スピントロニクス理論の基礎/8-7 のバックアップ差分(No.3)

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[[スピントロニクス理論の基礎]]

* 8-7 自由電子の場合の具体例 [#a1428664]

この章では、&math(\left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)=\varepsilon_{\bm k'}); 
という表示が用いられている。

(8.80)

(8.29) の &math(H_0); を代入し (8.23) と同様の変形をする。

&math(
&\dot c_\mathrm H(\bm k)=\frac{i}{\hbar}[H_{0\mathrm H},c_\mathrm H(\bm k)]\\
&=\frac{i}{\hbar}U^\dagger[H_0,c(\bm k)]U\\
&=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)[c^\dagger(\bm k') c(\bm k'),c(\bm k)]U\\
&=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\Big(c^\dagger(\bm k')\{ c(\bm k'),c(\bm k)\}-\{c^\dagger(\bm k'),c(\bm k)\}c(\bm k')\Big)U\\
&=-\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\delta^3(\bm k-\bm k')c(\bm k')U\\
&=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}U^\dagger c(\bm k)U\\
&=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}c_\mathrm H(\bm k)\\
);

(8.81),(8.82)
(8.81)

これを積分すると、

&math(
c_\mathrm H(\bm k,t)&=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c_\mathrm H(\bm k,t_0)\\
&=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k,t_0)\\
&=U^\dagger(t-t_0)c(\bm k,t_0)U(t-t_0)\\
&=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k,t_0));

&math(c_\mathrm H(\bm k,t_0)=c(\bm k,t_0)); に注意。

(8.82)

一方で、

&math(
c_\mathrm H(\bm k,t)&=U^\dagger(t-t_0)c(\bm k,t_0)U(t-t_0)\\
&=e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k,t_0)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}
);

&math(c_\mathrm H(\bm k,t_0)=c(\bm k,t_0)); に注意。
(8.81) と (8.82) が「等価である」という点についてちょっと厳密性を欠いた検証：

「等価である」について検証：

&math(c_\mathrm H(\bm k)); は消滅演算子なので、波数 &math(\bm k); を持つ粒子が１ついる状態 &math(\ket{1}_{\bm k}); に作用させるとその粒子が消滅する。その際の係数は 1 である。~
&math(c_\mathrm H(\bm k)); は消滅演算子なので、波数 &math(\bm k); を持つ粒子が１ついる状態 &math(\ket{1}_{\bm k}); に作用させるとその粒子が消滅して波数 &math(\bm k); を持つ粒子が１つもいない状態 &math(\ket{0}_{\bm k}); を生じる。その際の係数は 1 である。~
→ [[フェルミオンの交換関係>スピントロニクス理論の基礎/X-1]]

つまり、
元がゼロの時も考えると、

&math(c(\bm k)\ket{1}_{\bm k} = \ket{0}_{\bm k});
&math(c(\bm k)\ket{1}_{\bm k} = \ket{0}_{\bm k});~
&math(c(\bm k)\ket{0}_{\bm k} = 0);

そして、この状態は &math(H_0); の固有状態であるから、
この &math(\ket{1}_{\bm k}); に &math(&c_\mathrm H(\bm k)); を作用させてみると、
&math(H_0\ket{1}_{\bm k}=\varepsilon_{\bm k}\ket{1}_{\bm k});、
&math(H_0\ket{0}_{\bm k}=0 \ket{0}_{\bm k});
より、

&math(
&c_\mathrm H(\bm k)\ket{1}_{\bm k} \\
c_\mathrm H(\bm k)\ket{1}_{\bm k} \\
&= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\
&= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\
&= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\
&= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\
&= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\
&= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k)\ket{1}_{\bm k}\\
);

確かに矛盾していない。
矛盾しない。

任意の波動関数を考えると話はここまで簡単ではないけれど、
右側の &math(H_0); が掛かる時点に比べて左側の &math(H_0); 
が掛かる時点では粒子が１つ減っていて、
その分のエネルギー差が現われるという点では同じなのだと思う。
（元々粒子がいない時には両辺がゼロになるので、式としては成立する）

(8.83)

&math(g_{0\bm k,\bm k'}^<(t,t')=i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') c_\mathrm H(\bm k,t) \rrangle);

&math(=ie^{\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k'}(t'-t_0)}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle);

&math(=ie^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\varepsilon_{\bm k'})t_0}e^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k'}t'-\varepsilon_{\bm k}t)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle);

&math(=i\delta_{\bm k,\bm k'}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle);

&math(=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k}));

&math(\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^<(t-t'));

ただし、

&math(\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle);

&math(&=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\
&math(
&=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|\hat n(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\
&=\frac{
e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|1}}
e^{-\beta 0} \braket{0|\hat n|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|\hat n|1}}
{e^{-\beta 0} \braket{0|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1}
}\\
&=\frac{
e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0)\cdot 0|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c^\dagger(\bm k,t_0)|0}}
1 \braket{0|0|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1|1}}
{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\
&=\frac{
e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1}}
e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}
{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}
=\frac{e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}
=\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1});
=\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1}
);

本当は分母・分子ともに &math(\bm k); の粒子の状態以外の状態数がかけ算されたり、
&math(\bm k); の粒子以外のエネルギーに対応する重みが掛かったりするはずだけれど、
それらは分母・分子で括りだした上で通分できて、必要な因子は上記の通りとなる。

同様に、

&math(g_{0\bm k,\bm k'}^>(t,t')=-i\llangle c_\mathrm H(\bm k,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') \rrangle);

&math(=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]);

&math(\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^>(t-t'));

ただし、

&math(\llangle c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0) \rrangle);

&math(
&=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\
&=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|(1-\hat n)|\alpha}}{Z_0}\\
&=\frac{
e^{-\beta 0} \braket{0|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|1}}
e^{-\beta 0} \braket{0|(1-\hat n)|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|(1-\hat n)|1}}
{e^{-\beta 0} \braket{0|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1}
}\\
&=\frac{
e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0)|1}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c(\bm k,t_0)\cdot 0|1}}
1 \braket{0|1|0}
+ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|0|1}}
{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\
&=\frac{
e^{-\beta 0} \braket{0|0}}
{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}
=\frac{1}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}
&=\frac{1}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}
=\frac{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1}
=1-\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1});
=1-\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1}
);

このように詳細に計算しても求まるが、もともとの反交換関係が
&math(c^\dagger c+cc^\dagger=1); なので、
&math(cc^\dagger=1-c^\dagger c); としてしまえば計算の必要は無い。~
&math(\llangle cc^\dagger\rrangle =1-\llangle c^\dagger c \rrangle); 
としてしまえば計算の必要は無い。~
→ [[フェルミオンの交換関係>スピントロニクス理論の基礎/X-1]]

(8.84)

&math(f(\vaepsilon_{\bm k})=\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1});

(8.83) で &math(\delta_{\bm k,\bm k'}); が出るのは、

&math(\braket{\alpha|c^\dagger_\mathrm H(\bm k') c_\mathrm H(\bm k)|\alpha}
=\braket{c_\mathrm H(\bm k')\alpha|c_\mathrm H(\bm k)\alpha}=\delta_{\bm k,\bm k'});

すなわち &math(\bm k\ne\bm k'); の時、

&math(c_\mathrm H(\bm k')\ket{\alpha} \perp c_\mathrm H(\bm k)\ket{\alpha});

となるためである。

(8.85)

&math(g_{0\bm k\omega\omega'}^<
&=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' 
  e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})\\
&=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' 
  e^{\frac{i}{\hbar}[(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) t-(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k}) t']} f(\varepsilon_{\bm k})\\
&=i\hbar 2\pi\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})2\pi\delta(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot 2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^<);

&math(\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}=2\pi\delta(\omega)); および
&math(\delta(ax)=\delta(x)/a); を使った。

同様にして、

&math(g_{0\bm k\omega\omega'}^>
&=-i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt' 
  e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1- f(\varepsilon_{\bm k})]\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot -2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})[1-f(\varepsilon_{\bm k})]\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^>);

(8.88)

&math(
g_{0\bm k\omega}^r 
g_{0\bm k\omega\omega'}^r 
&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'
  e^{i\omega t-i\omega' t'} \theta(t-t')\Big(g_{0\bm k}^>(t,t')-g_{0\bm k}^<(t,t')\Big)\\
&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_{-\infty}^\infty dt
  e^{i\omega (t-t')}\theta(t-t') \Big(g_{0\bm k}^>(t-t')-g_{0\bm k}^<(t-t')\Big)\\
&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_0^\infty dt''
  e^{i\omega t''} \Big(g_{0\bm k}^>(t'')-g_{0\bm k}^<(t'')\Big)\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\frac{1}{\hbar}\int_0^\infty dt''
  e^{i\omega ''} \Big(-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}(1-f_{\bm k})
  -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}f_{\bm k}\Big)\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''
  e^{i\omega t''} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''
  e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^r
);

&math(
g_{0\bm k\omega}^r=\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''
  e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}
);

を評価するには・・・~
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

&math(
\delta(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t}\\
&=\frac{i}{2\pi}\left(\frac{1}{w+i0}-\frac{1}{w-i0}\right)\\
&=\lim_{\Delta_\omega\rightarrow+0}\frac{i}{2\pi}\left(\frac{1}{w+i\Delta_\omega}-\frac{1}{w-i\Delta_\omega}\right)\\
&=\lim_{\Delta_\omega\rightarrow+0}\frac{1}{\pi}\frac{\Delta_\omega}{w^2+\Delta_\omega^2}
);

だそうで、

&math(
-i\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t}
&=-i\int_0^\infty dt e^{-i\omega t}-i\int_{-\infty}^0 dt e^{-i\omega t}\\
&=\hspace{6.6mm}\frac{1}{w+i0}\hspace{6.6mm}-\hspace{6.6mm}\frac{1}{w-i0}
);

ということみたい。

これを &math(\omega\rightarrow \frac{1}{\hbar}(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})); 
とすると (8.88) が出てくる。

もう一方は、

&math(g_{0\bm k\omega}^a
=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^0dt e^{i\frac{1}{\hbar}(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})t}
=\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0});

なので、

(8.89)

&math(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r=2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}));

(8.87) の &math(2\pi i\delta(\hbar \omega-\varepsilon_{\bm k}); をこれで置き換えると

(8.90)

&math(g_{0\bm k\omega}^<=f(\varepsilon_{\bm k})(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r));

&math(g_{0\bm k\omega}^>=-\Big(1-f(\varepsilon_{\bm k})\Big)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r));

さらに、&math(\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})); があるため &math(\hbar\omega=\varepsilon_{\bm k}); を仮定できて、

(8.91)

&math(g_{0\bm k\omega}^<=f(\omega t)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r));

&math(g_{0\bm k\omega}^>=-\Big(1-f(\omega t)\Big)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r));

とも書ける。

(8.70) に (8.83) を代入すると、

(8.92)

&math(
g_{0\bm k}^t(t,t')&=\theta(t-t')g_{0\bm k}^>(t,t')+\theta(t'-t)g_{0\bm k}^<(t,t')\\
&=-\theta(t-t')ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]
  +\theta(t-t')ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t'-t)} f(\varepsilon_{\bm k})\\
&=-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t'-t)}[\theta(t-t')(1-f(\varepsilon_{\bm k}))-\theta(t'-t)f(\varepsilon_{\bm k})]
);

(8.93)

&math(g_{0\bm k\omega}^t
=\frac{f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}
+\frac{1-f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0});

(8.94), (8.95)

&math(T=0); では &math(f_{\bm k}=\theta(-\varepsilon_{\bm k})); となるため、

&math(g_{0\bm k\omega}^t\big|_{T=0}
=\frac{\theta(-\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}
+\frac{\theta(\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0}
= \frac{\theta(\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\mathrm{sgn}(\varepsilon_{\bm k})\times i0});

* 質問・コメント [#h0f6e402]

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