スピントロニクス理論の基礎/8-3 のバックアップ差分(No.2)
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[[スピントロニクス理論の基礎]] * 8-3 数学的に便利な微分方程式を満たす関数 [#aeffaab6] ポテンシャル成分を含まない自由な電子のハミルトニアン(波数表示) (8.29) &math(H_0=\sum_{\bm k,\sigma}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\varepsilon_F \right)c^\dagger_{\bm k,\sigma}c_{\bm k,\sigma}); これは実空間で言えば、 &math(H_0=\sum_{\bm k,\sigma}\left(\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla c|^2-\varepsilon_F|c|^2 \right)); (8.29A) &math(H_0(t)=\int d^3r\left(\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla c(\bm r,t)|^2-\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2 \right)); ということ。実⇔波数 の変換は (8.74) あたりでちゃんと出てくる。 電子密度 &math(n(\bm r,t)=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0); の括弧の中の2つの &math(c_\mathrm H); の位置と時刻をずらしてみる。(&math(\llangle\ \ \ \rrangle_0); は &math(H_0); で記述される系における期待値を表す) (8.30) &math(\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 = i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\big[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)\big] \rrangle_0); ここで、 (8.30A) &math(&\left[-\int d^3r''\varepsilon_F c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\ &=-\varepsilon_F\int d^3r''\left[c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\ &=-\varepsilon_F\int d^3r''\left(c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t)\{ c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}-\{c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}c_\mathrm H(\bm r'',t)\right)\\ &=+\varepsilon_F\int d^3r''\delta^3(\bm r'-\bm r)c_\mathrm H(\bm r'',t)\\ &=+\varepsilon_Fc_\mathrm H(\bm r,t)); したがって、 &math(\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 = i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2\textcolor{red}{+\varepsilon_F}\right)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0); (8.31) &math(\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0\equiv); &math(\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(-\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0); ここで、 &math(\theta(t)\equiv\begin{cases} 0&(t<0)\\ 1&(0<t)\\ \end{cases}); すなわち、&math(c_\mathrm H(\bm r,t)); と &math(c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')); の時刻の早いほうを右側に来るように並べた形になっている。 (8.32) &math(\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle Tc_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 ); &math(=\hbar\frac{\PD\theta(t-t')}{\PD t} \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + \hbar\theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0); &math(-\hbar\frac{\PD\theta(t'-t)}{\PD t} \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 + \hbar\theta(t-t') \llangle \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + i \theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)] \rrangle_0); &math(-\textcolor{red}{\hbar}\delta(t'-t) \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 + i\theta(t-t') \llangle [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle [c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t'),c_\mathrm H(\bm r,t)] \rrangle_0 + i\llangle T[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle [c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t),c_\mathrm H(\bm r,t)] \rrangle_0 + i\llangle T[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); &math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r') + i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right) \llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0); 途中で &math(\delta(-t)=\delta(t)); を使った。 次元について: - &math(\delta(t-t')); は 1/(時間) の次元 - &math(\hbar\delta(t-t')); は (エネルギー) の次元 - &math(n); や &math(c_\mathrm Hc_\mathrm H^\dagger); は 1/(体積) の次元 - &math(\delta^3(\bm r-\bm r')); も 1/(体積) の次元 ということで、右辺のδ関数には &math(\hbar); が必須。 (8.34) &math(\left(\hbar\frac{\PD}{\PD t}-i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)\right)\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')); (8.35) &math(g_0^t(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-i\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0); &math(=-i\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 +i\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle_0); (8.36) &math(\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,t,\bm r',t')=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')); (8.37) &math(G^t(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-i\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle); &math(=-i\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle +i\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); (8.38A) &math(G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\equiv \textcolor{red}{+}i\llangle \overline Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle); &math(=\textcolor{red}{+}i\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle \textcolor{red}{-}i\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle); &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t') =\hbar\delta(t-t')\llangle\{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle -\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\bm r}^2+\varepsilon_F\right)G^{\overline t}); (8.38B) &math(G^r(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-i\theta(t-t')\llangle \textcolor{red}{\{}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle); (8.38C) &math(G^a(\bm r,t,\bm r',t')\equiv i\theta(t'-t)\llangle \textcolor{red}{\{}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle); すぐ分かるように、 (8.38D) &math(G^t-G^{\overline t}=G^a+G^r); の関係が成り立っていて、これは後に出てくる (8.69) に相当する。 - &math(G^t); : 時間順序(time order) - &math(G^{\overline t}); : 逆時間順序(anti time order) - &math(G^r); : 遅延(retarded) - &math(G^a); : 先進(advanced) (8.39) &math(n=-iG^t(\bm r,t,\bm r,t'=t+0)); &math(=-\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle +\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); &math(=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); &math(=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle); &math(t'>t); の条件により &math(\theta(t'-t)); の項のみを残しておいて、 最終的に &math(t'); を &math(t); に近づける。 * 質問・コメント [#k1f743cb] #article_kcaptcha
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