スピントロニクス理論の基礎/8-7 のバックアップ差分(No.2)
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[[スピントロニクス理論の基礎]] * 8-7 自由電子の場合の具体例 [#a1428664] (8.80) (8.29) の &math(H_0); を代入し (8.23) と同様の変形をする。 &math( &\dot c_\mathrm H(\bm k)=\frac{i}{\hbar}[H_{0\mathrm H},c_\mathrm H(\bm k)]\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger[H_0,c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)[c^\dagger(\bm k') c(\bm k'),c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\Big(c^\dagger(\bm k')\{ c(\bm k'),c(\bm k)\}-\{c^\dagger(\bm k'),c(\bm k)\}c(\bm k')\Big)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\delta^3(\bm k-\bm k')c(\bm k')U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}U^\dagger c(\bm k)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}c_\mathrm H(\bm k)\\ ); (8.81),(8.82) &math( c_\mathrm H(\bm k,t)&=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c_\mathrm H(\bm k,t_0)\\ &=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k,t_0)\\ &=U^\dagger(t-t_0)c(\bm k,t_0)U(t-t_0)\\ &=e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k,t_0)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)} ); &math(c_\mathrm H(\bm k,t_0)=c(\bm k,t_0)); に注意。 「等価である」について検証: &math(c_\mathrm H(\bm k)); は消滅演算子なので、波数 &math(\bm k); を持つ粒子が1ついる状態 &math(\ket{1}_{\bm k}); に作用させるとその粒子が消滅する。その際の係数は 1 である。~ → [[フェルミオンの交換関係>スピントロニクス理論の基礎/X-1]] つまり、 &math(c(\bm k)\ket{1}_{\bm k} = \ket{0}_{\bm k}); そして、この状態は &math(H_0); の固有状態であるから、 &math( &c_\mathrm H(\bm k)\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k)\ket{1}_{\bm k}\\ ); 確かに矛盾していない。 (8.83) &math(g_{0\bm k,\bm k'}^<(t,t')=i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') c_\mathrm H(\bm k,t) \rrangle); &math(=ie^{\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k'}(t'-t_0)}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=ie^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\varepsilon_{\bm k'})t_0}e^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k'}t'-\varepsilon_{\bm k}t)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=i\delta_{\bm k,\bm k'}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})); &math(\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^<(t-t')); ただし、 &math(\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle); &math(&=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0)\cdot 0|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c^\dagger(\bm k,t_0)|0}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1}); 同様に、 &math(g_{0\bm k,\bm k'}^>(t,t')=-i\llangle c_\mathrm H(\bm k,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') \rrangle); &math(=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]); &math(\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^>(t-t')); ただし、 &math(\llangle c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0) \rrangle); &math( &=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0)|1} + e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c(\bm k,t_0)\cdot 0|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|0}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{1}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} =1-\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1}); このように詳細に計算しても求まるが、もともとの反交換関係が &math(c^\dagger c+cc^\dagger=1); なので、 &math(cc^\dagger=1-c^\dagger c); としてしまえば計算の必要は無い。~ → [[フェルミオンの交換関係>スピントロニクス理論の基礎/X-1]] (8.84) &math(f(\vaepsilon_{\bm k})=\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1}); (8.83) で &math(\delta_{\bm k,\bm k'}); が出るのは、 &math(\braket{\alpha|c^\dagger_\mathrm H(\bm k') c_\mathrm H(\bm k)|\alpha} =\braket{c_\mathrm H(\bm k')\alpha|c_\mathrm H(\bm k)\alpha}=\delta_{\bm k,\bm k'}); すなわち &math(\bm k\ne\bm k'); の時、 &math(c_\mathrm H(\bm k')\ket{\alpha} \perp c_\mathrm H(\bm k)\ket{\alpha}); となるためである。 (8.85) &math(g_{0\bm k\omega\omega'}^< &=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' e^{\frac{i}{\hbar}[(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) t-(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k}) t']} f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=i\hbar 2\pi\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})2\pi\delta(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot 2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^<); &math(\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}=2\pi\delta(\omega)); および &math(\delta(ax)=\delta(x)/a); を使った。 同様にして、 &math(g_{0\bm k\omega\omega'}^> &=-i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1- f(\varepsilon_{\bm k})]\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot -2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})[1-f(\varepsilon_{\bm k})]\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^>); (8.88) &math( g_{0\bm k\omega}^r &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' e^{i\omega t-i\omega' t'} \theta(t-t')\Big(g_{0\bm k}^>(t,t')-g_{0\bm k}^<(t,t')\Big)\\ &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_{-\infty}^\infty dt e^{i\omega (t-t')}\theta(t-t') \Big(g_{0\bm k}^>(t-t')-g_{0\bm k}^<(t-t')\Big)\\ &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_0^\infty dt'' e^{i\omega t''} \Big(g_{0\bm k}^>(t'')-g_{0\bm k}^<(t'')\Big)\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\frac{1}{\hbar}\int_0^\infty dt'' e^{i\omega ''} \Big(-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}(1-f_{\bm k}) -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}f_{\bm k}\Big)\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt'' e^{i\omega t''} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt'' e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}\\ ); * 質問・コメント [#h0f6e402] #article_kcaptcha
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