スピントロニクス理論の基礎/9-1A のバックアップ(No.2)

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9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 †

不純物散乱に加えてスカラー場 \phi によるポテンシャルを考える。

H=H_i+H_\phi\equiv H_0+V_i+H_\phi

H_i は自由電子が不純物散乱だけを受ける場合のハミルトニアン。

スカラー場によるポテンシャル項は次のように表される。

(9.1)

&math( H_\phi&=e\int d^3r\phi(\bm r,t)c^\dagger(\bm r,t)c(\bm r,t)\\ &= e\int d^3r \Big[\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k}\int\frac{d\omega}{2\pi}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\omega t}c^\dagger_{\bm k,\omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k'}\int\frac{d\omega'}{2\pi}e^{i\bm k'\cdot\bm r}e^{-i\omega' t}c_{\bm k',\omega'}\Big]\\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} e^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}e^{i(\Omega+\omega-\omega') t} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \delta_{-\bm q-\bm k+\bm k',\bm0}\delta(\Omega+\omega-\omega') \\ &=e\sum_{\bm k,\bm q}\int\frac{d\omega}{2\phi}\int\frac{d\Omega}{2\phi}\phi(\bm q,\Omega)c_{\bm k,\omega}^\dagger c_{\bm k+\bm q,\omega+\Omega} );

ただし、

(9.2)

&math( \phi_{\bm q,\Omega}=\frac{\hbar}{V}\int d^3r \int dt e^{i\bm q\cdot\bm r}e^{-i\Omega t}\phi(\bm r,t) );

&math( \phi(\bm r,t)=\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega} );

これを元に、電荷密度を求めたいのだが、電荷密度は lesser Green 関数で表される。

(9.3)

&math( \rho(\bm r,t)=-e\llangle \hat n_H\rrangle = -e\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle = ie\Bigg[\ i\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle\Bigg] = \textcolor{red}{+}\, ieG^<(\bm r,t,\bm r,t) );

電子は負の電荷を持つので、符号は逆なのではないかと思うのだけれど・・・ 以下は教科書の通りで進めていく。

\bm r=\bm r', t=t' と置いて、フーリエ係数の関係を導くと、

(9.3A)

&math( &G^<(\bm r,t,\bm r,t)=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \int \frac{d\omega_2}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2} e^{i(\bm k_1-\bm k_2)\cdot \bm r} e^{i(-\omega_1+\omega_2)t} G_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}^< );

\bm k_1=\bm k-\frac{\bm q}{2} 、 \bm k_2=\bm k+\frac{\bm q}{2}

\omega_1=\omega-\frac{\Omega}{2} 、 \omega_2=\omega+\frac{\Omega}{2}

と置けば、

(9.3B)

&math( &\rho(\bm r,t)=-ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} \textcolor{red}{e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< );

G^< の Fourier 係数を求めるために (8.96) と同様に時間発展を自由＋不純物散乱の部分と、 スカラー場による部分とに分けて書く。

(9.4A)

U=U_\phi U_i

ここで、 U_i は H_i のみの時の解。

これを用いれば (8.101) と同様に、

(9.4B)

&math( G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') \, \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}} \, \Big\langle

 T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')}
 c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau')
 c_{H_i}(\bm r,\tau)

\Big\rangle );

ただし (8.101) で指摘されたとおり、この書き換えにより

(9.4C)

U_{C_\beta}=e^{-\beta H(t_0)}

ではなく

(9.4D)

U_{C_\beta}=e^{-\beta H_\phi(t_0)}

になってしまっていることに注意が必要。

(8.105) と同様に、

(9.4E)

&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ );

(8.108) と同様に、

(9.4F)

&math( [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]=-e\phi(\bm r_1,\tau_1) c(\bm r_1,\tau_1) );

となるから、

(8.109) と同様に、

(9.4G)

&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{1}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} e\phi(\bm r_1,\tau_1)c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ &=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')

  1. i\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') );

(8.111) と同様に、

(9.4H)

&math( &G^<(\bm r,t,\bm r',t')= g^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &+\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\left[ g^r(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^<(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')

  1. g^<(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^a(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') \right] );

(8.117) と同様に( \alpha=a,r )、

(9.4I)

&math( &G^\alpha_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\ g^\alpha_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^\alpha_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} );

(8.145) と同様に、

(9.4J)

&math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\left[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^<_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}

  1. g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^a_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} \right] );

(9.4J) の右辺に (9.4I) と (9.4J) を代入すると、

(9.4K)

&math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\Bigg[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^<_{\bm k_2,\omega_2}\Big]

  1. g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^a_{\bm k_2,\omega_2}\Big] \Bigg] \\&= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
  2. e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} g^<_{\bm k_2,\omega_2}
  3. g^<_{\bm k_1,\omega_1} g^a_{\bm k_2,\omega_2} \Big]+\cdots \\&\equiv 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
  4. e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g_{\bm k_1,\omega_1} g_{\bm k_2,\omega_2} \Big]^<+\cdots );

したがって、

(9.4)

&math( &G^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}= 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}

  1. e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^<+\cdots );

電荷密度を \phi の効果の取り込み次数に分割する。

(9.5A)

\rho=\rho_i+\rho_\phi^{(0)}+\cdots

\rho_i は不純物散乱のみを考えた電荷密度で、 (9.4) の第一項 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} の項に相当する部分である。

\phi の効果の最低次は、 （これって１次じゃなくてゼロ次なのか・・・）

(9.5)

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< \\&=

  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< );

図 9.1 の見方はよく分からない。

(9.5) の括弧の中身を (9.4K) の括弧の中身と (8.153) を使って展開してみる。

(9.6)

&math( &\Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< = \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^<_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}

  1. g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
      \Big( g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} 
      - g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big)
    f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
      \Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
      - g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \Big)
    g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ \Big( f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) - f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) \Big) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
  • f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
  1. f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] );

簡略化して表示すると、

(9.6A)

&math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f(+) - f(-) \Big)g^r_-g^a_+

  • f(+) g^r_-g^r_+
  1. f(-) g^a_-g^a_+ \Big] );

\Omega が \omega よりも十分小さいとして展開する。

f(\omega\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}})=f(\omega)\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}}f'(\omega)

(9.6B), (9.7)

&math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' - f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' \Big)g^r_-g^a_+

  • (f+\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^r_-g^r_+
  1. (f-\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^a_-g^a_+ \Big] \\&= \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
  2. f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );
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