スピントロニクス理論の基礎/9-2 のバックアップ差分(No.6)

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#contents

* 9-2 スカラー場により誘起される電流密度 [#ib218595]

** 電流密度を lesser Green 関数で表す [#ce0af783]

(8.28) に (8.73) を代入し、(8.76) を使う

&math(
\bm j(\bm r,t) 
\equiv \left. -\frac{ie\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r',t)\rrangle 
\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
);

&math(
&= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
G^<(\bm r, t, \bm r', t) \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
\\ &= 
\left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
\left[
\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^<
\right]\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
\\ &= 
-\frac{ie\hbar^2}{8\pi^2mV}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r}(\bm k+\bm k')G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^<
);

ここで以下の変数変換を行えば、

&math(\bm k\rightarrow\bm k-\frac{\bm q}{2});、&math(\bm k'\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2});

&math(\omega\rightarrow\omega-\frac{\Omega}{2});、&math(\omega'\rightarrow\omega+\frac{\Omega}{2});

&math(
\bm j(\bm r,t) &= 
-\frac{ie\hbar^2}{2mV}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm q}e^{-i(\omega-\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\omega+\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\bm k-\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}e^{-i(\bm k+\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}(\bm k-\frac{\bm q}{2}+\bm k+\frac{\bm q}{2})
G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<
\\ &=
-\frac{i\hbar}{a^3}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m}
G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<
);

** スカラーポテンシャルを反映した Green 関数を代入する [#qcf483cc]

vertex 補正無し、つまり不純物散乱のみの Green 関数を元に &math(\phi); 
への線形応答成分を &math(\bm j_\phi^{(0)}); とすると、

(9.4) より、

&math(
\bm j(\bm r,t) &= 
-\frac{i\hbar}{a^3}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m}
\bigg[
2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
+
\underbrace{
\textcolor{red}{e} \phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} 
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
}_{\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t)}
+\cdots
\bigg]
);

(9.5) と比べると、&math(\rho_\phi); で &math(G^<); に掛かっていた
&math(e); の部分を &math(\frac{e\hbar\bm k}{m}); に置き換えた形になっている。

(9.6) 以下で &math(\sum gg); などの評価をしたが、これらの評価をすべて
&math(\sum \bm k gg); に置き換えて評価すればよいことになる。

** 主項を取り出す [#c20c2f40]

9-1 章を見直してみると、

&math(
[g_{--}g_{++}]^<
=&\,
\{f(+)-f(-)\}g_{--}^rg_{++}^a
-f(+)g_{--}^rg_{++}^r
+f(-)g_{--}^ag_{++}^a
\\=&\,
\frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[
  2 g_{--}^rg_{++}^a
  -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big]
+f(\omega)(g_{--}^ag_{++}^a-g_{--}^rg_{++}^r)
\\=&\,
\frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[
  2 g_{--}^rg_{++}^a
  -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big]
\\&\,
+f(\omega)\Big[
g_{-0}^ag_{+0}^a-g_{-0}^rg_{+0}^r+
\frac{\Omega}{2}\Big\{g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a)
+g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r)\Big\}
\Big]
\\=&\,
\frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[
\underline{2 g_{--}^rg_{++}^a}
  -\underbrace{(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a)}_{O(\hbar/\varepsilon_F\tau)} \Big]
\\&\,
+f'(\omega)\Big[
\underline{(g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^r)}
+\underbrace{\frac{\hbar^2q^2}{6m}(g_{\bm k}^a{}^2-g_{\bm k}^r{}^2)}_{O(q^2/k_F^2 )}
\Big]
\\&\,
+f(\omega)\underbrace{\frac{\Omega}{2}\Big[g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a)
+g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r)
\Big]}_{O(\hbar \Omega q^2/\varepsilon_F k_F^2)}
);

と変形し、下線部の２項が支配項であった。

同様にして、

&math(
\bm k[g_{--}g_{++}]^<
);

を評価すると、&math((g^a-g^r)); の項は空間の対称性によってゼロとなり、
&math(g_{--}^rg_{++}^a); の項のみが残る。この項を &math(\Omega); 
の２乗となる項を除いて評価すると、

(9.48), (9.49)

&math(
\bm I_{\bm q,\Omega}
\equiv&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a
\\\sim&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},0}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},0}^a
\\=&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \Big\{
g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a
\underline{g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a}
+\frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\Big\}
);

下線を付けた &math(\sum \bm kg^rg^a); は空間の対称性によりゼロとなり、第２項だけが残る。

&math(
\bm I_{\bm q,\Omega}
=&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \cdot
\frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\\=&\,
\cdots
\\=&\,
2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q
);

(以下勉強中)
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