スピントロニクス理論の基礎/8-1 のバックアップ差分(No.2)
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[[武内 修]] 培風館 多々良源 [[「スピントロニクス理論の基礎」>http://www.amazon.co.jp/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%AF%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E6%96%B0%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E5%A4%9A%E3%80%85%E8%89%AF-%E6%BA%90/dp/4563024406]] を勉強していく上で、気付いた誤植や難しい部分の注釈を書いておこうと思います。 * 8-1 物理量 [#h3d06217] (8.1) &math(\overline O(t_0) \equiv \frac{1}{Z_0} \trace[e^{-\beta H}O] = \frac{1}{Z_0} \sum_\alpha \braket{\alpha|e^{-\beta H}O|\alpha} \equiv \bigl\langle e^{-\beta H}O(t_0) \bigr\rangle \equiv \frac{1}{Z_0} \trace[e^{-\beta H(t_0)}O(t_0)] = \frac{1}{Z_0} \sum_{\alpha(t_0)} \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}O(t_0)|\alpha(t_0)} \equiv \bigl\langle e^{-\beta H(t_0)}O(t_0) \bigr\rangle \equiv \bigllangle O(t_0) \bigrrangle); &math(\langle \ \ \rangle); は &math(e^{-\beta H(t_0)}); を含まない~ &math(\llangle \ \ \rrangle); は &math(e^{-\beta H(t_0)}); を含む できる限り &math((t_0)); をあらわに書いてみた。 &math(Z_0 \equiv \trace\left[e^{-\beta H(t_0)}\right]); は分配関数。 (8.2) &math(H(t_0)\ket{\alpha(t_0)}=E_\alpha\ket{\alpha(t_0)}); &math(E_\alpha); は &math(\alpha); が &math(t=t_0); で持つエネルギーとして定義される。 (8.3) &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\ket{\alpha(t)}=H(t)\ket{\alpha(t)}); (8.4) &math(\ket{\alpha(t)}\equiv U(t,t_0)\ket{\alpha(t_0)}); &math(U(t,t_0)); がユニタリ演算子となることが (8.10) で示される。 (8.5) &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t} U(t,t_0)=H(t) U(t,t_0)); (8.6) &math(i\hbar \left[ U(t,t_0) \right]_{t_0}^t=\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) U(t_1,t_0)); &math(U(t,t_0)-U(t_0,t_0)=U(t,t_0)-1=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) U(t_1,t_0)); &math(U(t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) U(t_1,t_0)); (8.7) &math(&U(t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) \left[ 1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_2) U(t_2,t_0) \right]\\ &=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1)+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_1)H(t_2) U(t_2,t_0)\\ &=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) +\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_1)H(t_2)\\ &+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^3\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 H(t_1)H(t_2)H(t_3) + \cdots\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)\\ &\equiv Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'H(t')} ); (8.9) は唐突なので、以下ちょっと話の流れを変える。 (8.11) &math(&\left[U(t,t_0)\right]^\dagger\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{i}{\hbar}\right)^n\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_n)H(t_{n-1})\cdots H(t_1)\\ &\equiv \overline Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'H(t')}); を考える。 &math((AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger); のように、エルミート共役により演算子のかけ算の順が入れ替わること、&math(H(t)); はエルミート演算子であること &math([H(t)]^\dagger=H(t));、エルミート共役で虚数単位の符号が反転すること &math(i\rightarrow -i); から、&math(U(t,t_0)); のエルミート共役が上記のように書けることが分かる。 これと (8.7) との積を作ってみると、 (8.9) &math(&\left[U(t,t_0)\right]^\dagger U(t,t_0)\\ &=\overline Te^{\frac{i}{\hbar}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt'H(t')}\, Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt'H(t')}\\ &=\left(1+\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt_1H(t_1)+\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2\int_{\textcolor{red}{t_0}}^t dt_1\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{t_1}dt_2H(t_2)H(t_1)+\dots\right)\times\\ &\left(1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt_1H(t_1)+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt_1\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{t_1}dt_2H(t_1)H(t_2)+\dots\right)\\ &=1); 実際に最後の等号を示そうとすると大変であるが、ちゃんと計算すれば示せないことはない。 しかしこの話は次のように考えればより直感的に理解できる。 (8.5) より &math(\frac{\PD}{\PD t}\Big[\log U(t,t_0)\Big]=\frac{-i}{\hbar}H(t)); &math(\frac{\log U(t+\delta t, t_0) - \log U(t, t_0)}{\delta t} = \frac{-i}{\hbar}H(t)); &math(\log \frac{U(t+\delta t, t_0)}{U(t, t_0)} = \frac{-i}{\hbar}H(t)\delta t); &math(U(t_0+\delta t, t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)\delta t}U(t_0, t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)\delta t}); &math(U(t_0+\delta t+\delta t', t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0+\delta t)\delta t'}e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)\delta t}); &math(U(t, t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} \cdots e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)} ); (8.7A) 一方で、 &math([U(t, t_0)]^\dagger = e^{\frac{i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)} e^{\frac{i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} \cdots e^{\frac{i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} e^{\frac{i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}); (8.8A) (8.7) や (8.8) の意味をこのように理解していると物理的な理解が深まる。 これらを用いれば、 &math(&[U(t, t_0)]^\dagger U(t, t_0) =\\ & e^{\frac{i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)} e^{\frac{i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} \cdots e^{\frac{i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} e^{\frac{i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}\\ &e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} \cdots e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}\\ &=1); (8.9A) は一目瞭然である。 注)これらの表記では &math(n\rightarrow \infty); として、 個々の &math(t_{k+1}-t_k); が無限小の時間間隔を表していると考えている。 (8.10) 上記より、&math([U(t,t_0)]^\dagger=U(t,t_0)^{-1}); であり、 &math(U(t,t_0)); がユニタリ演算子であることが証明された。 (8.12) &math(\overline O(t)&=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha e^{-\beta E_\alpha} \braket{\alpha(t)|O(t)|\alpha(t)}\\ &=\frac{1}{Z_0}\textcolor{red}{\sum_\alpha} \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}[U(t,t_0)]^\dagger O(t)U(t,t_0)|\alpha(t_0)} ); (8.13) &math(O_H(t)\equiv [U(t,t_0)]^\dagger O(t)U(t,t_0)); (8.14) &math(\overline O(t)&=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}O_H(t)|\alpha(t_0)}\\ &=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha e^{-\beta E_\alpha} \braket{\alpha(t_0)|O_H(t)|\alpha(t_0)} ); (8.15) 以下の議論は分かりにくい上に間違っている? (8.17) は (8.13) そのものであるが、これを微分することにより、 (8.18) &math(&\dot O_H \\ &= \dot U^\dagger O U\textcolor{red}{ + U^\dagger \dot O U} + U^\dagger O \dot U\\ &= \left[\frac{i}{\hbar}U^\dagger H\right] O U \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H} + U^\dagger O \left[\frac{-i}{\hbar}HU\right]\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger(HO-OH)U \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\ &=\frac{i}{\hbar}(U^\dagger HU U^\dagger OU-U^\dagger OUU^\dagger HU) \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\ &=\frac{i}{\hbar}(H_HO_H-O_HH_H) \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\ &=\frac{i}{\hbar}\left[H_H(t), O_H(t)\right] \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}); ここで、(8.5) およびそのエルミート共役である、 &math(-i\hbar\frac{\PD}{\PD t}U(t,t_0)^\dagger=U(t,t_0)^\dagger H(t)); さらに、(8.9) で得た &math(U^\dagger U = U U^\dagger = 1); を使った。そして、 (8.16) &math(H_H(t)=U(t,t_0)^\dagger H(t_0) U(t,t_0)); は、Heisenberg 表示でのハミルトニアンである。 ということで、 (8.15) &math(&\dot O_H =\frac{i}{\hbar}\left[H_H(t), O_H(t)\right] \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}); が正しいような・・・ ただしこの場合の &math(\frac{\PD O(t)}{\PD t}); は演算子が陽に時刻に依存していない場合 &math(O(t)=O); にはゼロになるため、次章で扱うように &math(O=c); であったり、&math(O=n); であったりする場合には &math(\frac{\PD O(t)}{\PD t}=0); で、結局 (8.15) と同じ形になります。 ---- (8.16) の脚注: &math(H(t) = H); のように時間に依存しない場合には、 &math(&Te^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\textcolor{red}{t}}dt'H(t')}\\ &=e^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}H\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\textcolor{red}{t}}dt'}\\ &=e^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}H(t-t_0)}); (8.7B) となる。 これは、(8.7A) からも &math(&U(t, t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} \cdots e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}\\ &=e^{\frac{-i}{\hbar}H[(t-t_n)+(t_n-t_{n-1})+ \cdots +(t_2-t_1)+(t_1-t_0)]}\\ &=e^{\frac{-i}{\hbar}H(t-t_0)} ); (8.7C) として確認できる。
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