スピントロニクス理論の基礎/9-1A のバックアップ差分(No.2)

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* 9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 [#bb8aa222]

不純物散乱に加えてスカラー場 &math(\phi); によるポテンシャルを考える。

&math(H=H_i+H_\phi\equiv H_0+V_i+H_\phi);

(8.96) と同様に、&math(U=U_\phiU_i); と置く。
&math(H_i); は自由電子が不純物散乱だけを受ける場合のハミルトニアン。

ここで、&math(U_i); は &math(H_i); のみの時の解。
また、
スカラー場によるポテンシャル項は次のように表される。

(9.1)

&math(
H_\phi&=e\int d^3r\phi(\bm r,t)c^\dagger(\bm r,t)c(\bm r,t)\\
&=
e\int d^3r
\Big[\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}\Big]
\Big[\sum_{\bm k}\int\frac{d\omega}{2\pi}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\omega t}c^\dagger_{\bm k,\omega}\Big]
\Big[\sum_{\bm k'}\int\frac{d\omega'}{2\pi}e^{i\bm k'\cdot\bm r}e^{-i\omega' t}c_{\bm k',\omega'}\Big]\\
&= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi}
e^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}e^{i(\Omega+\omega-\omega') t}
\phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'}
\\
&= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi}
\phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'}
\delta_{-\bm q-\bm k+\bm k',\bm0}\delta(\Omega+\omega-\omega')
\\
&=e\sum_{\bm k,\bm q}\int\frac{d\omega}{2\phi}\int\frac{d\Omega}{2\phi}\phi(\bm q,\Omega)c_{\bm k,\omega}^\dagger c_{\bm k+\bm q,\omega+\Omega}
);

ただし、

(9.2)

&math(
\phi_{\bm q,\Omega}=\frac{\hbar}{V}\int d^3r \int dt e^{i\bm q\cdot\bm r}e^{-i\Omega t}\phi(\bm r,t)
);

&math(
\phi(\bm r,t)=\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}
);

これを用いれば (8.101) と同様に、
これを元に、電荷密度を求めたいのだが、電荷密度は lesser Green 関数で表される。

(9.3)

&math(
\rho(\bm r,t)=-e\llangle \hat n_H\rrangle = -e\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle
= ie\Bigg[\ i\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle\Bigg]
= \textcolor{red}{+}\, ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)
);

電子は負の電荷を持つので、符号は逆なのではないかと思うのだけれど・・・
以下は教科書の通りで進めていく。

&math(\bm r=\bm r', t=t'); と置いて、フーリエ係数の関係を導くと、

(9.3A)

&math(
G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\Big\langle
T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')}
c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau')
c_{H_i}(\bm r,\tau)
\Big\rangle
&G^<(\bm r,t,\bm r,t)=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}
\int \frac{d\omega_1}{2\pi} \int \frac{d\omega_2}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2}
e^{i(\bm k_1-\bm k_2)\cdot \bm r} e^{i(-\omega_1+\omega_2)t} G_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}^<
);

ただしやはり (8.101) と同様に、この書き換えにより
&math(\bm k_1=\bm k-\frac{\bm q}{2});、&math(\bm k_2=\bm k+\frac{\bm q}{2});

&math(\omega_1=\omega-\frac{\Omega}{2});、&math(\omega_2=\omega+\frac{\Omega}{2});

と置けば、

(9.3B)

&math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H(\tau_0)});
&math(
&\rho(\bm r,t)=-ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}
\int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q}
\textcolor{red}{e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}}
G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<
);

&math(G^<); の Fourier 係数を求めるために (8.96) 
と同様に時間発展を自由+不純物散乱の部分と、
スカラー場による部分とに分けて書く。

(9.4A)

&math(U=U_\phi U_i);

ここで、&math(U_i); は &math(H_i); のみの時の解。

これを用いれば (8.101) と同様に、

(9.4B)

&math(
G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') 
\, \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}} \,
\Big\langle
  T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')}
  c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau')
  c_{H_i}(\bm r,\tau)
\Big\rangle
);

ただし (8.101) で指摘されたとおり、この書き換えにより

(9.4C)

&math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H(t_0)});

ではなく

(9.3C)
(9.4D)

&math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H_\phi(\tau_0)});
&math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H_\phi(t_0)});

に書き換わってしまっていることに注意が必要。
になってしまっていることに注意が必要。

(8.105) と同様に、

(9.3D)
(9.4E)

&math(
&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+
\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\hbar}\Big\langle 
T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\
);

(8.108) と同様にして、
(8.108) と同様に、

(9.4F)

&math(
[H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]=-e\phi(\bm r_1,\tau_1) c(\bm r_1,\tau_1)
);

となるから、

(8.109) と同様に、

(9.4G)

&math(
&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&-
&+
\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\hbar}\Big\langle 
\frac{1}{\hbar}\Big\langle 
T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
e\phi(\bm r_1,\tau_1)c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\
&=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
+i\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)
\phi(\bm r_1,\tau_1) G(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
);

(8.111) と同様に、

(9.4H)

&math(
&G^<(\bm r,t,\bm r',t')=
g^<(\bm r,t,\bm r',t')\\
&+\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\left[
g^r(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^<(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
+g^<(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^a(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
\right]
);

(8.117) と同様に(&math(\alpha=a,r);)、

(9.4I)

&math(
&G^\alpha_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}=
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\
&+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\ 
g^\alpha_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^\alpha_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}
);

(8.145) と同様に、

(9.4J)

&math(
&G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}=
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\
&+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\left[
g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^<_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}
+g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^a_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}
\right]
);

(9.4J) の右辺に (9.4I) と (9.4J) を代入すると、

(9.4K)

&math(
&G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}=
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\
&+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\Bigg[
g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) 
\Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^<_{\bm k_2,\omega_2}\Big]
+g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) 
\Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^a_{\bm k_2,\omega_2}\Big]
\Bigg]
\\&=
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
+e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[
g^r_{\bm k_1,\omega_1} 
g^<_{\bm k_2,\omega_2}
+g^<_{\bm k_1,\omega_1} 
g^a_{\bm k_2,\omega_2}
\Big]+\cdots
\\&\equiv
2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
+e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[
g_{\bm k_1,\omega_1} 
g_{\bm k_2,\omega_2}
\Big]^<+\cdots
);

したがって、

(9.4)

&math(
&G^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}=
2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
+e \phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<+\cdots
);

電荷密度を &math(\phi); の効果の取り込み次数に分割する。

(9.5A)

&math(\rho=\rho_i+\rho_\phi^{(0)}+\cdots);

&math(\rho_i); は不純物散乱のみを考えた電荷密度で、
(9.4) の第一項 &math(2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}); の項に相当する部分である。

&math(\phi); の効果の最低次は、
(これって1次じゃなくてゼロ次なのか・・・)

(9.5)

&math(
&\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}
\int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}
\ 
e \phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
\\&=
-i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{V}
\int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q}
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}
\ 
\phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
);

図 9.1 の見方はよく分からない。

(9.5) の括弧の中身を (9.4K) の括弧の中身と (8.153) を使って展開してみる。

(9.6)

&math(
&\Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
=
\Big[
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g^<_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
+g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]
\\
&=
\Big[
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
   \Big( g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} 
       - g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big)
+
f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
   \Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
       - g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \Big)
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]
\\
&=
\Big[
\Big( 
f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) - f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
\Big)
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} 
-
f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
+
f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]
);

簡略化して表示すると、

(9.6A)

&math(
&\Big[g_-g_+\Big]^<
=
\Big[\Big( f(+) - f(-) \Big)g^r_-g^a_+
- f(+) g^r_-g^r_+
+ f(-) g^a_-g^a_+
\Big]
);

&math(\Omega); が &math(\omega); よりも十分小さいとして展開する。

&math(f(\omega\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}})=f(\omega)\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}}f'(\omega));

(9.6B), (9.7)

&math(
&\Big[g_-g_+\Big]^< =
\Big[\Big( f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' - f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' \Big)g^r_-g^a_+
- (f+\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^r_-g^r_+
+ (f-\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^a_-g^a_+
\Big]
\\&=
\Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
+f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+)
\Big]
);


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