スピントロニクス理論の基礎/8-5 のバックアップ差分(No.6)

更新


  • 追加された行はこの色です。
  • 削除された行はこの色です。
目次はこちら >> [[スピントロニクス理論の基礎]]
[[[前の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/8-4]] <<<< 
[[スピントロニクス理論の基礎]](目次) >>>>
[[[次の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/8-6]]

* 8-5 経路順序 Green 関数 (G^^t^^ : time ordered) [#m0b26528]

(8.58), (8.61)

&math(&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&=-i\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}\hbar}\int_C d\textcolor{red}{\tau''}H(\textcolor{red}{\tau''})}c(\bm r,\tau)c^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\
&=-i\Big\langle T_CU_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\
);

これを経路順序(path ordered) Green 関数、あるいは非平衡 Green 関数、あるいは Keldysh Green 関数と呼ぶ。

以下に見るように、
- &math(G^t(\bm r,t,\bm r',t')); および &math(G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t'));
は &math(G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')); を用いて表せる
- &math(G^r(\bm r,t,\bm r',t')); および &math(G^a(\bm r,t,\bm r',t')); 
は直接 &math(G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')); を用いて表せない
-- 新たに導入される
&math(G^<(\bm r,t,\bm r',t')); および &math(G^>(\bm r,t,\bm r',t')); を経由して
間接的に &math(G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')); で表せる

(8.56)

&math(
&G^t(\bm r,t,\bm r',t')\\
&=-i\left[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle
-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle
\right]\\
&=-i\Big[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\
&\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle
\Big]\\
&=-i\Big[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t)c(\bm r,t)U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\
&\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle
\Big]\\
&= G(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\rightarrow)
);

ここで、&math(t_1<t_2<t_3); のとき、

&math(\overline U(t_1,t_2)=\overline U(t_1,t_3) U(t_3,t_2));

&math(U(t_3,t_1) \overline U(t_1,t_2) = U(t_3,t_2));

を用いた。これらは (8.7A), (8.8A), (8.42) により明らかに成り立つ。

(8.57)

&math(
&G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\\
&=i\left[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle
-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle
\right]\\
&=i\Big[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle\\
&\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle
\Big]\\
&=i\Big[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t)c(\bm r,t)\overline U(t,t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle\\
&\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)\overline U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle
\Big]\\
&= G(\bm r,\tau\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)
);

&math(G^a); や &math(G^r); についてはこのように一筋縄では表せず、
後に出てくる &math(G^<); および &math(G^>); 経由で表すことになる。

(8.62) は、(8.7A) や (8.8A) のような表式を用いれば、
以下のように非常に直感的に理解することが可能である。

&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau, \tau')\\
=&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)\dots}\Big]\\
=&i\hbar\Big(-\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)\dots}\Big]\\
=&H(\tau)U_C(\tau,\tau'));

&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau', \tau)\\
=&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[\dots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_n)(\tau_{n-1}-\tau_n)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau)(\tau_n-\tau)}\Big]\\
=&i\hbar\Big[\dots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_n)(\tau_{n-1}-\tau_n)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau)(\tau_n-\tau)}\Big]\Big(\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\\
=&-U_C(\tau',\tau)H(\tau));

(8.63)

&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,t,\bm r',t')\\
&=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau')\big\langle
U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)\{c(\bm r,\tau),c^\dagger(\bm r',\textcolor{red}{\tau})\}U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\
&\ \ \ +i[\theta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau_0)\big\rangle\\
&\ \ \ \phantom{i[}-\theta(\tau'-\tau)\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\
&=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')\\
&\ \ \ +i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_C d\tau'H(\tau')}[H(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau') \big\rangle);

この式は (8.33) に合わせて交換関係の中のハミルトニアンを先に出して、符号を反転してある。

(8.64)

(8.30) と同様の手順で

&math(\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r'));

* 質問・コメント [#ub9d8b63]

#article_kcaptcha


Counter: 5443 (from 2010/06/03), today: 1, yesterday: 0