スピントロニクス理論の基礎/9-1A のバックアップ差分(No.2)
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目次はこちら >> [[スピントロニクス理論の基礎]] * 9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 [#bb8aa222] 不純物散乱に加えてスカラー場 &math(\phi); によるポテンシャルを考える。 &math(H=H_i+H_\phi\equiv H_0+V_i+H_\phi); (8.96) と同様に、&math(U=U_\phiU_i); と置く。 &math(H_i); は自由電子が不純物散乱だけを受ける場合のハミルトニアン。 ここで、&math(U_i); は &math(H_i); のみの時の解。 また、 スカラー場によるポテンシャル項は次のように表される。 (9.1) &math( H_\phi&=e\int d^3r\phi(\bm r,t)c^\dagger(\bm r,t)c(\bm r,t)\\ &= e\int d^3r \Big[\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k}\int\frac{d\omega}{2\pi}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\omega t}c^\dagger_{\bm k,\omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k'}\int\frac{d\omega'}{2\pi}e^{i\bm k'\cdot\bm r}e^{-i\omega' t}c_{\bm k',\omega'}\Big]\\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} e^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}e^{i(\Omega+\omega-\omega') t} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \delta_{-\bm q-\bm k+\bm k',\bm0}\delta(\Omega+\omega-\omega') \\ &=e\sum_{\bm k,\bm q}\int\frac{d\omega}{2\phi}\int\frac{d\Omega}{2\phi}\phi(\bm q,\Omega)c_{\bm k,\omega}^\dagger c_{\bm k+\bm q,\omega+\Omega} ); ただし、 (9.2) &math( \phi_{\bm q,\Omega}=\frac{\hbar}{V}\int d^3r \int dt e^{i\bm q\cdot\bm r}e^{-i\Omega t}\phi(\bm r,t) ); &math( \phi(\bm r,t)=\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega} ); これを用いれば (8.101) と同様に、 これを元に、電荷密度を求めたいのだが、電荷密度は lesser Green 関数で表される。 (9.3) &math( \rho(\bm r,t)=-e\llangle \hat n_H\rrangle = -e\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle = ie\Bigg[\ i\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle\Bigg] = \textcolor{red}{+}\, ieG^<(\bm r,t,\bm r,t) ); 電子は負の電荷を持つので、符号は逆なのではないかと思うのだけれど・・・ 以下は教科書の通りで進めていく。 &math(\bm r=\bm r', t=t'); と置いて、フーリエ係数の関係を導くと、 (9.3A) &math( G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\Big\langle T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')} c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau') c_{H_i}(\bm r,\tau) \Big\rangle &G^<(\bm r,t,\bm r,t)=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \int \frac{d\omega_2}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2} e^{i(\bm k_1-\bm k_2)\cdot \bm r} e^{i(-\omega_1+\omega_2)t} G_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}^< ); ただしやはり (8.101) と同様に、この書き換えにより &math(\bm k_1=\bm k-\frac{\bm q}{2});、&math(\bm k_2=\bm k+\frac{\bm q}{2}); &math(\omega_1=\omega-\frac{\Omega}{2});、&math(\omega_2=\omega+\frac{\Omega}{2}); と置けば、 (9.3B) &math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H(\tau_0)}); &math( &\rho(\bm r,t)=-ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} \textcolor{red}{e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< ); &math(G^<); の Fourier 係数を求めるために (8.96) と同様に時間発展を自由+不純物散乱の部分と、 スカラー場による部分とに分けて書く。 (9.4A) &math(U=U_\phi U_i); ここで、&math(U_i); は &math(H_i); のみの時の解。 これを用いれば (8.101) と同様に、 (9.4B) &math( G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') \, \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}} \, \Big\langle T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')} c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau') c_{H_i}(\bm r,\tau) \Big\rangle ); ただし (8.101) で指摘されたとおり、この書き換えにより (9.4C) &math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H(t_0)}); ではなく (9.3C) (9.4D) &math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H_\phi(\tau_0)}); &math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H_\phi(t_0)}); に書き換わってしまっていることに注意が必要。 になってしまっていることに注意が必要。 (8.105) と同様に、 (9.3D) (9.4E) &math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ ); (8.108) と同様にして、 (8.108) と同様に、 (9.4F) &math( [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]=-e\phi(\bm r_1,\tau_1) c(\bm r_1,\tau_1) ); となるから、 (8.109) と同様に、 (9.4G) &math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &- &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\hbar}\Big\langle \frac{1}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')} e\phi(\bm r_1,\tau_1)c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ &=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau') +i\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') ); (8.111) と同様に、 (9.4H) &math( &G^<(\bm r,t,\bm r',t')= g^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &+\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\left[ g^r(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^<(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') +g^<(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^a(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') \right] ); (8.117) と同様に(&math(\alpha=a,r);)、 (9.4I) &math( &G^\alpha_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\ g^\alpha_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^\alpha_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} ); (8.145) と同様に、 (9.4J) &math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\left[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^<_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} +g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^a_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} \right] ); (9.4J) の右辺に (9.4I) と (9.4J) を代入すると、 (9.4K) &math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\Bigg[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^<_{\bm k_2,\omega_2}\Big] +g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^a_{\bm k_2,\omega_2}\Big] \Bigg] \\&= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1} +e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} g^<_{\bm k_2,\omega_2} +g^<_{\bm k_1,\omega_1} g^a_{\bm k_2,\omega_2} \Big]+\cdots \\&\equiv 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1} +e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g_{\bm k_1,\omega_1} g_{\bm k_2,\omega_2} \Big]^<+\cdots ); したがって、 (9.4) &math( &G^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}= 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} +e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^<+\cdots ); 電荷密度を &math(\phi); の効果の取り込み次数に分割する。 (9.5A) &math(\rho=\rho_i+\rho_\phi^{(0)}+\cdots); &math(\rho_i); は不純物散乱のみを考えた電荷密度で、 (9.4) の第一項 &math(2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}); の項に相当する部分である。 &math(\phi); の効果の最低次は、 (これって1次じゃなくてゼロ次なのか・・・) (9.5) &math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< \\&= -i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< ); 図 9.1 の見方はよく分からない。 (9.5) の括弧の中身を (9.4K) の括弧の中身と (8.153) を使って展開してみる。 (9.6) &math( &\Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< = \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^<_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} +g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) \Big( g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} - g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big) + f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) \Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} - g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \Big) g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ \Big( f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) - f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) \Big) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} - f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} + f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] ); 簡略化して表示すると、 (9.6A) &math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f(+) - f(-) \Big)g^r_-g^a_+ - f(+) g^r_-g^r_+ + f(-) g^a_-g^a_+ \Big] ); &math(\Omega); が &math(\omega); よりも十分小さいとして展開する。 &math(f(\omega\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}})=f(\omega)\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}}f'(\omega)); (9.6B), (9.7) &math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' - f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' \Big)g^r_-g^a_+ - (f+\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^r_-g^r_+ + (f-\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^a_-g^a_+ \Big] \\&= \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big) +f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );
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