1)

&math(\overline O(t_0) \equiv 
\frac{1}{Z_0} \trace[e^{-\beta H}O] =
\frac{1}{Z_0} \sum_\alpha \braket{\alpha|e^{-\beta H}O|\alpha} \equiv 
\bigl\langle e^{-\beta H}O(t_0) \bigr\rangle \equiv 
\frac{1}{Z_0} \trace[e^{-\beta H(t_0)}O(t_0)] =
\frac{1}{Z_0} \sum_{\alpha(t_0)} \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}O(t_0)|\alpha(t_0)} \equiv 
\bigl\langle e^{-\beta H(t_0)}O(t_0) \bigr\rangle \equiv 
\bigllangle O(t_0) \bigrrangle);

&math(\langle \ \ \rangle); は &math(e^{-\beta H(t_0)}); を含まない~
&math(\llangle \ \  \rrangle); は &math(e^{-\beta H(t_0)}); を含む

できる限り &math((t_0)); をあらわに書いてみた。

&math(Z_0 \equiv \trace\left[e^{-\beta H(t_0)}\right]); は分配関数。

(8.2)

&math(H(t_0)\ket{\alpha(t_0)}=E_\alpha\ket{\alpha(t_0)});

&math(E_\alpha); は &math(\alpha); が &math(t=t_0); で持つエネルギーとして定義される。

(8.3)

&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\ket{\alpha(t)}=H(t)\ket{\alpha(t)});

(8.4)

&math(\ket{\alpha(t)}\equiv U(t,t_0)\ket{\alpha(t_0)});

&math(U(t,t_0)); がユニタリ演算子となることが (8.10) で示される。

(8.5)

&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t} U(t,t_0)=H(t) U(t,t_0));

(8.6)

&math(i\hbar \left[ U(t,t_0) \right]_{t_0}^t=\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) U(t_1,t_0));

&math(U(t,t_0)-U(t_0,t_0)=U(t,t_0)-1=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) U(t_1,t_0));

&math(U(t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) U(t_1,t_0));

(8.7)

&math(&U(t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) \left[
1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_2) U(t_2,t_0)
\right]\\
&=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1)+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_1)H(t_2) U(t_2,t_0)\\
&=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1)
+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_1)H(t_2)\\
&+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^3\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 H(t_1)H(t_2)H(t_3) + \cdots\\
&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)\\
&\equiv Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'H(t')}
);

(8.9) は唐突なので、以下ちょっと話の流れを変える。

(8.11)

&math(&\left[U(t,t_0)\right]^\dagger\\
&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{i}{\hbar}\right)^n\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_n)H(t_{n-1})\cdots H(t_1)\\
&\equiv \overline Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'H(t')});

を考える。

&math((AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger); のように、エルミート共役により演算子のかけ算の順が入れ替わること、&math(H(t)); はエルミート演算子であること &math([H(t)]^\dagger=H(t));、エルミート共役で虚数単位の符号が反転すること &math(i\rightarrow -i); から、&math(U(t,t_0)); のエルミート共役が上記のように書けることが分かる。

これと (8.7) との積を作ってみると、

(8.9)

&math(&\left[U(t,t_0)\right]^\dagger U(t,t_0)\\
&=\overline Te^{\frac{i}{\hbar}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt'H(t')}\,
Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt'H(t')}\\
&=\left(1+\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt_1H(t_1)+\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2\int_{\textcolor{red}{t_0}}^t dt_1\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{t_1}dt_2H(t_2)H(t_1)+\dots\right)\times\\
&\left(1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt_1H(t_1)+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt_1\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{t_1}dt_2H(t_1)H(t_2)+\dots\right)\\
&=1);

実際に最後の等号を示そうとすると大変であるが、ちゃんと計算すれば示せないことはない。

しかしこの話は次のように考えればより直感的に理解できる。

(8.5) より &math(\frac{\PD}{\PD t}\Big[\log U(t,t_0)\Big]=\frac{-i}{\hbar}H(t));

&math(\frac{\log U(t+\delta t, t_0) - \log U(t, t_0)}{\delta t} = \frac{-i}{\hbar}H(t));

&math(\log \frac{U(t+\delta t, t_0)}{U(t, t_0)} = \frac{-i}{\hbar}H(t)\delta t);

&math(U(t_0+\delta t, t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)\delta t}U(t_0, t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)\delta t});

&math(U(t_0+\delta t+\delta t', t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0+\delta t)\delta t'}e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)\delta t});

&math(U(t, t_0) = 
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})}
\cdots
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)}
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}
); (8.7A)

一方で、

&math([U(t, t_0)]^\dagger = 
e^{\frac{i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}
e^{\frac{i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)}
\cdots
e^{\frac{i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})}
e^{\frac{i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}); (8.8A)

(8.7) や (8.8) の意味をこのように理解していると物理的な理解が深まる。

これらを用いれば、

&math(&[U(t, t_0)]^\dagger U(t, t_0) =\\
&
e^{\frac{i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}
e^{\frac{i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)}
\cdots
e^{\frac{i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})}
e^{\frac{i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}\\
&e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})}
\cdots
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)}
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}\\
&=1); (8.9A)

は一目瞭然である。

注)これらの表記では &math(n\rightarrow \infty); として、
個々の &math(t_{k+1}-t_k); が無限小の時間間隔を表していると考えている。

(8.10)

上記より、&math([U(t,t_0)]^\dagger=U(t,t_0)^{-1}); であり、
&math(U(t,t_0)); がユニタリ演算子であることが証明された。

(8.12)

&math(\overline O(t)&=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha e^{-\beta E_\alpha} \braket{\alpha(t)|O(t)|\alpha(t)}\\
&=\frac{1}{Z_0}\textcolor{red}{\sum_\alpha} \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}[U(t,t_0)]^\dagger O(t)U(t,t_0)|\alpha(t_0)}
);

(8.13)

&math(O_H(t)\equiv [U(t,t_0)]^\dagger O(t)U(t,t_0));

(8.14)

&math(\overline O(t)&=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}O_H(t)|\alpha(t_0)}\\
&=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha e^{-\beta E_\alpha} \braket{\alpha(t_0)|O_H(t)|\alpha(t_0)}
);

(8.15) 以下の議論は分かりにくい上に間違っている?

(8.17) は (8.13) そのものであるが、これを微分することにより、

(8.18)

&math(&\dot O_H \\
&= \dot U^\dagger O U\textcolor{red}{ + U^\dagger \dot O U} + U^\dagger O \dot U\\
&= \left[\frac{i}{\hbar}U^\dagger H\right] O U \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H} + U^\dagger O \left[\frac{-i}{\hbar}HU\right]\\
&=\frac{i}{\hbar}U^\dagger(HO-OH)U \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\
&=\frac{i}{\hbar}(U^\dagger HU U^\dagger OU-U^\dagger OUU^\dagger HU) \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\
&=\frac{i}{\hbar}(H_HO_H-O_HH_H) \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\
&=\frac{i}{\hbar}\left[H_H(t), O_H(t)\right] \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H});

ここで、(8.5) およびそのエルミート共役である、

&math(-i\hbar\frac{\PD}{\PD t}U(t,t_0)^\dagger=U(t,t_0)^\dagger H(t));

さらに、(8.9) で得た &math(U^\dagger U = U U^\dagger = 1); を使った。そして、

(8.16)

&math(H_H(t)=U(t,t_0)^\dagger H(t_0) U(t,t_0));

は、Heisenberg 表示でのハミルトニアンである。

ということで、

(8.15)

&math(&\dot O_H =\frac{i}{\hbar}\left[H_H(t), O_H(t)\right] \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H});

が正しいような・・・

ただしこの場合の &math(\frac{\PD O(t)}{\PD t}); は演算子が陽に時刻に依存していない場合 &math(O(t)=O); にはゼロになるため、次章で扱うように &math(O=c); であったり、&math(O=n); であったりする場合には &math(\frac{\PD O(t)}{\PD t}=0); で、結局 (8.15) と同じ形になります。

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(8.16) の脚注:

&math(H(t) = H); のように時間に依存しない場合には、

&math(&Te^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\textcolor{red}{t}}dt'H(t')}\\
&=e^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}H\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\textcolor{red}{t}}dt'}\\
&=e^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}H(t-t_0)}); (8.7B)

となる。

これは、(8.7A) からも

&math(&U(t, t_0) = 
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})}
\cdots
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)}
e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}\\
&=e^{\frac{-i}{\hbar}H[(t-t_n)+(t_n-t_{n-1})+
\cdots
+(t_2-t_1)+(t_1-t_0)]}\\
&=e^{\frac{-i}{\hbar}H(t-t_0)}
); (8.7C)

として確認できる。


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