スピントロニクス理論の基礎/9-1A のバックアップソース(No.13)

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#contents

* 9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (1) [#bb8aa222]

** 不純物散乱にスカラー場のポテンシャルを加え電荷密度を求める [#w2d6f41d]

不純物散乱に加えてスカラー場 &math(\phi); によるポテンシャルを考える。

&math(H=H_i+H_\phi\equiv H_0+V_i+V_\phi);

&math(H_i); は自由電子が不純物散乱だけを受ける場合のハミルトニアン。

スカラー場によるポテンシャル項は次のように表される。

(9.1)

&math(
V_\phi&=e\int d^3r\phi(\bm r,t)c^\dagger(\bm r,t)c(\bm r,t)\\
&=
e\int d^3r
\Big[\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}\Big]
\Big[\sum_{\bm k}\int\frac{d\omega}{2\pi}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\omega t}c^\dagger_{\bm k,\omega}\Big]
\Big[\sum_{\bm k'}\int\frac{d\omega'}{2\pi}e^{i\bm k'\cdot\bm r}e^{-i\omega' t}c_{\bm k',\omega'}\Big]\\
&= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi}
e^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}e^{i(\Omega+\omega-\omega') t}
\phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'}
\\
&= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi}
\phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'}
\delta_{-\bm q-\bm k+\bm k',\bm0}\delta(\Omega+\omega-\omega')
\\
&=e\sum_{\bm k,\bm q}\int\frac{d\omega}{2\phi}\int\frac{d\Omega}{2\phi}\phi(\bm q,\Omega)c_{\bm k,\omega}^\dagger c_{\bm k+\bm q,\omega+\Omega}
);

ただし、

(9.2)

&math(
\phi_{\bm q,\Omega}=\frac{\hbar}{V}\int d^3r \int dt e^{i\bm q\cdot\bm r}e^{-i\Omega t}\phi(\bm r,t)
);

&math(
\phi(\bm r,t)=\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}
);

これを元に、電荷密度を求めたいのだが、電荷密度は lesser Green 関数で表される。

(9.3)

&math(
\rho(\bm r,t)=\,\stackrel{\textcolor{red}{?}}{+}e\llangle \hat n_H\rrangle = e\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle
= -ie\Bigg[\ i\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle\Bigg]
= - ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)
);

電子は負の電荷を持つので、符号は逆なのではないかと思ったのだけれど、
(9.69) でようやく説明があって、ここでは &math(e<0); なのだそうだ。

&math(\bm r=\bm r', t=t'); と置いて、フーリエ係数の関係を導くと、

(9.3A)

&math(
&G^<(\bm r,t,\bm r,t)=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}
\int \frac{d\omega_1}{2\pi} \int \frac{d\omega_2}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2}
e^{i(\bm k_1-\bm k_2)\cdot \bm r} e^{i(-\omega_1+\omega_2)t} G_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}^<
);

&math(\bm k_1=\bm k-\frac{\bm q}{2});、&math(\bm k_2=\bm k+\frac{\bm q}{2});

&math(\omega_1=\omega-\frac{\Omega}{2});、&math(\omega_2=\omega+\frac{\Omega}{2});

と置けば、

(9.3B)

&math(
&\rho(\bm r,t)=-ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}
\int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q}
\textcolor{red}{e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}}
G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<
);

** 電場のあるときの lesser Green 関数 G< を不純物散乱の Green 関数 g で表す [#nc69001e]

&math(G^<); の Fourier 係数を求めるために (8.96) 
と同様に時間発展を自由+不純物散乱の部分と、
スカラー場による部分とに分けて書き、
深く考えずに同様の変形をしていく。

&math(H=H_0+V_i+V_\phi);

(8.96')

&math(U=U_\phi U_i);

ここで、&math(U_i); は &math(H_i); のみの時の解。

&math(U=U_i U_{V_\phi}); → &math(U_{V_\phi}=U_i^\dagger U);

&math(U_i=U_0 U_{V_i}); → &math(U_{V_i}=U_0^\dagger U_i);

&math(U_{V_\phi}=U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger U);

(8.99')

&math(
& i\hbar \frac{\PD U_{V_\phi}}{\PD t}
\\&=
i\hbar \frac{\PD U_{V_i}^\dagger}{\PD t} U_0^\dagger U +
i\hbar U_{V_i}^\dagger \frac{\PD U_0^\dagger}{\PD t} U +
i\hbar U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger \frac{\PD U}{\PD t}
\\&=
i\hbar \left( \frac{V_{iH_0} U_{V_i}}{i\hbar} \right)^\dagger U_0^\dagger U +
i\hbar U_{V_i}^\dagger \left( \frac{H_0U_0}{i\hbar} \right)^\dagger U +
i\hbar U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger \left( \frac{HU}{i\hbar} \right)
\\&=
-U_{V_i}^\dagger V_{iH_0}^\dagger U_0^\dagger U
-U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger H_0^\dagger U
+U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger H U
\\&=
-U_{V_i}^\dagger (U_0^\dagger V_i U_0) U_0^\dagger U
+U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger (H-H_0) U
\\&=
-U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger V_i U
+U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger (V_i+V_\phi) U
\\&=
U_{V_i}^\dagger U_0^\dagger V_\phi U
\\&=
(U_0 U_{V_i})^\dagger V_\phi (U_i U_i^\dagger) U
\\&=
U_i^\dagger V_\phi U_i (U_i^\dagger U)
\\&=
V_{\phi H_i} U_{V_\phi}
);

これを用いれば (8.101) と同様に、



(8.101')

&math(
G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') 
\, \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}} \,
\Big\langle
  T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')}
  c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau')
  c_{H_i}(\bm r,\tau)
\Big\rangle
);

ただし (8.101) で指摘されたとおり、この書き換えにより

(9.4C)

&math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H(t_0)});

ではなく

(9.4D)

&math(U_{C_\beta}=e^{-\beta V_\phi(t_0)});

になってしまっていることに注意が必要。

繰り返しになるが、これは運動エネルギーの項が無視されていることになり、
簡単には見過ごせない差になることが心配される。

(8.105) と同様に、

(9.4E)

&math(
&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+
\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\hbar}\Big\langle 
T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\
);

(8.108) と同様に、

(9.4F)

&math(
[H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]=-e\phi(\bm r_1,\tau_1) c(\bm r_1,\tau_1)
);

となるから、

(8.109) と同様に、

(9.4G)

&math(
&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+
\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{1}{\hbar}\Big\langle 
T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
e\phi(\bm r_1,\tau_1)c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\
&=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
+i\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)
\phi(\bm r_1,\tau_1) G(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
);

(8.111) と同様に、

(9.4H)

&math(
&G^<(\bm r,t,\bm r',t')=
g^<(\bm r,t,\bm r',t')\\
&+\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\left[
g^r(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^<(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
+g^<(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^a(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
\right]
);

(8.117) と同様に(&math(\alpha=a,r);)、ただし &math(\omega); が変化する余地を残して、

(9.4I)

&math(
&G^\alpha_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}=
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\
&+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\ 
g^\alpha_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^\alpha_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}
);

(8.145) と同様に、ただし &math(\omega); が変化する余地を残して、

(9.4J)

&math(
&G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}=
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\
&+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\left[
g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^<_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}
+g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^a_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}
\right]
);

** 電場ポテンシャルの取り込み次数で展開する [#t0c9a572]

(9.4J) の右辺に (9.4I) と (9.4J) を代入すると、

(9.4K)

&math(
&G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}=
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\
&+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\Bigg[
g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) 
\Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^<_{\bm k_2,\omega_2}\Big]
+g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) 
\Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^a_{\bm k_2,\omega_2}\Big]
\Bigg]
\\&=
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
+e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[
g^r_{\bm k_1,\omega_1} 
g^<_{\bm k_2,\omega_2}
+g^<_{\bm k_1,\omega_1} 
g^a_{\bm k_2,\omega_2}
\Big]+\cdots
\\&\equiv
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
+e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[
g_{\bm k_1,\omega_1} 
g_{\bm k_2,\omega_2}
\Big]^<+\cdots
);

したがって、

(9.4)

&math(
&G^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}=
2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
+e \phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<+\cdots
);

電荷密度を &math(\phi); の効果の取り込み次数に分割して &math(\phi); の1次の項を 
&math(\rho_\phi^{(0)}); と書く。

(9.5A)

&math(\rho=\rho_i+\rho_\phi^{(0)}+\cdots);

&math(\rho_i); は不純物散乱のみを考えた電荷密度で、
(9.4) の第一項 &math(2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}); の項に相当する部分。

&math(\phi); の効果の最低次は、

&math(\rho_\phi^{(0)} \propto
e \phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
);

で、これって1次なのにどうして (0) がついてるの??? と思うわけだけど・・・

→ このゼロは &math(\phi); に関するゼロ次ではなく、
後に見る &math(v_\phi); をまたぐような不純物散乱の効果に対する取り込み次数らしい

→ &math(\phi); の高次の効果は始めから考えていない(線形応答の範囲で考える)

(9.5)

&math(
&\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}
\int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}
\ 
e \phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
\\&=
-i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{V}
\int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}
\ 
\phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
\\&=
-i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3}
\int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \frac{1}{N} \sum_{\bm k,\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}
\ 
\phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
);

図 9.1 の見方は徐々に分かってきたけれど、~
上と下のどちらが &math(\textstyle \omega-\frac{\Omega}{2}); なのか、~
左と右のどちらが &math(v_\phi); なのかが分からないので、~
セミナーの時に教えてもらう予定。

** 電場展開の最低次項を評価する [#a0d5c9c3]

(9.5) の括弧の中身を (9.4K) の括弧の中身と (8.153) を使って展開してみる。

(9.6)

&math(
&\Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
=
\Big[
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g^<_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
+g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]
\\
&=
\Big[
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
   \Big( g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} 
       - g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big)
+
f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
   \Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
       - g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \Big)
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]
\\
&=
\Big[
\Big( 
f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) - f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
\Big)
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} 
-
f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
+
f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]
);

簡略化して表示すると、

(9.6A)

&math(
&\Big[g_-g_+\Big]^<
=
\Big[\Big( f(+) - f(-) \Big)g^r_-g^a_+
- f(+) g^r_-g^r_+
+ f(-) g^a_-g^a_+
\Big]
);

*** f(ω) に含まれる Ω を展開する [#n10a500e]

&math(\Omega); が &math(\omega); よりも十分小さいとして展開する。

&math(f(\omega\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}})=f(\omega)\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}}f'(\omega));

(9.6B), (9.7)

&math(
&\Big[g_-g_+\Big]^< =
\Big[\Big( f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' - f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' \Big)g^r_-g^a_+
- (f+\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^r_-g^r_+
+ (f-\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^a_-g^a_+
\Big]
\\&=
\Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
+f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+)
\Big]
);

したがって、

&math(
&\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=
-i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3}
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\
&\hspace{1cm}\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
\Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
+f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+)
\Big]
);

*** g の添え字の q, Ω を展開する(最後には無視する) [#t303fc72]

これを具体的に評価するために、Green 関数を &math(\bm q,\Omega); の1次までで展開する。

この部分、教科書ではまるっきり飛ばされているのかと思いきや、
(9.33)〜(9.36) あたりで一応解説されていた。

&math(
g^r_\pm=\frac{1}{\hbar(\omega\pm\textstyle\frac{\Omega}{2})-\varepsilon_{\bm k\pm\textstyle\frac{\bm q}{2}}+\textstyle\frac{i\hbar}{2\tau}}
);

&math(
g^a_\pm=\frac{1}{\hbar(\omega\pm\textstyle\frac{\Omega}{2})-\varepsilon_{\bm k\pm\textstyle\frac{\bm q}{2}}-\textstyle\frac{i\hbar}{2\tau}}
);

&math(
g^\alpha_{\bm k\pm\frac{\bm q}{2},\omega\pm\frac{\Omega}{2}}
\sim
g^\alpha_{\bm k,\omega}
\pm \frac{\bm q}{2}\cdot\nabla_{\bm k}g^\alpha_{\bm k,\omega}
\pm \frac{\Omega}{2}\cdot\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega}
);

&math(
\nabla_{\bm k}g^\alpha_{\bm k,\omega}
=
\nabla_{\bm k}\left(\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau}}\right)
=
\frac{\nabla_{\bm k}\varepsilon_{\bm k}}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2}
=
\frac{\nabla_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{2m}k^2-\varepsilon_F\right)}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2}
=
\frac{\frac{\hbar^2}{m}\bm k}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2}
=
\frac{\hbar^2\bm k}{m} g^\alpha{}_{\bm k,\omega}^2
);

&math(
\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega}
=
\frac{\PD}{\PD \omega}\left(\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau}}\right)
=
\frac{-\hbar}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2}
=
-\hbar g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2
);

したがって、

&math(
g^\alpha_{\bm k\pm\frac{\bm q}{2},\omega\pm\frac{\Omega}{2}}
\sim
g^\alpha_{\bm k,\omega}
\pm \frac{\bm q}{2}\cdot\frac{\hbar^2\bm k}{m} g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2
\mp \frac{\Omega}{2}\cdot\hbar g^\alpha_{\bm k,\omega} {}^2
=
g^\alpha_{\bm k,\omega}
\pm \left[
\frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m}
- \frac{\hbar\Omega}{2}
\right] g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2
\equiv
g^\alpha_{\bm k,\omega}
\pm \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2
);

すなわち、

&math(
\Delta_{\bm q,\Omega} = 
\frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} - \frac{\hbar\Omega}{2}
);

これを用いれば、

&math(
&\frac{1}{N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \Omega f'(\omega) g^r_-g^a_+
=
\frac{1}{N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \Omega f'(\omega)
\Big(g^r_{\bm k,\omega}-\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^r_{\bm k,\omega}{}^2+\dots\Big)
\Big(g^a_{\bm k,\omega}+\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^a_{\bm k,\omega}{}^2+\dots\Big)
\\&=
\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N} \sum_{\bm k}
\Big[
g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}
+\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}{}^2
-\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^a_{\bm k,\omega}g^r_{\bm k,\omega}{}^2
-\Delta_{\bm q,\Omega}{}^2\,g^r_{\bm k,\omega}{}^2g^a_{\bm k,\omega}{}^2+\dots
\Big]
);

*** Σg を評価する [#qfe536cc]

そこで &math(2 \le n + m); として、

&math(
\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}{}^m g^a_{\bm k,\omega}{}^n
=
\int_{-\varepsilon_F}^\infty d\varepsilon \, \nu(\varepsilon)
\frac{1}{(\hbar\omega-\varepsilon+i\delta_\varepsilon)^m}
\frac{1}{(\hbar\omega-\varepsilon-i\delta_\varepsilon)^n}
);

を評価したい。(&math(\delta_\varepsilon=\frac{\hbar}{2\tau});)

(9.18) と同様の手順を考えると、被積分関数は 
&math(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon); に &math(m); 次の
&math(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon); に &math(n); 次の極を持つから、
被積分関数を &math(h(z)); とすれば、

&math(
\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}{}^m g^a_{\bm k,\omega}{}^n
=
\pi i\Big(\Res_{z=\hbar\omega+i\delta_\varepsilon}h(z)+\Res_{z=\hbar\omega-i\delta_\varepsilon}h(z)\Big)
);

ただし(&math(n); と &math(m); は適宜読み替えて)、

&math(
&\Res_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}h(z)
=\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\Big((z-\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)^nh(z)\Big)
\bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}
\\&=
\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\frac{(-1)^n\nu(z)}{(\hbar\omega-z\mp i\delta_\varepsilon)^m}
\Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}
\\&=
\frac{(-1)^n}{(n-1)!} \sum_{i=0}^{n-1} {}_{n-1}\mathrm{C}_i
\frac{d^{i}}{dz^{i}}\Bigg(\frac{1}{(\hbar\omega-z\mp i\delta_\varepsilon)^m}\Bigg)
\frac{d^{n-1-i}\nu(z)}{dz^{n-1-i}}
\Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}
\\&=
\frac{(-1)^n}{(n-1)!} \sum_{i=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm{C}_i
{\ }_{m+i}\mathrm{C}_{i}\frac{1}{(\pm 2i\delta_\varepsilon)^{m+i}}
\frac{d^{n-1-i}\nu(z)}{dz^{n-1-i}}
\Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}
);

である。&math(\nu); の微分は、

&math(
\nu'(z)=\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big([z+\varepsilon_F]^{1/2}\Big)'
=\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}[z+\varepsilon_F]^{-1/2}\Big)
= \frac{1}{2}\frac{1}{z+\varepsilon_F}\nu(z)
);

&math(
\nu''(z)
=\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)[z+\varepsilon_F]^{-3/2}\Big)
= \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\frac{1}{(z+\varepsilon_F)^2}\nu(z)
);

&math(
\nu'''(z)
=\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big(-\frac{3}{2}\Big)[z+\varepsilon_F]^{-5/2}\Big)
= \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big(-\frac{3}{2}\Big)\frac{1}{(z+\varepsilon_F)^3}\nu(z)
);

&math(
\frac{d^n\nu(z)}{dz^n}
= (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n}\frac{\nu(z)}{(z+\varepsilon_F)^n}
);

すなわち、

&math(
&\nu'(z)|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}=\frac{1}{2}\frac{\nu(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon}
\sim
\pm\frac{\nu(0)}{2\varepsilon_F}
);

&math(
\frac{d^n\nu(z)}{dz^n}\Big|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}
= (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n}\frac{\nu(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)}{(\hbar\omega+\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon)^n}
\sim \pm(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2\varepsilon_F)^n}\nu(0)
);

である。先頭に出てくる複号は、&math(\nu(z)); のカットが実数軸に沿って走るため、
&math(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon); 
が上半面にあるか下半面にあるかで符号が異なるためである。

*** f'(ω) に掛かる第1項の主項 : (g^^r^^g^^a^^) [#h6b91303]

これを用いると(後で出てくる &math(\hbar\omega=0); を先取りして使う)、

&math(
&\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r g^a 
= 
\pi i \left[
  - \frac{\nu(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon)}{-2i\delta_\varepsilon}
  - \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{ 2i\delta_\varepsilon}
\right]
=
\frac{\pi}{2\delta_\varepsilon}\Big[
    \nu(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon)
  - \nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)
\Big] \\
&=
\frac{\pi}{2\delta_\varepsilon}\Big[
    \nu(0)
  + \nu(0)
\Big]
=
\frac{\pi}{\delta_\varepsilon} \nu(0)
=
\frac{2\pi\tau}{\hbar} \nu(0)
);

低温では (9.12) に示されるように 
&math(f'(\omega)=-\delta(\omega)); 
と見なせるため、

(9.8-1)

&math(
\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}
=
\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) 
\frac{2\pi\tau}{\hbar} \nu(0)
=
-\Omega \int d\omega \delta(\omega)
\frac{\tau}{\hbar} \nu(0)
=
- \Omega\tau \frac{\nu(0)}{\hbar}
);

*** f'(ω) に掛かる第2項の主項 : (g^^a^^g^^a^^+g^^r^^g^^r^^) [#obe535d0]

また、こちらは (8.137) でも評価済みであるが、

&math(
&\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^a_{\bm k,\omega} g^a_{\bm k,\omega}
=
\pi i \nu'(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)
=
i\frac{\pi}{2} \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon}
);

より、

(9.8-2)

&math(
&\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^a_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}
=
i\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) 
\frac{\pi}{2} \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon}
=
-i\Omega\frac{\pi}{2} \frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon}\\
&\sim
i\Omega\frac{\pi}{2} \frac{\nu(0)}{\varepsilon_F}
=
\textcolor{red}{+}\frac{\pi i}{2}\Omega \frac{2\tau}{\hbar} \nu(0)\left(\frac{\hbar}{2\tau\varepsilon_F}\right)
);

ただしこれらは &math(\Delta_{\bm q,\Omega}); の影響を除いた評価になっている。

*** f'(ω) に掛かる項の q, Ω 成分 [#k02e19cb]

&math(
\Delta_{\bm q,\Omega} = 
\frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} - \frac{\hbar\Omega}{2}
);

の掛かっている部分の和を取ろうとすると、
&math(\Delta_{\bm q,\Omega}); が &math(\bm k); 
を含むために計算がしづらい。

以下で見る &math(f(\omega)); の項については &math(g^r); や
&math(g^a); だけしか掛かっていなかったのでうまく &math(k); 
に関する部分積分が使えるけれど、&math(g^r); と &math(g^a); 
がまぜこぜに掛かっていると、同じ方法では評価できないから。

とはいえ、考え方としては &math(f'(\omega)); の項はそもそも
&math(\textstyle f(\omega\pm\frac{\Omega}{2})); を &math(\Omega); 
で展開した福次項であり、そのさらに福次項である &math(\Delta_{\bm q,\Omega});
の項をそこまで厳密に評価しなくても無視して良いのかもしれない。

→ この点について、なぜかずいぶん後の (9.33)〜(9.37) で詳しく見ることになる

そう言う意味で、&math(\textstyle f(\omega\pm\frac{\Omega}{2}));
の主項 &math(f(\omega)); に掛かる福次項は以下でしっかり評価することになる。

*** f(ω) に掛かる項 [#x0e658eb]

(9.7) の &math(f(\omega)); の項について見てみる。

&math(
&\hspace{1cm}\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+)
);

の第1項は、

(9.10)

&math(
&\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)g^a_-g^a_+
\\&\sim
\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)
\big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
+ \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\big)
\big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\big)
\\&=
\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)
\big(\textcolor{red}{g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2
- \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^4}\big)
);

じゃないのだろうか? &math(g^3); の項が出る理由が分からない???

&math(
&\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} = 
\frac{\PD}{\PD \omega}\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon} 
\\&=
\frac{-\hbar}{(\hbar\omega-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon)^2} 
= -\hbar g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2
);

&math(g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2=-\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega});

を使って書き換えると、

(9.11)

&math(
&\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)g^a_-g^a_+
\\&=
\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)
\big(-\frac{\PD g^\alpha_{\bm k,\omega}}{\PD \omega}
+ \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2\frac{\PD g^\alpha_{\bm k,\omega}}{\PD \omega}\big)
\\&=
\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N}
\sum_{\bm k} \Bigg( 
-\Big[f(\omega)
\big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big)
\Big]_{-\infty}^\infty+
\int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega)
\big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big)
\Bigg)
\\&=
\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N}
\sum_{\bm k}
\int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega)
\big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big)
);

&math(\omega\rightarrow\pm\infty); で &math(g\rightarrow 0); 
を用いて部分積分を行った。

&math(f(\omega)); は低温でステップ関数となるため、その微分はδ関数と見なせる。

(9.12), (9.13)

&math(f'(\omega)=-\delta(\omega));

そこで、

(9.14)

&math(
&\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)g^a_-g^a_+
\\&=
-\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}N}
\sum_{\bm k}
\int \frac{d\omega}{2\pi} \delta(\omega)
\big(g^\alpha_{\bm k,\omega}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^3\big)
\\&=
-\frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N}
\sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k,0}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k,0}{}^3\big)
\\&\equiv
-\frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N}
\sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k}
- \frac{1}{3} \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k}{}^3\big)
);

となる。&math(g_{\bm k}^\alpha=g_{\bm k,\omega=0}^\alpha); である。

ここへ来てようやく、&math(\sum g); のような計算の中で暗黙のうちに 
&math(\hbar\omega=0); が仮定されていた理由が分かった。

第1項は簡単に評価できるので、以下は第2項について考える。

*** f(ω) にかかる q に依存する項 [#efba7e0c]

まずは &math(\Delta_{\bm q,\Omega}); の中の &math(\bm q); 
依存する項のみ考える。

&math(
&\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3
=
\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j 
\sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3
\\&=
\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j 
\sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
);

この
&math(
&\sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
);
について、

&math(i\ne j); の時には、

&math(
&\sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
=
\sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j}\sum_{\bm k_i} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
=
\sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_i}\left(\sum_{\bm k_j} k_j\right) g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
=
\sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_i} 0 g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
= 0
);

&math(i = j); の時には、

&math(
&\sum_{\bm k} k_i g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
=
\sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j}\sum_{\bm k_i} k_i \left(\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\right)'
=
\sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j}
\left[ k_i \left(\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\right)' \right] 
-\sum_{\bm k_k}\sum_{\bm k_j} \sum_{\bm k_i} \frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\
&=-\sum_{\bm k}\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\
);

したがって、

&math(
&\sum_{\bm k} k_i g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
=-\sum_{\bm k}\frac{1}{2}\delta_{ij}g_{\bm k}^\alpha{}^2\\
);

すると、

(9.16)

&math(
&\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3
=
\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j 
\sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3
\\&=
\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j 
\sum_{\bm k} k_j g_{\bm k}^\alpha \frac{\PD g_{\bm k}^\alpha}{\PD k_i}
);

これを使って、

&math(
&\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)^2(\bm q\cdot\bm k)^2 g_{\bm k}^\alpha{}^3
=
\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j 
\sum_{\bm k} k_i k_j \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big) g_{\bm k}^\alpha{}^3
\\&=
-\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_i q_j 
\sum_{\bm k}\frac{1}{2}\delta_{ij}g_{\bm k}^\alpha{}^2
\\&=
-\Big(\frac{\hbar^2}{2m}\Big)\sum_{i=x,y,z} q_i^2
\sum_{\bm k}\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2
\\&=
-\sum_{\bm k}\Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big)
\frac{1}{2}g_{\bm k}^\alpha{}^2
);

すなわち、

(9.17)

&math(
&\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}
=
-\frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N}
\sum_{\bm k} \big(g^\alpha_{\bm k}
+ \frac{1}{6} \Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big) \, g^\alpha_{\bm k}{}^2\big)
);

うわ、ひどいなこれ。(9.10) の意味不明な第2項、いつの間にか無くなってるよ。

(9.18)〜(9.22) はすでに何回も使っている → [[δ関数の性質>スピントロニクス理論の基礎/X-3#s99f489e]]

ただ、教科書のの計算は途中まで &math(g^r); の物になっているので注意。

(9.23)

&math(
&\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}
=
-\frac{1}{2\pi\hbar}\left(+\pi i\nu(0)\right)
\left[1
+ \frac{1}{6\varepsilon_F} \Big(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big) \right]
=
-\frac{i\nu(0)}{2\hbar}
\left[1
- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right]
);

ここで、&math(\varepsilon_F=\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}); を用いた。

同様にして、

&math(
&\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}
=
\frac{i\nu(0)}{2\hbar}
\left[1
- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right]
);

より、

&math(
&\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)\Big(
g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}
-g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega}g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega}\Big)
=
-\frac{i\nu(0)}{\hbar}
\left[1
- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right]
\sim
-\frac{i\nu(0)}{\hbar}
);

第2項は第1項に比べて &math(\Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2); だけ小さく、無視できる。

*** f(ω) にかかる Ω^^2^^ に依存する項 [#vfe4665b]

&math(\Omega/2); の項は、

&math(
&\frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar} N} \sum_{\bm k} \frac{1}{3} \Delta_{\bm 0,\Omega}{}^2 \, g^\alpha_{\bm k}{}^3
\\&=
\frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar}} \frac{1}{3} \left(-\frac{\textcolor{red}{\hbar} \Omega}{2}\right)^2 
\frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^\alpha_{\bm k}{}^3
\\&=
-\frac{1}{2\pi\textcolor{red}{\hbar}} \frac{\textcolor{red}{\hbar^2}\Omega^2}{12} 
\pi i\nu''(-i\delta_\varepsilon)
\\&=
\frac{i}{2\textcolor{red}{\hbar}} \frac{\textcolor{red}{\hbar^2}\Omega^2}{12} \frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{4\varepsilon_F{}^2}
\\&=
-\frac{1}{48}\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2
\frac{i\nu(0)}{2\hbar}
);

第1項に比べて &math(\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2); 
だけ小さいことが分かった。

*** f(ω) にかかる q^^2^^Ω に依存する項 [#d3b81de2]

以下では &math(q^2); と &math(\Omega); は同じくらいか、
むしろ &math(\Omega); の方が小さいような扱いを受けている。

(9.24) が &math(q^2\Omega); に比例する項を見ているのはそのためのようだ。

この項は後で見ることにする。

したがって、

(9.25)

&math(
&\frac{1}{\textcolor{red}{N}}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)(g^a_-g^a_+-g^r_-g^r_+)
\\&=
\frac{1}{\textcolor{red}{N}}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
f(\omega)(g^a_{\bm k,\omega}{}^2-g^r_{\bm k,\omega}{}^2)
\left[ 1 + O\Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 + O\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \right]
\\&=
-\frac{i\nu(0)}{\hbar}
\left[ 1 + O\Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 + O\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \right]
);

と評価できる。

*** 最終的には [#o1a3149d]

(9.26)

&math(
&\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=
-i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3}
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\
&\hspace{1cm}\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
\Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
+f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+)
\Big]
\\&\sim
-i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3}
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\
&\hspace{1cm}\frac{1}{N}
\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
\Big[\Omega f'(\omega) g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}
+f(\omega)(g^a_{\bm k,\omega}{}^2 - g^r_{\bm k,\omega}{}^2)
\Big]
\\&=
-i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3}
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[
-\Omega\tau\frac{\nu(0)}{\hbar}
-\frac{i\nu(0)}{\hbar}
\right]
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3}
\nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[
1-i\Omega\tau
\right]
);

と評価できる。

* 質問・コメント [#x036f036]

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