スピントロニクス理論の基礎/9-1A のバックアップ(No.10)

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9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (1)

不純物散乱にスカラー場のポテンシャルを加え電荷密度を求める

不純物散乱に加えてスカラー場 \phi によるポテンシャルを考える。

H=H_i+H_\phi\equiv H_0+V_i+V_\phi

H_i は自由電子が不純物散乱だけを受ける場合のハミルトニアン。

スカラー場によるポテンシャル項は次のように表される。

(9.1)

&math( V_\phi&=e\int d^3r\phi(\bm r,t)c^\dagger(\bm r,t)c(\bm r,t)\\ &= e\int d^3r \Big[\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k}\int\frac{d\omega}{2\pi}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\omega t}c^\dagger_{\bm k,\omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k'}\int\frac{d\omega'}{2\pi}e^{i\bm k'\cdot\bm r}e^{-i\omega' t}c_{\bm k',\omega'}\Big]\\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} e^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}e^{i(\Omega+\omega-\omega') t} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \delta_{-\bm q-\bm k+\bm k',\bm0}\delta(\Omega+\omega-\omega') \\ &=e\sum_{\bm k,\bm q}\int\frac{d\omega}{2\phi}\int\frac{d\Omega}{2\phi}\phi(\bm q,\Omega)c_{\bm k,\omega}^\dagger c_{\bm k+\bm q,\omega+\Omega} );

ただし、

(9.2)

&math( \phi_{\bm q,\Omega}=\frac{\hbar}{V}\int d^3r \int dt e^{i\bm q\cdot\bm r}e^{-i\Omega t}\phi(\bm r,t) );

&math( \phi(\bm r,t)=\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega} );

これを元に、電荷密度を求めたいのだが、電荷密度は lesser Green 関数で表される。

(9.3)

&math( \rho(\bm r,t)=\,\stackrel{\textcolor{red}{?}}{+}e\llangle \hat n_H\rrangle = e\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle = -ie\Bigg[\ i\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle\Bigg] = - ieG^<(\bm r,t,\bm r,t) );

電子は負の電荷を持つので、符号は逆なのではないかと思ったのだけれど、 (9.69) でようやく説明があって、ここでは e<0 なのだそうだ。

\bm r=\bm r', t=t' と置いて、フーリエ係数の関係を導くと、

(9.3A)

&math( &G^<(\bm r,t,\bm r,t)=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \int \frac{d\omega_2}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2} e^{i(\bm k_1-\bm k_2)\cdot \bm r} e^{i(-\omega_1+\omega_2)t} G_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}^< );

\bm k_1=\bm k-\frac{\bm q}{2} \bm k_2=\bm k+\frac{\bm q}{2}

\omega_1=\omega-\frac{\Omega}{2} \omega_2=\omega+\frac{\Omega}{2}

と置けば、

(9.3B)

&math( &\rho(\bm r,t)=-ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} \textcolor{red}{e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< );

電場のあるときの lesser Green 関数 G< を不純物散乱の Green 関数 g で表す

G^< の Fourier 係数を求めるために (8.96) と同様に時間発展を自由+不純物散乱の部分と、 スカラー場による部分とに分けて書き、 深く考えずに同様の変形をしていく。

H=H_0+V_i+V_\phi

(8.96')

U=U_\phi U_i

ここで、 U_i H_i のみの時の解。

U=U_i U_{V_\phi} U_{V_\phi}=U_i^\dagger U

U_i=U_0 U_{V_i} U_{V_i}=U_0^\dagger U_i

U_{V_\phi}=U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger U

(8.99')

&math( & i\hbar \frac{\PD U_{V_\phi}}{\PD t} \\&= i\hbar \frac{\PD U_{V_i}^\dagger}{\PD t} U_0^\dagger U + i\hbar U_{V_i}^\dagger \frac{\PD U_0^\dagger}{\PD t} U + i\hbar U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger \frac{\PD U}{\PD t} \\&= i\hbar \left( \frac{V_{iH_0} U_{V_i}}{i\hbar} \right)^\dagger U_0^\dagger U + i\hbar U_{V_i}^\dagger \left( \frac{H_0U_0}{i\hbar} \right)^\dagger U + i\hbar U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger \left( \frac{HU}{i\hbar} \right) \\&=

  • U_{V_i}^\dagger V_{iH_0}^\dagger U_0^\dagger U
  • U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger H_0^\dagger U
  1. U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger H U \\&=
  • U_{V_i}^\dagger (U_0^\dagger V_i U_0) U_0^\dagger U
  1. U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger (H-H_0) U \\&=
  • U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger V_i U
  1. U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger (V_i+V_\phi) U \\&= U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger V_\phi U \\&= (U_0 U_{V_i})^\dagger V_\phi (U_i U_i^\dagger) U \\&= U_i^\dagger V_\phi U_i (U_i^\dagger U) \\&= V_{\phi H_i} U_{V_\phi} );

これを用いれば (8.101) と同様に、

(8.101')

&math( G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') \, \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}} \, \Big\langle

 T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')}
 c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau')
 c_{H_i}(\bm r,\tau)

\Big\rangle );

ただし (8.101) で指摘されたとおり、この書き換えにより

(9.4C)

U_{C_\beta}=e^{-\beta H(t_0)}

ではなく

(9.4D)

U_{C_\beta}=e^{-\beta V_\phi(t_0)}

になってしまっていることに注意が必要。

繰り返しになるが、これは運動エネルギーの項が無視されていることになり、 簡単には見過ごせない差になることが心配される。

(8.105) と同様に、

(9.4E)

&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ );

(8.108) と同様に、

(9.4F)

&math( [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]=-e\phi(\bm r_1,\tau_1) c(\bm r_1,\tau_1) );

となるから、

(8.109) と同様に、

(9.4G)

&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{1}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} e\phi(\bm r_1,\tau_1)c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ &=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')

  1. i\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') );

(8.111) と同様に、

(9.4H)

&math( &G^<(\bm r,t,\bm r',t')= g^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &+\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\left[ g^r(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^<(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')

  1. g^<(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^a(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') \right] );

(8.117) と同様に( \alpha=a,r )、

(9.4I)

&math( &G^\alpha_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\ g^\alpha_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^\alpha_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} );

(8.145) と同様に、

(9.4J)

&math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\left[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^<_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}

  1. g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^a_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} \right] );

電場ポテンシャルの取り込み次数で展開する

(9.4J) の右辺に (9.4I) と (9.4J) を代入すると、

(9.4K)

&math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\Bigg[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^<_{\bm k_2,\omega_2}\Big]

  1. g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^a_{\bm k_2,\omega_2}\Big] \Bigg] \\&= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
  2. e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} g^<_{\bm k_2,\omega_2}
  3. g^<_{\bm k_1,\omega_1} g^a_{\bm k_2,\omega_2} \Big]+\cdots \\&\equiv 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
  4. e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g_{\bm k_1,\omega_1} g_{\bm k_2,\omega_2} \Big]^<+\cdots );

したがって、

(9.4)

&math( &G^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}= 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}

  1. e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^<+\cdots );

電荷密度を \phi の効果の取り込み次数に分割する。

(9.5A)

\rho=\rho_i+\rho_\phi^{(0)}+\cdots

\rho_i は不純物散乱のみを考えた電荷密度で、 (9.4) の第一項 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} の項に相当する部分である。

\phi の効果の最低次は、 (これって1次じゃなくてゼロ次なのか・・・)

→ このゼロは \phi に関するゼロ次ではなく、 後に見る v_\phi をまたぐような不純物散乱の効果に対する取り込み次数らしい

\phi の高次の効果は始めから考えていない(線形応答の範囲で考える)

(9.5)

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< \\&=

  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< \\&=
  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \frac{1}{N} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< );

図 9.1 の見方は徐々に分かってきたけれど、
上と下のどちらが \textstyle \omega-\frac{\Omega}{2} なのか、
左と右のどちらが v_\phi なのかが分からないので、
セミナーの時に教えてもらう予定。

電場展開の最低次項を評価する

(9.5) の括弧の中身を (9.4K) の括弧の中身と (8.153) を使って展開してみる。

(9.6)

&math( &\Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< = \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^<_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}

  1. g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}})
      \Big( g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} 
          - g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big)
    f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}})
      \Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
          - g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \Big)
    g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ \Big( f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) - f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) \Big) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
  • f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
  1. f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] );

簡略化して表示すると、

(9.6A)

&math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f(+) - f(-) \Big)g^r_-g^a_+

  • f(+) g^r_-g^r_+
  1. f(-) g^a_-g^a_+ \Big] );

f(ω) に含まれる Ω を展開する

\Omega \omega よりも十分小さいとして展開する。

f(\omega\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}})=f(\omega)\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}}f'(\omega)

(9.6B), (9.7)

&math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' - f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' \Big)g^r_-g^a_+

  • (f+\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^r_-g^r_+
  1. (f-\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^a_-g^a_+ \Big] \\&= \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
  2. f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );

したがって、

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=

  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
  1. f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );

g の添え字の q, Ω を展開する(最後には無視する)

これを具体的に評価するために、Green 関数を \bm q,\Omega の1次までで展開する。

この部分、教科書ではまるっきり飛ばされているのかと思いきや、 (9.33)〜(9.36) あたりで一応解説されていた。

&math( g^r_\pm=\frac{1}{\hbar(\omega\pm\textstyle\frac{\Omega}{2})-\varepsilon_{\bm k\pm\textstyle\frac{\bm q}{2}}+\textstyle\frac{i\hbar}{2\tau}} );

&math( g^a_\pm=\frac{1}{\hbar(\omega\pm\textstyle\frac{\Omega}{2})-\varepsilon_{\bm k\pm\textstyle\frac{\bm q}{2}}-\textstyle\frac{i\hbar}{2\tau}} );

&math( g^\alpha_{\bm k\pm\frac{\bm q}{2},\omega\pm\frac{\Omega}{2}} \sim g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\bm q}{2}\cdot\nabla_{\bm k}g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\Omega}{2}\cdot\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} );

&math( \nabla_{\bm k}g^\alpha_{\bm k,\omega} = \nabla_{\bm k}\left(\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau}}\right) = \frac{\nabla_{\bm k}\varepsilon_{\bm k}}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\nabla_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{2m}k^2-\varepsilon_F\right)}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\frac{\hbar^2}{m}\bm k}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\hbar^2\bm k}{m} g^\alpha{}_{\bm k,\omega}^2 );

&math( \frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} = \frac{\PD}{\PD \omega}\left(\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau}}\right) = \frac{-\hbar}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} =

  • \hbar g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 );

したがって、

&math( g^\alpha_{\bm k\pm\frac{\bm q}{2},\omega\pm\frac{\Omega}{2}} \sim g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\bm q}{2}\cdot\frac{\hbar^2\bm k}{m} g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 \mp \frac{\Omega}{2}\cdot\hbar g^\alpha_{\bm k,\omega} {}^2 = g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \left[ \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m}

  • \frac{\hbar\Omega}{2} \right] g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 \equiv g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 );

すなわち、

&math( \Delta_{\bm q,\Omega} = \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} - \frac{\hbar\Omega}{2} );

これを用いれば、

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \Omega f'(\omega) g^r_-g^a_+ = \frac{1}{N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \Omega f'(\omega) \Big(g^r_{\bm k,\omega}-\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^r_{\bm k,\omega}{}^2+\dots\Big) \Big(g^a_{\bm k,\omega}+\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^a_{\bm k,\omega}{}^2+\dots\Big) \\&= \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N} \sum_{\bm k} \Big[ g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}

  1. \Delta_{\bm q,\Omega}\,g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}{}^2
  • \Delta_{\bm q,\Omega}\,g^a_{\bm k,\omega}g^r_{\bm k,\omega}{}^2
  • \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2\,g^r_{\bm k,\omega}{}^2g^a_{\bm k,\omega}{}^2+\dots \Big] );

Σg を評価する

そこで 1\le n,1\le m として、

&math( \frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}{}^m g^a_{\bm k,\omega}{}^n = \frac{1}{N}\int_{\varepsilon_F}^\infty d\varepsilon \, \nu(\varepsilon) \frac{1}{(\hbar\omega-\varepsilon+i\delta_\varepsilon)^m} \frac{1}{(\hbar\omega-\varepsilon-i\delta_\varepsilon)^n} );

を評価したい。( \delta_\varepsilon=\frac{\hbar}{2\tau} )

(9.18) と同様の手順を考えると、被積分関数は \hbar\omega+i\delta_\varepsilon m 次の \hbar\omega-i\delta_\varepsilon n 次の極を持つから、 被積分関数を h(z) とすれば、

&math( \frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}{}^m g^a_{\bm k,\omega}{}^n = \pi i\Big(\Res_{z=\hbar\omega+i\delta_\varepsilon}h(z)+\Res_{z=\hbar\omega-i\delta_\varepsilon}h(z)\Big) );

ただし、

&math( &\Res_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}h(z) =\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\Big((z-\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)^nh(z)\Big) \\&= \frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\frac{(-1)^n\nu(z)}{(\hbar\omega-z\mp i\delta_\varepsilon)^m} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} \\&= \frac{(-1)^n}{(n-1)!} \sum_{i=0}^{n-1} {}_{n-1}C_i \frac{d^{i}}{dz^{i}}\Bigg(\frac{1}{(\hbar\omega-z\mp i\delta_\varepsilon)^m}\Bigg) \frac{d^{n-1-i}\nu(z)}{dz^{n-1-i}} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} \\&= \frac{(-1)^n}{(n-1)!} \sum_{i=0}^{n-1}{}_{n-1}C_i {\ }_{m+i}C_{i}\frac{1}{(\pm 2i\delta_\varepsilon)^{m+i}} \frac{d^{n-1-i}\nu(z)}{dz^{n-1-i}} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} );

である。 \nu の微分は、

&math( \nu'(z)=\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big([z+\varepsilon_F]^{1/2}\Big)' =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}[z+\varepsilon_F]^{-1/2}\Big) = \frac{1}{2}\frac{1}{z+\varepsilon_F}\nu(z) );

&math( \nu''(z) =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)[z+\varepsilon_F]^{-3/2}\Big) = \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\frac{1}{(z+\varepsilon_F)^2}\nu(z) );

&math( \nu'''(z) =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big(-\frac{3}{2}\Big)[z+\varepsilon_F]^{-5/2}\Big) = \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big(-\frac{3}{2}\Big)\frac{1}{(z+\varepsilon_F)^3}\nu(z) );

&math( \frac{d^n\nu(z)}{dz^n} = (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n}\frac{\nu(z)}{(z+\varepsilon_F)^n} );

すなわち、

&math( &\nu'(z)|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}=\frac{1}{2}\frac{\nu(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon} \sim \pm\frac{\nu(0)}{2\varepsilon_F} );

&math( \frac{d^n\nu(z)}{dz^n}\Big|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} = (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n}\frac{\nu(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)}{(\hbar\omega+\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon)^n} \sim \pm(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2\varepsilon_F)^n}\nu(0) );

である。先頭に出てくる複号は、 \nu(z) のカットが実数軸に沿って走るため、 \hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon が上半面にあるか下半面にあるかで符号が異なるためである。

f'(ω) に掛かる第1項の主項 : (grga)

これを用いると(後で出てくる \hbar\omega=0 を先取りして使う)、

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r g^a = \pi i \left[

 - \frac{\nu(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon)}{-2i\delta_\varepsilon}
 - \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{ 2i\delta_\varepsilon}

\right] = \frac{\pi}{2\delta_\varepsilon}\Big[

   \nu(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon)
 - \nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)

\Big] \\ &= \frac{\pi}{2\delta_\varepsilon}\Big[

   \nu(0)
 + \nu(0)

\Big] = \frac{\pi}{\delta_\varepsilon} \nu(0) = \frac{2\pi\tau}{\hbar} \nu(0) );

低温では (9.12) に示されるように f'(\omega)=-\delta(\omega) と見なせるため、

(9.8-1)

&math( \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega} = \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{2\pi\tau}{\hbar} \nu(0) =

  • \Omega \int d\omega \delta(\omega) \frac{\tau}{\hbar} \nu(0) =
  • \Omega\tau \frac{\nu(0)}{\hbar} );

f'(ω) に掛かる第2項の主項 : (gaga+grgr)

また、こちらは (8.137) でも評価済みであるが、

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^a_{\bm k,\omega} g^a_{\bm k,\omega} = \pi i \nu'(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon) = i\frac{\pi}{2} \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon} );

より、

(9.8-2)

&math( &\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^a_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega} = i\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{\pi}{2} \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon} =

  • i\Omega\frac{\pi}{2} \frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon}\\ &\sim i\Omega\frac{\pi}{2} \frac{\nu(0)}{\varepsilon_F} = \textcolor{red}{+}\frac{\pi i}{2}\Omega \frac{2\tau}{\hbar} \nu(0)\left(\frac{\hbar}{2\tau\varepsilon_F}\right) );

ただしこれらは \Delta_{\bm q,\Omega} の影響を除いた評価になっている。

f'(ω) に掛かる項の q, Ω 成分

&math( \Delta_{\bm q,\Omega} = \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} - \frac{\hbar\Omega}{2} );

の掛かっている部分の和を取ろうとすると、 \Delta_{\bm q,\Omega} \bm k を含むために計算がしづらい。

以下で見る f(\omega) の項については g^r g^a だけしか掛かっていなかったのでうまく k に関する部分積分が使えるけれど、 g^r と  g^a がまぜこぜに掛かっていると、同じ方法では評価できないから。

とはいえ、考え方としては f'(\omega) の項はそもそも \textstyle f(\omega\pm\frac{\Omega}{2}) \Omega で展開した福次項であり、そのさらに福次項である \Delta_{\bm q,\Omega} の項をそこまで厳密に評価しなくても無視して良いのかもしれない。

→ この点について、なぜかずいぶん後の (9.33)〜(9.37) で詳しく見ることになる

そう言う意味で、 \textstyle f(\omega\pm\frac{\Omega}{2}) の主項 f(\omega) に掛かる福次項は以下でしっかり評価することになる。

f(ω) に掛かる項

(9.7) の f(\omega) の項について見てみる。

&math( &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) );

の第1項は、

(9.10)

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_-g^a_+ \\&\sim \frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}

  1. \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\big) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
  • \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\big) \\&= \frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega) \big(\textcolor{red}{g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2
  • \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^4}\big) );

じゃないのだろうか? g^3 の項が出る理由が分からない???

&math( &\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} = \frac{\PD}{\PD \omega}\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon} \\&= \frac{-\hbar}{(\hbar\omega-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon)^2} = -\hbar g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 );

g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2=-\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega}

を使って書き換えると、

(9.11)

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_-g^a_+ \\&= \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega) \big(-\frac{\PD g^\alpha_{\bm k,\omega}}{\PD \omega}

  1. \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\frac{\PD g^\alpha_{\bm k,\omega}}{\PD \omega}\big) \\&= \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N} \sum_{\bm k} \Bigg(
  • \Big[f(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
  • \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big) \Big]_{-\infty}^\infty+ \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
  • \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big) \Bigg) \\&= \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
  • \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big) );

\omega\rightarrow\pm\infty g\rightarrow 0 を用いて部分積分を行った。

f(\omega) は低温でステップ関数となるため、その微分はδ関数と見なせる。

(9.12), (9.13)

f'(\omega)=-\delta(\omega)

そこで、

(9.14)

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_-g^a_+ \\&=

  • \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \delta(\omega) \big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
  • \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big) \\&=
  • \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k,0}
  • \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,0}{}^3\big) \\&\equiv
  • \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k}
  • \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k}{}^3\big) );

となる。 g_{\bm k}^\alpha=g_{\bm k,\omega=0}^\alpha である。

ここへ来てようやく、 \sum g のような計算の中で暗黙のうちに \hbar\omega=0 が仮定されていた理由が分かった。

第1項は簡単に評価できるので、以下は第2項について考える。

f(ω) にかかる q に依存する項

まずは \Delta_{\bm q,\Omega} の中の \bm q 依存する項のみ考える。

&math( &\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3 = \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3 \\&= \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} );

この &math( &\sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} ); について、

i\ne j の時には、

&math( &\sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j}\sum_{\bm k_i} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_i}\left(\sum_{\bm k_j} k_j\right) g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_i} 0 g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = 0 );

i = j の時には、

&math( &\sum_{\bm k} k_i g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j}\sum_{\bm k_i} k_i \left(\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\right)' = \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j} \left[ k_i \left(\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\right)' \right]

  • \sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j} \sum_{\bm k_i} \frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\ &=-\sum_{\bm k}\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\ );

したがって、

&math( &\sum_{\bm k} k_i g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} =-\sum_{\bm k}\frac{1}{2}\delta_{ij}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\ );

すると、

(9.16)

&math( &\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3 = \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3 \\&= \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i} );

これを使って、

&math( &\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3 = \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3 \\&=

  • \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j \sum_{\bm k}\frac{1}{2}\delta_{ij}g_{\bm k}^\alpha{}^2 \\&=
  • \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} q_i^2 \sum_{\bm k}\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2 \\&=
  • \sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big) \frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2 );

すなわち、

(9.17)

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega} =

  • \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k}
  1. \frac{1}{6} \Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big) \, g^\alpha_{\bm k}{}^2\big) );

うわ、ひどいなこれ。(9.10) の意味不明な第2項、いつの間にか無くなってるよ。

(9.18)〜(9.22) はすでに何回も使っている → δ関数の性質

ただ、教科書のの計算は途中まで g^r の物になっているので注意。

(9.23)

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega} =

  • \frac{1}{2\pi\hbar}\left(+\pi i\nu(0)\right) \left[1
  1. \frac{1}{6\varepsilon_F} \Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big) \right] =
  • \frac{i\nu(0)}{2\hbar} \left[1
  • \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right] );

ここで、 \varepsilon_F=\frac{\hbar^2k_F^2}{2m} を用いた。

同様にして、

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega} = \frac{i\nu(0)}{2\hbar} \left[1

  • \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right] );

より、

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)\Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}

  • g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}\Big) =
  • \frac{i\nu(0)}{\hbar} \left[1
  • \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right] \sim
  • \frac{i\nu(0)}{\hbar} );

第2項は第1項に比べて \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 だけ小さく、無視できる。

f(ω) にかかる Ω2 に依存する項

\Omega/2 の項は、

&math( &\frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \frac{1}{3} \Delta_{\bm 0,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k}{}^3 \\&= \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar}} \frac{1}{3} \left(-\frac{\textcolor{red}{\hbar} \Omega}{2}\right)^2 \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^\alpha_{\bm k}{}^3 \\&=

  • \frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar}} \frac{\textcolor{red}{\hbar^2}\Omega^2}{12} \pi i\nu''(-i\delta_\varepsilon) \\&= \frac{i}{2\textcolor{red}{\hbar}} \frac{\textcolor{red}{\hbar^2}\Omega^2}{12} \frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{4\varepsilon_F{}^2} \\&=
  • \frac{1}{48}\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \frac{i\nu(0)}{2\hbar} );

第1項に比べて \left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 だけ小さいことが分かった。

f(ω) にかかる q2Ω に依存する項

以下では q^2 \Omega は同じくらいか、 むしろ \Omega の方が小さいような扱いを受けている。

(9.24) が q^2\Omega に比例する項を見ているのはそのためのようだ。

この項は後で見ることにする。

したがって、

(9.25)

&math( &\frac{1}{\textcolor{red}{N}}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)(g^a_-g^a_+-g^r_-g^r_+) \\&= \frac{1}{\textcolor{red}{N}}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)(g^a_{\bm k,\omega}{}^2-g^r_{\bm k,\omega}{}^2) \left[ 1 + O\Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 + O\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \right] \\&=

  • \frac{i\nu(0)}{\hbar} \left[ 1 + O\Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 + O\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \right] );

と評価できる。

最終的には

(9.26)

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=

  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
  1. f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] \\&\sim
  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}
  1. f(\omega)(g^a_{\bm k,\omega}{}^2 - g^r_{\bm k,\omega}{}^2) \Big] \\&=
  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[
  • \Omega\tau\frac{\nu(0)}{\hbar}
  • \frac{i\nu(0)}{\hbar} \right] \\&=
  • \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ 1-i\Omega\tau \right] );

と評価できる。

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