スピントロニクス理論の基礎/X-1 のバックアップの現在との差分(No.1)

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* X-1 フェルミオンの交換関係 [#xbf01407]

** 数演算子 [#xef06ad1]

&math(\hat n=c^\dagger c); なる演算子の固有値 &math(k); 
に対応する固有関数を &math(\ket{k}); とする。

&math(\hat n\ket{k}=c^\dagger c\ket{k}=k\ket{k});

&math(\braket{k|c^\dagger c|k}=\|c\ket{k}\|^2=k); より、

固有値は必ず &math(k\ge 0); であり、さらに &math(\|c\ket{k}\|=\sqrt k); を得る。

** 反交換関係 [#rc1a88cf]

フェルミオンでは、

- &math(\{c^\dagger,c\}=c^\dagger c+cc^\dagger=1); 
- &math(\{c^\dagger,c^\dagger\}=2c^\dagger c^\dagger=0); 
- &math(\{c,c\}=2cc=0); 

なる反交換関係が成り立つ。

これを用いると、

&math(
&c^\dagger cc^\dagger c\ket{k}=\hat n\hat n\ket{k}=k^2\ket{k}\\
&=c^\dagger(1-c^\dagger c) c\ket{k}=(c^\dagger c-c^\dagger c^\dagger cc)\ket{k}=(c^\dagger c - 0\cdot 0)\ket{k} = \hat n\ket{k}=k\ket{k});

すなわち、&math(k(k-1)\ket{k}=0); より &math(\hat n); の固有値 &math(k); は 0 または 1 である。

つぎに、

&math(cc^\dagger c\ket{k}=c\hat n\ket{k}=c k \ket{k} = k c\ket{k});

一方で、

&math(cc^\dagger c\ket{k}=(1-\hat n)c\ket{k});

したがって、

&math((1-\hat n)c\ket{k}=k c\ket{k});

&math(\hat n c\ket{k}=(1-k)c\ket{k});

これと、&math(\|c\ket{k}\|=\sqrt k); より

&math(c\ket{k}=\sqrt k \ket{1-k});

同様に、

&math(c^\dagger c c^\dagger\ket{k}=\hat n c^\dagger \ket{k}=(1-k)c^\dagger\ket{k});

また、&math(\braket{k|cc^\dagger|k}=\braket{k|1-\hat n|k}=\|c^\dagger\ket{k}\|^2=1-k); より
&math(\|c^\dagger\ket{k}\|=\sqrt{1-k}); を使うと、

&math(c^\dagger\ket{k}=\sqrt{1-k}\ket{1-k});

したがって、

+ &math(k=0,1);
+ &math(c\ket{k}=\sqrt k \ket{1-k});
+ &math(c^\dagger\ket{k}=\sqrt{1-k}\ket{1-k});

が得られた。

これらを用いて具体的に書き下すと、

- &math(c\ket{0}=0);
- &math(c\ket{1}=\ket{0});
- &math(c^\dagger\ket{0}=\ket{1});
- &math(c^\dagger\ket{1}=0);

が得られ、&math(c); が消滅演算子、&math(c^\dagger); が生成演算子として働くことが分かる。

* 質問・コメント [#e81b632c]

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