スピントロニクス理論の基礎/9-1A のバックアップ(No.3)

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9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 †

不純物散乱に加えてスカラー場 \phi によるポテンシャルを考える。

H=H_i+H_\phi\equiv H_0+V_i+H_\phi

H_i は自由電子が不純物散乱だけを受ける場合のハミルトニアン。

スカラー場によるポテンシャル項は次のように表される。

(9.1)

&math( H_\phi&=e\int d^3r\phi(\bm r,t)c^\dagger(\bm r,t)c(\bm r,t)\\ &= e\int d^3r \Big[\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k}\int\frac{d\omega}{2\pi}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\omega t}c^\dagger_{\bm k,\omega}\Big] \Big[\sum_{\bm k'}\int\frac{d\omega'}{2\pi}e^{i\bm k'\cdot\bm r}e^{-i\omega' t}c_{\bm k',\omega'}\Big]\\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} e^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}e^{i(\Omega+\omega-\omega') t} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \\ &= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi} \phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'} \delta_{-\bm q-\bm k+\bm k',\bm0}\delta(\Omega+\omega-\omega') \\ &=e\sum_{\bm k,\bm q}\int\frac{d\omega}{2\phi}\int\frac{d\Omega}{2\phi}\phi(\bm q,\Omega)c_{\bm k,\omega}^\dagger c_{\bm k+\bm q,\omega+\Omega} );

ただし、

(9.2)

&math( \phi_{\bm q,\Omega}=\frac{\hbar}{V}\int d^3r \int dt e^{i\bm q\cdot\bm r}e^{-i\Omega t}\phi(\bm r,t) );

&math( \phi(\bm r,t)=\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega} );

これを元に、電荷密度を求めたいのだが、電荷密度は lesser Green 関数で表される。

(9.3)

&math( \rho(\bm r,t)=-e\llangle \hat n_H\rrangle = -e\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle = ie\Bigg[\ i\llangle c_H^\dagger c_H\rrangle\Bigg] = \textcolor{red}{+}\, ieG^<(\bm r,t,\bm r,t) );

電子は負の電荷を持つので、符号は逆なのではないかと思うのだけれど・・・ 以下は教科書の通りで進めていく。

\bm r=\bm r', t=t' と置いて、フーリエ係数の関係を導くと、

(9.3A)

&math( &G^<(\bm r,t,\bm r,t)=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \int \frac{d\omega_2}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2} e^{i(\bm k_1-\bm k_2)\cdot \bm r} e^{i(-\omega_1+\omega_2)t} G_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}^< );

\bm k_1=\bm k-\frac{\bm q}{2} 、 \bm k_2=\bm k+\frac{\bm q}{2}

\omega_1=\omega-\frac{\Omega}{2} 、 \omega_2=\omega+\frac{\Omega}{2}

と置けば、

(9.3B)

&math( &\rho(\bm r,t)=-ieG^<(\bm r,t,\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} \textcolor{red}{e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< );

G^< の Fourier 係数を求めるために (8.96) と同様に時間発展を自由＋不純物散乱の部分と、 スカラー場による部分とに分けて書く。

(9.4A)

U=U_\phi U_i

ここで、 U_i は H_i のみの時の解。

これを用いれば (8.101) と同様に、

(9.4B)

&math( G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') \, \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}} \, \Big\langle

 T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')}
 c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau')
 c_{H_i}(\bm r,\tau)

\Big\rangle );

ただし (8.101) で指摘されたとおり、この書き換えにより

(9.4C)

U_{C_\beta}=e^{-\beta H(t_0)}

ではなく

(9.4D)

U_{C_\beta}=e^{-\beta H_\phi(t_0)}

になってしまっていることに注意が必要。

(8.105) と同様に、

(9.4E)

&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ );

(8.108) と同様に、

(9.4F)

&math( [H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]=-e\phi(\bm r_1,\tau_1) c(\bm r_1,\tau_1) );

となるから、

(8.109) と同様に、

(9.4G)

&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{1}{\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} e\phi(\bm r_1,\tau_1)c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\ &=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')

  1. i\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') );

(8.111) と同様に、

(9.4H)

&math( &G^<(\bm r,t,\bm r',t')= g^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &+\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\left[ g^r(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^<(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')

  1. g^<(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1) \phi(\bm r_1,\tau_1) G^a(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') \right] );

(8.117) と同様に( \alpha=a,r )、

(9.4I)

&math( &G^\alpha_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\ g^\alpha_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^\alpha_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} );

(8.145) と同様に、

(9.4J)

&math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\left[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^<_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2}

  1. g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) G^a_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2,\omega_1+\Omega,\omega_2} \right] );

(9.4J) の右辺に (9.4I) と (9.4J) を代入すると、

(9.4K)

&math( &G^<_{\bm k_1,\bm k_2,\omega_1,\omega_2}= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}\\ &+e\sum_{\bm q}\int d\frac{\Omega}{2\pi}\Bigg[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^<_{\bm k_2,\omega_2}\Big]

  1. g^<_{\bm k_1,\omega_1} \phi(\bm q,\Omega) \Big[2\pi\delta(\omega_1+\Omega-\omega_2)\delta_{\bm k_1+\bm q,\bm k_2}g^a_{\bm k_2,\omega_2}\Big] \Bigg] \\&= 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
  2. e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g^r_{\bm k_1,\omega_1} g^<_{\bm k_2,\omega_2}
  3. g^<_{\bm k_1,\omega_1} g^a_{\bm k_2,\omega_2} \Big]+\cdots \\&\equiv 2\pi\delta(\omega_1-\omega_2)\delta_{\bm k_1,\bm k_2}g^<_{\bm k_1,\omega_1}
  4. e \phi(\bm k_2-\bm k_1,\omega_2-\omega_1) \Big[ g_{\bm k_1,\omega_1} g_{\bm k_2,\omega_2} \Big]^<+\cdots );

したがって、

(9.4)

&math( &G^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}= 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}

  1. e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^<+\cdots );

電荷密度を \phi の効果の取り込み次数に分割する。

(9.5A)

\rho=\rho_i+\rho_\phi^{(0)}+\cdots

\rho_i は不純物散乱のみを考えた電荷密度で、 (9.4) の第一項 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} の項に相当する部分である。

\phi の効果の最低次は、 （これって１次じゃなくてゼロ次なのか・・・）

(9.5)

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=-ie\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ e \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< \\&=

  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{V} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm k,\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< );

図 9.1 の見方はよく分からない。

(9.5) の括弧の中身を (9.4K) の括弧の中身と (8.153) を使って展開してみる。

(9.6)

&math( &\Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< = \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^<_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}

  1. g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
      \Big( g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} 
      - g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big)
    f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) 
      \Big( g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
      - g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \Big)
    g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\ &= \Big[ \Big( f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) - f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) \Big) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
  • f(\omega+{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^r_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^r_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
  1. f(\omega-{\textstyle \frac{\Omega}{2}}) g^a_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g^a_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] );

簡略化して表示すると、

(9.6A)

&math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f(+) - f(-) \Big)g^r_-g^a_+

  • f(+) g^r_-g^r_+
  1. f(-) g^a_-g^a_+ \Big] );

\Omega が \omega よりも十分小さいとして展開する。

f(\omega\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}})=f(\omega)\pm{\textstyle \frac{\Omega}{2}}f'(\omega)

(9.6B), (9.7)

&math( &\Big[g_-g_+\Big]^< = \Big[\Big( f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' - f + \textstyle{\frac{\Omega}{2}}f' \Big)g^r_-g^a_+

  • (f+\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^r_-g^r_+
  1. (f-\textstyle{\frac{\Omega}{2}}f') g^a_-g^a_+ \Big] \\&= \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
  2. f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );

したがって、

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=

  • i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)
  1. f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );

これを具体的に評価するために、Green 関数を \bm q,\Omega の１次までで展開する。

&math( g^r_\pm=\frac{1}{\hbar(\omega\pm\textstyle\frac{\Omega}{2})-\varepsilon_{\bm k\pm\textstyle\frac{\bm q}{2}}+\textstyle\frac{i\hbar}{2\tau}} );

&math( g^a_\pm=\frac{1}{\hbar(\omega\pm\textstyle\frac{\Omega}{2})-\varepsilon_{\bm k\pm\textstyle\frac{\bm q}{2}}-\textstyle\frac{i\hbar}{2\tau}} );

&math( g^\alpha_{\bm k\pm\frac{\bm q}{2},\omega\pm\frac{\Omega}{2}} \sim g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\bm q}{2}\cdot\nabla_{\bm k}g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\Omega}{2}\cdot\frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} );

&math( \nabla_{\bm k}g^\alpha_{\bm k,\omega} = \nabla_{\bm k}\left(\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau}}\right) = \frac{\nabla_{\bm k}\varepsilon_{\bm k}}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\nabla_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{2m}k^2-\varepsilon_F\right)}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\frac{\hbar^2}{m}\bm k}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} = \frac{\hbar^2\bm k}{m} g^\alpha{}_{\bm k,\omega}^2 );

&math( \frac{\PD}{\PD \omega}g^\alpha_{\bm k,\omega} = \frac{\PD}{\PD \omega}\left(\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau}}\right) = \frac{-\hbar}{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}\pm\frac{i\hbar}{2\tau})^2} =

  • \hbar g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 );

したがって、

&math( g^\alpha_{\bm k\pm\frac{\bm q}{2},\omega\pm\frac{\Omega}{2}} \sim g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \frac{\bm q}{2}\cdot\frac{\hbar^2\bm k}{m} g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 \mp \frac{\Omega}{2}\cdot\hbar g^\alpha_{\bm k,\omega} {}^2 = g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \left[ \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m}

  • \frac{\hbar\Omega}{2} \right] g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 \equiv g^\alpha_{\bm k,\omega} \pm \Delta_{\bm q,\Omega} \, g^\alpha_{\bm k,\omega}{}^2 );

これを用いれば、

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \Omega f'(\omega) g^r_-g^a_+ = \frac{1}{N} \sum_{\bm k} \int \frac{d\omega}{2\pi} \Omega f'(\omega) \Big(g^r_{\bm k,\omega}-\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^r_{\bm k,\omega}{}^2+\dots\Big) \Big(g^a_{\bm k,\omega}+\Delta_{\bm q,\Omega}\,g^a_{\bm k,\omega}{}^2+\dots\Big) \\&= \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N} \sum_{\bm k} \Big[ g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}

  1. \Delta_{\bm q,\Omega}\,g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}{}^2
  • \Delta_{\bm q,\Omega}\,g^a_{\bm k,\omega}g^r_{\bm k,\omega}{}^2
  • \Delta_{\bm q,\Omega}{}^2\,g^r_{\bm k,\omega}{}^2g^a_{\bm k,\omega}{}^2+\dots \Big] );

そこで 1\le n,1\le m として、

&math( \frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}{}^m g^a_{\bm k,\omega}{}^n = \frac{1}{N}\int_{\varepsilon_F}^\infty d\varepsilon \, \nu(\varepsilon) \frac{1}{(\hbar\omega-\varepsilon+i\delta_\varepsilon)^m} \frac{1}{(\hbar\omega-\varepsilon-i\delta_\varepsilon)^n} );

を評価したい。( \delta_\varepsilon=\frac{\hbar}{2\tau} )

(9.18) と同様の手順を考えると、被積分関数は \hbar\omega+i\delta_\varepsilon に m 次の \hbar\omega-i\delta_\varepsilon に n 次の極を持つから、 被積分関数を h(z) とすれば、

&math( \frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}{}^m g^a_{\bm k,\omega}{}^n = \pi i\Big(\Res_{z=\hbar\omega+i\delta_\varepsilon}h(z)+\Res_{z=\hbar\omega-i\delta_\varepsilon}h(z)\Big) );

ただし、

&math( &\Res_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}h(z) =\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\Big((z-\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)^nh(z)\Big) \\&= \frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\frac{(-1)^n\nu(z)}{(\hbar\omega-z\mp i\delta_\varepsilon)^m} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} \\&= \frac{(-1)^n}{(n-1)!} \sum_{i=0}^{n-1} {}_{n-1}C_i \frac{d^{i}}{dz^{i}}\Bigg(\frac{1}{(\hbar\omega-z\mp i\delta_\varepsilon)^m}\Bigg) \frac{d^{n-1-i}\nu(z)}{dz^{n-1-i}} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} \\&= \frac{(-1)^n}{(n-1)!} \sum_{i=0}^{n-1}{}_{n-1}C_i {\ }_{m+i}C_{i}\frac{1}{(\pm 2i\delta_\varepsilon)^{m+i}} \frac{d^{n-1-i}\nu(z)}{dz^{n-1-i}} \Bigg|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} );

である。 \nu の微分は、

&math( \nu'(z)=\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big([z+\varepsilon_F]^{1/2}\Big)' =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}[z+\varepsilon_F]^{-1/2}\Big) = \frac{1}{2}\frac{1}{z+\varepsilon_F}\nu(z) );

&math( \nu''(z) =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)[z+\varepsilon_F]^{-3/2}\Big) = \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\frac{1}{(z+\varepsilon_F)^2}\nu(z) );

&math( \nu'''(z) =\frac{m^3/2a^3}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3}\Big(\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big(-\frac{3}{2}\Big)[z+\varepsilon_F]^{-5/2}\Big) = \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big(-\frac{3}{2}\Big)\frac{1}{(z+\varepsilon_F)^3}\nu(z) );

&math( \frac{d^n\nu(z)}{dz^n} = (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n}\frac{\nu(z)}{(z+\varepsilon_F)^n} );

すなわち、

&math( &\nu'(z)|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon}=\frac{1}{2}\frac{\nu(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon} \sim \pm\frac{\nu(0)}{2\varepsilon_F} );

&math( \frac{d^n\nu(z)}{dz^n}\Big|_{z=\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon} = (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n}\frac{\nu(\hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon)}{(\hbar\omega+\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon)^n} \sim \pm(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2\varepsilon_F)^n}\nu(0) );

である。先頭に出てくる複号は、 \nu(z) のカットが実数軸に沿って走るため、 \hbar\omega\pm i\delta_\varepsilon が上半面にあるか下半面にあるかで符号が異なるためである。

これを用いると、

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega} g^a_{\bm k,\omega} = \pi i\Bigg( \frac{\nu(\hbar\omega - i\delta_\varepsilon)}{2i\delta_\varepsilon}

  1. \frac{\nu(\hbar\omega + i\delta_\varepsilon)}{-2i\delta_\varepsilon} \Bigg) \\&= 
    \frac{\pi}{2\delta_\varepsilon}\Big(
\nu(\hbar\omega- i\delta_\varepsilon)-\nu(\hbar\omega+ i\delta_\varepsilon)
    \Big) \\&\sim 
    \frac{\pi}{2\delta_\varepsilon}\Big(
  • \nu(\hbar\omega)- i\nu'(\hbar\omega)\delta_\varepsilon
  • \nu(\hbar\omega)+ i\nu'(\hbar\omega)\delta_\varepsilon) \Big) \\&= 
    -\frac{\pi}{\delta_\varepsilon}\nu(\hbar\omega)
    );

低温では (9.12) に示されるように f'(\hbar\omega)=-\delta(\hbar\omega) と見なせるため、

(9.8-1)

&math( \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega} =

  • \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\hbar\omega) \frac{\pi}{\delta_\varepsilon}\nu(\hbar\omega) =\Omega\frac{\pi}{\delta_\varepsilon}\nu(0) =\textcolor{red}{+}\Omega\frac{2\tau}{\hbar} \pi\nu(0) );

あれ、符号が異なってしまった？

また、こちらは (8.137) でも評価済みであるが、

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^a_{\bm k,\omega} g^a_{\bm k,\omega} = \pi i \nu'(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon) = i\frac{\pi}{2} \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon} );

より、

(9.8-2)

&math( &\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^a_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega} = i\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\hbar\omega) \frac{\pi}{2} \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{\hbar\omega+\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon} =

  • i\Omega\frac{\pi}{2} \frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{\varepsilon_F-i\delta_\varepsilon}\\ &\sim i\Omega\frac{\pi}{2} \frac{\nu(0)}{\varepsilon_F} = \textcolor{red}{+}\frac{\pi i}{2}\Omega \frac{2\tau}{\hbar} \nu(0)\left(\frac{\hbar}{2\tau\varepsilon_F}\right) );

ただしこれらは \Delta_{\bm q,\Omega} の影響を除いた評価になっている。

\Delta_{\bm q,\Omega} の掛かる項については、たとえば

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k} g^r_{\bm k,\omega} g^a_{\bm k,\omega}{}^2 = \pi i\Bigg(

\frac{\nu(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon)}{(-i\delta_\varepsilon)^2}
  1. \frac{\nu'(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{i\delta_\varepsilon}
  • \frac{\nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)}{(i\delta_\varepsilon)^2} \Bigg) \\&=
  • \frac{\pi i}{\delta_\varepsilon^2}\Big( 
    \nu(\hbar\omega+i\delta_\varepsilon)
  1. i\delta_\varepsilon\nu'(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon)
  • \nu(\hbar\omega-i\delta_\varepsilon) \Big) \\&\sim
  • \frac{\pi i}{\delta_\varepsilon^2}\Big( 
    2\nu(\hbar\omega)
  • i\frac{\delta_\varepsilon}{2\varepsilon_F}\nu(\hbar\omega) \Big) \\&\sim
  • \frac{2\pi i}{\delta_\varepsilon^2}\nu(\hbar\omega) \\&= 2\pi i\nu(\hbar\omega)\Big(\frac{\tau}{\hbar}\Big)^2 );

となるから、

&math( &\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\hbar\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} \Delta_{\bm q,\Omega}g^a_{\bm k,\omega}g^a_{\bm k,\omega}{}^2 \\&\sim

  • \Omega\Delta_{\bm q,\Omega} \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\hbar\omega) \frac{2\pi i}{\delta_\varepsilon^2}\nu(\hbar\omega) \\&= \Omega\Delta_{\bm q,\Omega} \frac{2\pi i}{\delta_\varepsilon^2}\nu(0) \\&= \Omega\Delta_{\bm q,\Omega} 2\pi i\nu(0)\Big(\frac{\tau}{\hbar}\Big)^2 );

\frac{\tau\Delta_{\bm q,\Omega}}{\hbar} の因子が小さいと評価して良い物だろうか？

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