スピントロニクス理論の基礎/X-4 のバックアップ(No.1)

斉次方程式 †

一般に (X3-1) に比べて、 をゼロとした斉次方程式はずっと楽に解くことができる。

(X3-3)

この解を としておく。

つまり、

(X3-3)

非斉次方程式 (X1-1) の１つの解を とすると、

(X3-4)

これに斉次方程式の解を加えた も (X3-1) の解になるのは有名な話。

(X3-5)

Green 関数 †

もし (X3-1) の に対して、

(X3-6)

となるような関数 ＝ Green 関数を求めることができれば、

(X3-7)

&math( \hat L_x f(x)&=h(x)=\int_{-\infty}^\infty dx' h(x') \delta(x-x')\\ &=\int_{-\infty}^\infty dx' h(x') \hat L_x g(x,x')\\ &=\hat L_x \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x') );

となる。ここで、 は に対する演算子で、 を含まないため、 や の積分と順序を入れ替えられることに注意。

(X3-7) の右辺を左辺に移項して、

(X3-8)

すなわち、[ ] 内は (X3-3) の形の斉次方程式の解となっている。

(X3-9)

このように、ある演算子 に対して、 その斉次方程式の解 と Green 関数 が求まってしまえば、微分・積分方程式 の解は単に を積分するだけで求まってしまう。