スピントロニクス理論の基礎/8-1 のバックアップ(No.3)

8-1 物理量 †

(8.1)

&math(\overline O(t_0) \equiv \frac{1}{Z_0} \trace[e^{-\beta H(t_0)}O(t_0)] = \frac{1}{Z_0} \sum_{\alpha(t_0)} \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}O(t_0)|\alpha(t_0)} \equiv \bigl\langle e^{-\beta H(t_0)}O(t_0) \bigr\rangle \equiv \bigllangle O(t_0) \bigrrangle);

は を含まない
は を含む

できる限り をあらわに書いてみた。

は分配関数。

(8.2)

は が で持つエネルギーとして定義される。

(8.3)

(8.4)

がユニタリ演算子となることが (8.10) で示される。

(8.5)

(8.6)

(8.7)

&math(&U(t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1) \left[ 1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_2) U(t_2,t_0) \right]\\ &=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1)+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_1)H(t_2) U(t_2,t_0)\\ &=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 H(t_1)

1. \left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_1)H(t_2)\\ &+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^3\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 H(t_1)H(t_2)H(t_3) + \cdots\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)\\ &\equiv Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'H(t')} );

(8.9) は唐突なので、以下ちょっと話の流れを変える。

(8.11)

&math(&\left[U(t,t_0)\right]^\dagger\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{i}{\hbar}\right)^n\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_n)H(t_{n-1})\cdots H(t_1)\\ &\equiv \overline Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'H(t')});

を考える。

のように、エルミート共役により演算子のかけ算の順が入れ替わること、 はエルミート演算子であること 、エルミート共役で虚数単位の符号が反転すること から、 のエルミート共役が上記のように書けることが分かる。

これと (8.7) との積を作ってみると、

(8.9)

&math(&\left[U(t,t_0)\right]^\dagger U(t,t_0)\\ &=\overline Te^{\frac{i}{\hbar}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt'H(t')}\, Te^{\frac{-i}{\hbar}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt'H(t')}\\ &=\left(1+\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt_1H(t_1)+\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2\int_{\textcolor{red}{t_0}}^t dt_1\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{t_1}dt_2H(t_2)H(t_1)+\dots\right)\times\\ &\left(1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt_1H(t_1)+\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2\int_{\textcolor{red}{t_0}}^tdt_1\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{t_1}dt_2H(t_1)H(t_2)+\dots\right)\\ &=1);

実際に最後の等号を示そうとすると大変であるが、ちゃんと計算すれば示せないことはない。

しかしこの話は次のように考えればより直感的に理解できる。

(8.5) より

&math(U(t, t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} \cdots e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)} ); (8.7A)

一方で、

&math([U(t, t_0)]^\dagger = e^{\frac{i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)} e^{\frac{i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} \cdots e^{\frac{i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} e^{\frac{i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}); (8.8A)

(8.7) や (8.8) の意味をこのように理解していると物理的な理解が深まる。

これらを用いれば、

&math(&[U(t, t_0)]^\dagger U(t, t_0) =\\ & e^{\frac{i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)} e^{\frac{i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} \cdots e^{\frac{i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} e^{\frac{i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)}\\ &e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} \cdots e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}\\ &=1); (8.9A)

は一目瞭然である。

注）これらの表記では として、 個々の が無限小の時間間隔を表していると考えている。

(8.10)

上記より、 であり、 がユニタリ演算子であることが証明された。

(8.12)

&math(\overline O(t)&=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha e^{-\beta E_\alpha} \braket{\alpha(t)|O(t)|\alpha(t)}\\ &=\frac{1}{Z_0}\textcolor{red}{\sum_\alpha} \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}[U(t,t_0)]^\dagger O(t)U(t,t_0)|\alpha(t_0)} );

(8.13)

(8.14)

&math(\overline O(t)&=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha \braket{\alpha(t_0)|e^{-\beta H(t_0)}O_H(t)|\alpha(t_0)}\\ &=\frac{1}{Z_0}\sum_\alpha e^{-\beta E_\alpha} \braket{\alpha(t_0)|O_H(t)|\alpha(t_0)} );

(8.15) 以下の議論は分かりにくい上に間違っている？

(8.17) は (8.13) そのものであるが、これを微分することにより、

(8.18)

&math(&\dot O_H \\ &= \dot U^\dagger O U\textcolor{red}{ + U^\dagger \dot O U} + U^\dagger O \dot U\\ &= \left[\frac{i}{\hbar}U^\dagger H\right] O U \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H} + U^\dagger O \left[\frac{-i}{\hbar}HU\right]\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger(HO-OH)U \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\ &=\frac{i}{\hbar}(U^\dagger HU U^\dagger OU-U^\dagger OUU^\dagger HU) \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\ &=\frac{i}{\hbar}(H_HO_H-O_HH_H) \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H}\\ &=\frac{i}{\hbar}\left[H_H(t), O_H(t)\right] \textcolor{red}{+ \left(\frac{\PD O(t)}{\PD t}\right)_H});

ここで、(8.5) およびそのエルミート共役である、

さらに、(8.9) で得た を使った。そして、

(8.16)

は、Heisenberg 表示でのハミルトニアンである。

ということで、

(8.15)

が正しいような・・・

ただしこの場合の は演算子が陽に時刻に依存していない場合 にはゼロになるため、次章で扱うように であったり、 であったりする場合には で、結局 (8.15) と同じ形になります。

(8.16) の脚注：

のように時間に依存しない場合には、

&math(&Te^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\textcolor{red}{t}}dt'H(t')}\\ &=e^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}H\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\textcolor{red}{t}}dt'}\\ &=e^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}H(t-t_0)}); (8.7B)

となる。

これは、(8.7A) からも

&math(&U(t, t_0) = e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_n)(t-t_n)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})} \cdots e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_1)(t_2-t_1)} e^{\frac{-i}{\hbar}H(t_0)(t_1-t_0)}\\ &=e^{\frac{-i}{\hbar}H[(t-t_n)+(t_n-t_{n-1})+ \cdots

1. (t_2-t_1)+(t_1-t_0)]}\\ &=e^{\frac{-i}{\hbar}H(t-t_0)} ); (8.7C)

として確認できる。

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