スピントロニクス理論の基礎/9-2 のバックアップソース(No.7)
更新[[[前の章へ]>スピントロニクス理論の基礎/9-1B]] <<<< [[スピントロニクス理論の基礎]](目次) >>>> [次の章へ] #contents * 9-2 スカラー場により誘起される電流密度 [#ib218595] ** 電流密度を lesser Green 関数で表す [#ce0af783] (8.28) に (8.73) を代入し、(8.76) を使う &math( \bm j(\bm r,t) \equiv \left. -\frac{ie\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r',t)\rrangle \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} ); &math( &= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) G^<(\bm r, t, \bm r', t) \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} \\ &= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) \left[ \frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^< \right]\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} \\ &= -\frac{ie\hbar^2}{8\pi^2mV} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r}(\bm k+\bm k')G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^< ); ここで以下の変数変換を行えば、 &math(\bm k\rightarrow\bm k-\frac{\bm q}{2});、&math(\bm k'\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2}); &math(\omega\rightarrow\omega-\frac{\Omega}{2});、&math(\omega'\rightarrow\omega+\frac{\Omega}{2}); &math( \bm j(\bm r,t) &= -\frac{ie\hbar^2}{2mV} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm q}e^{-i(\omega-\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\omega+\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\bm k-\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}e^{-i(\bm k+\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}(\bm k-\frac{\bm q}{2}+\bm k+\frac{\bm q}{2}) G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< \\ &= -\frac{i\hbar}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< ); ** スカラーポテンシャルを反映した Green 関数を代入する [#qcf483cc] vertex 補正無し、つまり不純物散乱のみの Green 関数を元に &math(\phi); への線形応答成分を &math(\bm j_\phi^{(0)}); とすると、 (9.4) より、 &math( \bm j(\bm r,t) &= -\frac{i\hbar}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m} \bigg[ 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} + \underbrace{ \textcolor{red}{e} \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< }_{\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t)} +\cdots \bigg] ); (9.5) と比べると、&math(\rho_\phi); で &math(G^<); に掛かっていた &math(e); の部分を &math(\frac{e\hbar\bm k}{m}); に置き換えた形になっている。 (9.6) 以下で &math(\sum gg); などの評価をしたが、これらの評価をすべて &math(\sum \bm k gg); に置き換えて評価すればよいことになる。 &math( \bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &= -\frac{i\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{ma^3} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\phi(\bm q,\Omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \bm k \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< ); ** 主項を取り出す [#c20c2f40] 9-1 章を見直してみると、 &math( [g_{--}g_{++}]^< =&\, \{f(+)-f(-)\}g_{--}^rg_{++}^a -f(+)g_{--}^rg_{++}^r +f(-)g_{--}^ag_{++}^a \\\sim&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ 2 g_{--}^rg_{++}^a -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big] +f(\omega)(g_{--}^ag_{++}^a-g_{--}^rg_{++}^r) \\\sim&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ 2 g_{--}^rg_{++}^a -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big] \\&\, +f(\omega)\Big[ g_{-0}^ag_{+0}^a-g_{-0}^rg_{+0}^r+ \frac{\Omega}{2}\Big\{g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a) +g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r)\Big\} \Big] \\\sim&\, \underline{\frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ 2 g_{--}^rg_{++}^a} -\underbrace{(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a)}_{O(\hbar/\varepsilon_F\tau)} \Big] \\&\, +\underline{f'(\omega)\Big[ (g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^r)} +\underbrace{\frac{\hbar^2q^2}{6m}(g_{\bm k}^a{}^2-g_{\bm k}^r{}^2)}_{O(q^2/k_F^2 )} \Big] \\&\, +f(\omega)\underbrace{\frac{\Omega}{2}\Big[g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a) +g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r) \Big]}_{O(\hbar \Omega q^2/\varepsilon_F k_F^2)} ); と変形し、下線部の2項が支配項であった。 同様にして、 &math( \bm k[g_{--}g_{++}]^< ); を評価すると、&math((g^a-g^r)); の項は &math(\bm k); に対する和を取る際に空間の対称性によってゼロとなり、 &math(g_{--}^rg_{++}^a); の項のみが残る。 (9.47) &math( \bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim -\frac{i\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{ma^3} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\phi(\bm q,\Omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \bm k \Big[ \Omega f'(\omega) g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{2\pi ma^3} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} i\Omega\phi(\bm q,\Omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} \bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\frac{\Omega}{2}} ); ** I__q,Ω__ の評価 [#y66a21e3] &math(\bm k); についての和を &math(\Omega); の2乗となる項を除いて評価すると(外から &math(\Omega); が掛かっているので、 以下では &math(\Omega); のゼロ次で評価することになる)、 (9.48), (9.49) &math( \bm I_{\bm q,\Omega} \equiv&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},-\frac{\Omega}{2}}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\frac{\Omega}{2}}^a \\\sim&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},0}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},0}^a \\=&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \Big\{ \underline{g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a} +\frac{\hbar^2\bm k}{m}\cdot\frac{\bm q}{2} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \Big\} ); 下線を付けた &math(\sum \bm kg^rg^a); は空間の対称性によりゼロとなり、第2項だけが残る。 &math( \bm I_{\bm q,\Omega} =&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \, \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, 2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q ); ちゃんと評価するなら、 &math( I_{\bm q,\Omega}{}^i =&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}k_i \Big\{ \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \Big\} \\=&\, \frac{-\hbar^2}{2mN}\sum_{j=x,y,z}q_j\sum_{\bm k}k_ik_j (g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \Big\} \\=&\, \frac{-\hbar^2}{2m}\sum_{j=x,y,z} \frac{q_j \delta_{ij} a^3}{(2\pi)^3} \iiint dk\, kd\theta\,k\sin\theta d\varphi (k\cos\theta)^2 \frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_k) (g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{q_i a^3}{(2\pi)^3} \int 4\pi k^2 dk \frac{k^2}{2} \left[-\frac{1}{3}\cos^3\theta\right]_0^\pi \frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_k) (g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, \frac{-q_i}{3} \int d\varepsilon_k \, (\varepsilon_k+\varepsilon_F) \nu(\varepsilon_k) (g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, \frac{-\pi i q_i}{3} \Bigg[ \frac{\D}{\D z} \bigg\{ \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{-z-i\delta_\varepsilon} \bigg\} \bigg|_{z=+i\delta_\epsilon} - \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{(-z+i\delta_\varepsilon)^2} \bigg|_{z=-i\delta_\epsilon} \\& \hspace{5mm} + \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{(-z- i\delta_\varepsilon)^2} \bigg|_{z=+i\delta_\epsilon} -\frac{\D}{\D z} \bigg\{ \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{-z+i\delta_\varepsilon} \bigg\} \bigg|_{z=-i\delta_\epsilon} \Bigg] \\=&\, \frac{-\pi i q_i}{3} \Bigg[ \bigg\{ \textcolor[gray]{0.6}{ \frac{\nu(+i\delta_\epsilon)}{-2i\delta_\varepsilon} + \frac{\varepsilon_F\nu'(+i\delta_\epsilon)}{-2i\delta_\varepsilon}} + \frac{\varepsilon_F\nu(+i\delta_\epsilon)}{(-2i\delta_\varepsilon)^2} \bigg\} + \frac{2\varepsilon_F\nu(0)}{(-2i\delta_\varepsilon)^2} \\& \hspace{9mm} - \bigg\{\textcolor[gray]{0.6}{\frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{2i\delta_\varepsilon} + \frac{\varepsilon_F\nu'(-i\delta_\varepsilon)}{2i\delta_\varepsilon}} + \frac{\varepsilon_F\nu(-i\delta_\varepsilon)}{(2i\delta_\varepsilon)^2} \bigg\} \Bigg] \\=&\, \frac{\pi i \varepsilon_F\nu(0)}{3\delta_\varepsilon{}^2} q_i = \frac{4\pi i \varepsilon_F\nu(0)\tau^2}{3\hbar^2} q_i = \frac{2\pi i \nu(0)\tau m}{\hbar^2} \left(\frac{2\tau\varepsilon_F}{3m}\right) q_i \\=&\, 2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD q_i ); この式の最後、係数を &math(D); にまとめる直前の式と (9.50) とを比べると、(9.50) が &math(\left(\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}\right)^2); だけ小さいことが一目瞭然である。 ** vertex 補正 [#ef8cc915] (9.49) を (9.47) に代入すれば、 (9.51) &math( \bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim \frac{\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{2\pi ma^3} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} i\Omega\phi(\bm q,\Omega) 2\pi \nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q \\&= \frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) D\bm q\cdot i\Omega \tau ); (9.52), (9.53) より、vertex 補正を入れた場合に &math( \bm I_{\bm q,\Omega}\rightarrow \frac{1}{Dq^2\tau+i\Omega\tau}\bm I_{\bm q,\Omega} ); となって、全部含めると、 &math( \bm j_\phi(\bm r,t) &\sim \frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) D\bm q\cdot \frac{i\Omega \tau}{Dq^2\tau+i\Omega\tau} \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\Omega\bm q}{q^2} ); を得る。 ** 電荷保存則の確認 [#jd8205dc] &math( \frac{\PD}{\PD t}\rho(\bm r,t) &= -\frac{\textcolor{red}{e^2\nu(0)}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{ i\Omega }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} ); に対して、 &math( -\nabla \cdot \bm j_\phi(\bm r,t) &\sim \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\Omega\bm q}{q^2} \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{-i\Omega}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\bm q\cdot\bm q}{q^2} \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{i\Omega}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} ); より、 (9.55) &math(\frac{\PD \rho_\phi}{\PD t}=-\nabla \cdot \bm j_\phi(\bm r,t)); が確かめられる。 ** vertex 補正を入れないと、電荷保存則が成り立たない [#ka4a6bb2] この電荷保存則が成り立つのは vertex 補正のおかげ、と書いてあるのだが・・・ 補正がないときには、 &math( \frac{\PD}{\PD t}\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times i\Omega \left[ 1- i\Omega\tau\cdot n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega} \right] ); &math( -\nabla \cdot \bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim -\frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) Di\bm q\cdot \bm q\times i\Omega \tau \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) i\Omega Dq^2 \tau ); となって、確かに両者は一致しない。 vertex 補正による係数が &math(\rho); では一部分に、&math(\bm j); では全体に掛かることにより、これらが一致するよう補正が掛かる。 ** 局所的な成分と比局所的な成分 [#wea394fb] (以下勉強中)
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