スピントロニクス理論の基礎/9-1B のバックアップ差分(No.3)
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目次はこちら >> [[スピントロニクス理論の基礎]] #contents * 9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2) [#xc6258a9] ** 不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正 [#b95dc7da] (9.28) &math( &\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)= -i\frac{e^{\textcolor{red}{2}}}{V} \sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\ &\hspace{1.5cm} \phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2 \sum_{\bm k_1}\left[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \right]^< ); この補正が出てくる理由が分からない。 (8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り 近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・ ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは - (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと - (8.119) の不純物平均 - (8.123) の実部は無視できるのか くらい? + (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない + (9.5) 式の &math(g); を &math(g_0); で展開した形に似ている + それならなぜ (9.28) 式の &math(g); は &math(g_0); でないのか? + この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに 気付かなかった? あたりが疑問。 *** (9.4) 式の高次項ではない [#p67bd30c] (9.4) 式は &math(\phi); で展開しているので、高次項には &math(\phi); の2次以上が含まれるはずだが、 (9.28) に &math(\phi); は1つしか入っていない。 *** (9.5) 式の g を g__0__ で展開した形に似ている [#v20961b6] (8.121) より、 &math( g^\alpha_{\bm k,\omega} = g^\alpha_{0\bm k,\omega} + n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots ); この1項目と2項目とを掛け合わせると、 &math(n_iv_i^2\sum gggg); の項が出る。 &math( \left[ g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \right]^< ); にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。 そもそも、こういう項は &math(g^rg^rg^rg^a); や &math(g^rg^ag^ag^a); の形になるから、どうも話が違う。 これらの過程は (9.27) の &math(\rho_\phi^{(0)}); に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、 改めて組み込む必要は無いということだと思う。 *** なぜ (9.28) 式の &math(g); は &math(g_0); でないのか [#ofea7977] 上下に耳が生える過程を組み込むため? *** これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった? [#zcbdb89d] たぶんそう。 どこから出てくるのだろう?・・・不純物平均のところか。 上で見たとおり、(9.28) の項は &math(v_i); の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、 1次の項を2つ掛けた物だ。 8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、 ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。 不純物平均の前まで戻って &math(v=v_i+v_\phi); とする。 *** 不純物平均の前に戻ってみる [#e363db89] (8.145) からポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。 &math(H=H_0+V_i+V_\phi=(H_0+V_i)+V_\phi=H_i+V_\phi); と考えるのをやめて、~ &math(H=H_0+V_i+V_\phi=H_0+(V_i+V_\phi)=H_0+V); として、8-10、8-11 を見直してみる。 &math(V_\phi); が入っているため、不純物平均を取る前までを考えると、 &math(v(\bm q,\bm \Omega)=v_i(\bm q)+v_\phi(\bm q,\bm \Omega)); として、 (8.117) は &math( &g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^a= 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^a+ \int \frac{\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} g_{0\bm k,\omega}^a v(\bm q,\Omega) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a ); (8.145) は &math( &g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^< +\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a \big] ); となる。 *** ポテンシャルを3回含む項を評価する [#zc361af1] この2つの式を使ってポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。 それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。 &math( &g_{\bm k,\bm k',\omega}^< = \underline{\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<} +\sum_{\bm q}\big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \big] \\&= \sum_{\bm q}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<} +\sum_{\bm q'}\big[ g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \big]\Big)\\ &\hspace{9.5mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a} +\sum_{\bm q'} g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \Big) \Big] \\&= \sum_{\bm q,\bm q'}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<}\\ &\hspace{4cm} +\sum_{\bm q''}\big[ g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \big] \Big)\\ &\hspace{9.5mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q') g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^< = \underline{2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<} +\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[ &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a\\ &\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'} ); &math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\Big[ &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega) \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a} +\sum_{\bm q''} g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \Big)\\ &\hspace{9.5mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q') \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^<} +\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q'}\Big[ g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^rv(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\ &\hspace{9.8cm} +g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^<v(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a \Big]\\ &\hspace{10cm}\cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} \Big)\\ +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega) \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a} +\sum_{\bm q''} g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \Big) \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} +\int \frac{\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q'}\ \ \, g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a \\&\hspace{10cm} \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} \Big) \Big] ); &math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\ &\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} ); 同様にして、 &math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \int \frac{d\Omega''}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^r v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^< v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a \\ & \Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'+\Omega''-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'} ); したがって、 0次: &math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(0)} = \, & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<\\ = & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'} f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r)\\ ); 1次: &math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(1)} = \, &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^< \\ +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^a \\ =\, &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) \\ +&f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k',\omega'}^a \\ =\,& v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) \Big[ g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) +f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] \\&= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \\ &\hspace{13mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\ &\hspace{13mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\ &\hspace{13mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\ &\hspace{13mm} \Big] \delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'} \\ ); (8.153) を入れると、 2次: &math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a}-g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r \Big) \\ &\hspace{13mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}-\underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r} \Big) v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\ &\hspace{13mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}- \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r} \Big) v(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\ &\hspace{13mm} + f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a- \underline{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r} \Big)v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\ g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(2)} = \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] ); となる。 3次: このままだと、下線を引いた項同士は打ち消し合ってしまって、 &math(g^ag^ag^ag^a); および &math(g^rg^rg^rg^r); の項しか残らない。 &math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(3)} = ); これは &math(v); との相互作用で &math(\omega); が変化しないとしたためで、 &math(\omega); が変化するようなポテンシャルが入っている場合には、 打ち消さない項が残る? &math( \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] ); 例えば2つ目が &math(v_\phi); で、&math(\omega); が変化するとすれば、 *** 目的の項はどれか? [#bcfe7c6a] 3回出てくる &math(v=v_i+v_\phi); を展開する際、 &math(v_i); と &math(v_\phi); のどちらを取るかで様々な項が出るが、 不純物平均により &math(v_i); は複数の打ち消し合う &math(\bm q); の組を作るように取らないとゼロになるため、 &math(v_\phi); と &math(v_i); が両方出てくる項は3次が最低次になる。 そのような3次の項は、 + &math(v_i\cdot v_i\cdot v_\phi); + &math(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i); + &math(v_\phi\cdot v_i\cdot v_i); の3つの場合が考えられるが、このうち1番目と3番目は上の [[(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている>スピントロニクス理論の基礎/9-1B#v20961b6]] で見たように (9.26) に含まれている。 そこで、今取り入れたいのは2番目の形で、 &math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a -g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big) \\ &\hspace{13mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a - g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big) v_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\ &\hspace{13mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) f(\omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \Big) v_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\ &\hspace{13mm} + f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Big)v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\ &\hspace{13mm} \Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\ g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = ); となって、やっぱり結局消えてしまいそうに思うけれど・・・ &math( \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^r v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^< v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] ); よく分からない。 である。 上記で残ると思われる2つの項について、不純物平均を取ると *** 不純物平均を入れる [#x8fe454a] 不純物平均により &math(\bm q+(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')=\bm 0); が要求されるため、 &math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[ - f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \\ &\hspace{13mm} + f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\ &= n_iv_i^2 \sum_{\bm q,\bm q'} \delta_{\bm q+\bm q'',\bm 0} v_\phi(\bm q') \Big[ - f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r g_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \\ &\hspace{45mm} + f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^ag_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a \Big]\delta_{\bm k+\bm q',\bm k'}\\ g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = ); &math(\bm k\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2}); &math( \frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^< g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] = ); &math(\bm \omega\rightarrow\bm \omega+\frac{\bm \Omega}{2}); &math( \frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') \big( \underline{g_{0\bm k',\omega'}^a} - g_{0\bm k',\omega'}^r \big)\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega')\big( g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a - \underline{g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r} \big) g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) \big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} - g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \big) v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&f(\omega)\big( g_{0\bm k,\omega}^a - \underline{g_{0\bm k,\omega}^r} \big) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] = ); &math(\bm q\rightarrow\bm q_1); 下線部は打ち消し合うため、 &math(\bm q'\rightarrow\bm q); &math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = ); あれ、ちょっと合わないか。後でもう少し考える。 &math( \frac{n_iv_i^2}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm q} \Big[ -&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') g_{0\bm k',\omega'}^r \\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ -&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&f(\omega) g_{0\bm k,\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] ); この式の変数を適当に書き換えると (9.29) と似た式が出てくる。 *** g__0__ を g に書き換える [#yb3b4b14] そして、その &math(g_0); を &math(g); に書き換えると (9.29) になる。 ただ、恐らく教科書の式では上記の &math(1/N); の因子が抜けている。 *** ファインマン図の意味 [#l37bb59f] 上と下は &math(v_\phi); と相互作用する前後のωの異なる部分で、 その間に打ち消し合う2つの q があることを表す図になっているわけか。 ** 補正項を評価する [#gf4c2103] ようやく教科書を読み進められる。
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